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专题 5.4 三角函数的图象与性质
【新高考专用】
题型一 三角函数的定义域、值域问题
1．（2024·河南郑州·一模）已知函数f(x)=2sin ( ωx− π ) (ω>0)在 [ 0, π] 上的值域为[−1,2]，则ω的
6 2
取值范围为（ ）
[4 ] [4 8] [2 4] [2 8]
A． ,2 B． , C． , D． ,
3 3 3 3 3 3 3
π [ π π π] π π π π
【解题思路】根据题意可得ωx− ∈ − , ω− ，再利用值域可限定 ≤ ω− ≤π+ ，
6 6 2 6 2 2 6 6
[4 8]
解得ω的取值范围为 , .
3 3
[ π] π [ π π π]
【解答过程】由x∈ 0, 及ω>0可得ωx− ∈ − , ω− ，
2 6 6 2 6
π
根据其值域为[−1,2]，且2sin
(
−
)=−1，
6
π π π π
由正弦函数图象性质可得 ≤ ω− ≤π+ ，
2 2 6 6
2 ω 8 4 8
即可得 ≤ ≤ ，解得 ≤ω≤ .
3 2 6 3 3
故选：B.
2．（2024·浙江温州·一模）若函数f (x)=2sin( ωx− π ) ,(ω>0)，x∈ [ 0, π] 的值域为[−√3,2]，则ω
3 2
的取值范围是（ ）
[5 ] [5 10]
A． ,4 B． ,
3 6 3
[5 5] [5 10]
C． , D． ,
6 3 3 3[ π] π [ π π π]
【解题思路】利用x∈ 0, 可得ωx− ∈ − , ω− ，再由三角函数图像性质可得
2 3 3 2 3
π π π π
≤ ω− ≤ +π ，解不等式即可求得ω的取值范围.
2 2 3 3
[ π] π [ π π π]
【解答过程】根据题意可知若x∈ 0, ，则可得ωx− ∈ − , ω− ；
2 3 3 2 3
π
显然当x=0时，可得2sin(
ωx−
)=−√3，
3
π π π π
由f (x)的值域为[−√3,2]，利用三角函数图像性质可得 ≤ ω− ≤ +π ，
2 2 3 3
5 10 [5 10]
解得 ≤ω≤ ，即ω的取值范围是 , .
3 3 3 3
故选：D.
√1
3．（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）函数y= −cosx的定义域为
2
[π 5π ]
+2kπ, +2kπ ,k∈Z
.
3 3
1
【解题思路】依题意可得cosx≤ ，根据余弦函数的性质计算可得.
2
√1 1 1
【解答过程】对于函数y= −cosx，令 −cosx≥0，即cosx≤ ，
2 2 2
π 5π
所以 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z，
3 3
√1 [π 5π ]
所以函数y= −cosx的定义域为 +2kπ, +2kπ ,k∈Z .
2 3 3
[π 5π ]
故答案为： +2kπ, +2kπ ,k∈Z .
3 3
4．（2024·山东济南·一模）已知函数f (x)=sin ( ωx− π ) (ω>0)在 [ 0, π] 上的值域为 [ − √3 ,1 ] ，则ω的
3 2 2
[5 10]
取值范围为 , ．
3 3
π [ π π π] π π
【解题思路】由ωx− ∈ − , ω− ，结合正弦型函数值域可确定 ω− 整体所处范围，
3 3 2 3 2 3
进而解不等式求得结果.[ π] π [ π π π]
【解答过程】当x∈ 0, 时，ωx− ∈ − , ω− ，
2 3 3 2 3
[ π] [ √3 ] π π π 4π 5 10
∵f (x)在 0, 上的值域为 − ,1 ，∴ ≤ ω− ≤ ，解得： ≤ω≤ ，
2 2 2 2 3 3 3 3
[5 10]
即ω的取值范围为 , .
3 3
[5 10]
故答案为： , .
3 3
题型二 三角函数的图象识别与应用
xcos2x
5．（2024·四川成都·三模）函数f(x)=
的图象大致是（ ）
ln(x2+1)
A． B．
C． D．
π
【解题思路】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据x∈(0, )时的函数值为正排除余下两个中的一个
4
即得.
xcos2x −xcos2x
【解答过程】函数f(x)= 的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)= =−f(x)，
ln(x2+1) ln(x2+1)
函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足；
π
当x∈(0, )时，cos2x>0,ln(x2+1)>0，则f(x)>0，C不满足，A满足.
4
故选：A.
exsin2x
6．（2024·全国·模拟预测）函数f (x)= 图象大致是（ ）
e2x−1A． B．
C． D．
【解题思路】通过判断函数的奇偶性与有无零点，借助排除法即可得.
e−xsin2(−x) −exsin2x
【解答过程】定义域为{x|x≠0}，f (−x)= = =f (x)，
e−2x−1 1−e2x
故该函数为偶函数，故可排除B、D，
eπsin2π
当x=π时，有f (π)= =0，故可排除A.
e2π−1
故选：C.
π
7．（2024·湖北武汉·二模）函数f (x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ= .
3
1
【解题思路】令f (x)=0，解出sin(2x+φ)=− ，根据图中零点得到方程解出即可.
2
1
【解答过程】令f (x)=2sin(2x+φ)+1=0，则sin(2x+φ)=− ，
2
π
根据图象得x=−
为函数零点，零点左右函数为上升趋势，
4
π π
则2×
(
−
)+φ=2kπ−
,k∈Z，
4 6
π π
则φ=2kπ+ ,k∈Z，因为|φ|<π，则k=0，φ=
，
3 3π
故答案为： .
3
8．（23-24高三下·湖北襄阳·开学考试）函数f (x)=sin(ωx+φ)（ω>0，φ∈(−π,π)）的图象如图所
( √3) 1 π 7π 5π
示，与y轴的交点坐标为 0,− ，与直线y= 的相邻三个交点的横坐标依次为 ， ， ，则
2 2 6 18 6
φ π
的值为 − ．
ω 9
(π 1)
【解题思路】根据图象求出周期得ω，再代入点 , 求得φ值.
6 2
2π 5π π 2π
【解答过程】由图象知T= = − = ，所以ω=3，
|ω| 6 6 3
将点
(π
,
1)
代入f (x)=sin(3x+φ)得f (x)=sin (
π
+φ )=
1
，
6 2 2 2
π π π
又因为x=
在增区间内，故
+φ= +2kπ,k∈Z，
6 2 6
π
又因为φ∈(−π,π)，所以φ=−
，
3
φ π
所以 =− .
ω 9
π
故答案为：−
.
9
题型三 由部分图象求函数的解析式
9．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数f (x)的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左
π π
平移
个单位长度，得到函数g(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< )
的部分图象如图所示，则函数
12 2
f (x)的解析式为（ ）π π
A．f (x)=3sin( 4x+ ) B．f (x)=3sin( 4x+ )
2 6
π π
C．f (x)=3sin( x+ ) D．f (x)=3sin( x+ )
6 2
π
( )
【解题思路】由图象可得最小正周期，可求ω，A，点 − ,0 的坐标代入函数y=g(x)的解析式，可求
6
解析式，进而利用图象变换可求函数f (x)的解析式.
5π π
【解答过程】由图像可得A=3，函数y=g(x)的最小正周期为T= − ( − )=π ，
6 6
2π π
所以ω= =2，将点 ( − ,0 ) 的坐标代入函数y=g(x)的解析式，
T 6
且函数y=g(x)在x=− π 附近递增，所以 sin [ 2× ( − π )+φ ] =0.
6 6
π
则φ− =2kπ(k∈Z)，
3
π π π π
得φ= +2kπ(k∈Z).因为− <φ< ，所以当k=0时，φ= ，
3 2 2 3
π
因此g(x)=3sin( 2x+ )
.
3
π 1
函数g(x)的图象向右平移 个单位长度，然后横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
12 2
得到函数f (x)的解析式为f (x)=3sin [ 2 ( 2x− π )+ π] =3sin( 4x+ π ) .
12 3 6
故选：B.
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所
示，则下列结论正确的编号是（ ）π
( )
①函数f (x)的图象关于点 ,0 成中心对称；
6
(
2π
)
②函数f (x)的解析式可以为f (x)=2cos 2x− ；
3
[π 13π]
③函数f (x)在 , 上的值域为[0,2]；
12 24
2 π
④若把f (x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，则所得函数是
3 12
π
y=2sin( 3x+ )
.
12
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
π
( )
【解题思路】由图可得A=2，由函数的周期求出ω，再根据函数过点 ,2 求出φ，即可得到函数解析
3
式，再根据正弦函数的性质一一分析即可.
3T 13π π 3π 2π
【解答过程】由图可得A=2， = − = ，所以T=π，又T= =π，解得ω=2，
4 12 3 4 ω
π
( )
所以f (x)=2sin(2x+φ)，又函数过点 ,2 ，
3
π π π π
所以f ( )=2sin( 2× +φ )=2，即2× +φ= +2kπ,k∈Z ，
3 3 3 2
π π
解得φ=− +2kπ,k∈Z ，又|φ|<π，所以φ=−
，
6 6
π
所以f
(x)=2sin(
2x−
)
，
6
π π π π
对于①，因为f ( )=2sin( 2× − )=2sin =1≠0，
6 6 6 6
π
( )
所以函数f (x)的图象不关于点 ,0 对称，故①错误；
6
对于②，因为y=2cos ( 2x− 2π ) =2cos [( 2x− π ) − π] =2sin ( 2x− π ) ，
3 6 2 6(
2π
)
故函数f (x)的解析式可以为f (x)=2cos 2x− ，即②正确；
3
[π 13π] π [ 11π] ( π )
对于③，当x∈ , 时2x− ∈ 0, ，所以sin 2x− ∈[0,1]，
12 24 6 12 6
[π 13π]
则f (x)∈[0,2]，即函数f (x)在 , 上的值域为[0,2]，故③正确；
12 24
2 π
对于④，把f (x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变得到y=2sin(
3x−
)
，
3 6
再将y=2sin( 3x− π ) 向右平移 π 个单位得到y=2sin [ 3 ( x− π ) − π] =2sin ( 3x− 5π ) ，故④错
6 12 12 6 12
误.
故选：B.
11．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，
描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用
π
函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0，ω>0，|φ|< ) 的图象来描述，如图所示，则f (x)=
2
(3 π)
sin x+ ．
2 4
【解题思路】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出A,ω，最后通过代入最高点坐标去求φ即可.
【解答过程】
由题知：A=1，T= 2π =4 ( π − π )= 4π ，∴ω= 3 ，即f (x)=sin (3 x+φ ) ，
ω 2 6 3 2 2
又∵f(
π
)=1，|φ|<
π
，∴
3
×
π
+φ=
π
，故φ=
π
，即f (x)=sin
(3
x+
π)
．
6 2 2 6 2 4 2 4
(3 π)
故答案为：sin x+
.
2 412．（2024·湖南·一模）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)+B（其中A>0,ω>0,|φ|<π）的部分图象如图所
示，有以下结论：
(5π
)
①f (x)≥f
6
π
②f (x)+f ( −x )=2
6
[4π ]
③f (x)在 ,2π 上单调递增
3
所有正确结论的序号是 ② .
【解题思路】借助图象可得f (x)解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得.
2+0 2−0 2π π π
【解答过程】由图可得A= =1，B= =1，且ω>0，则T= =2× ( + )=π ，即ω=2，
2 2 ω 3 6
π 3π 5π
×2+φ= +2kπ,k∈Z，即φ= +2kπ,k∈Z，
3 2 6
又|φ|<π，故φ= 5π ，即f (x)=sin ( 2x+ 5 π ) +1，
6 6
5π 5π 5 π π
对①：2× + = π=2π+ ，由x= 时，函数y=sinx取最大值，
6 6 2 2 2
(5π
)
故f 是函数f (x)的最大值，故①错误；
6
对②：f ( π −x )=sin (π −2x+ 5 π ) +1=sin ( −2x+ 7 π ) +1=−sin ( 2x+ 5 π ) +1，
6 3 6 6 6
则f (x)+f ( π −x )=sin ( 2x+ 5 π ) +1−sin ( 2x+ 5 π ) +1=2，故②正确；
6 6 6
[4π ] 5π [7π 29π] [ π π π]
对③：当x∈ ,2π 时，2x+ ∈ , = 4π− ,4π+ + ，
3 6 2 6 2 2 3
[ π π]
由函数y=sinx在 4π− ,4π+ 上单调递增，
2 2
[4π ]
故函数f (x)在 ,2π 上不单调，故③错误.
3故正确结论的序号是：②.
故答案为：②.
题型四 三角函数图象变换问题
π
13．（2024·山东潍坊·二模）将函数f (x)=cosx的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上的所有点，
2
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(x)=（ ）
x x
A．sin2x B．sin C．−sin D．cos2x
2 2
【解题思路】根据平移变换和周期变换的原则求解即可.
π
【解答过程】将函数f (x)=cosx的图象向右平移 个单位长度，
2
π
得y=cos ( x− )=sinx，
2
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
1
得g(x)=sin x.
2
故选：B.
π π
14．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin ( 2x+ ) ，把f(x)的图象向左平移 个单位长度
3 3
得到函数g(x)的图象，则（ ）
π
A．g(x)是偶函数 B．g(x)的图象关于直线x=− 对称
4
π π
C．g(x)的图象关于直线x= 对称 D．g(x)的图象关于点 ( ,0 ) 中心对称
2 4
【解题思路】A选项，由函数的平移变换得到的解析式，可判断出奇偶性；B选项，由A选项求出的解析
式求解对称轴可判断，同时可判断C选项； D选项，代入法可判断对称中心.
2π π
【解答过程】A选项，g(x)=2sin ( 2x+ + )=2sin(2x+π)=−2sin2x，
3 3
由于g(x)的定义域为R，且g(−x)=−2sin(−2x)=sin2x=−g(x)，
故g(x)为奇函数，故A错误；
B选项，由选项A可知错误g(x)=−2sin2x，
π π kπ
故g(x)的图象的对称轴为2x= +kπ,(k∈Z)，即x= + ,(k∈Z)，
2 4 2π π
令k=−1可得x=− ，即g(x)的图象关于直线x=−
对称，故B正确；
4 4
π
C选项，由由选项B可知不存在k∈Z，使得对称轴为x= ，故C错误；
2
π π
D选项，由选项A可知g ( )=−2sin2× =−2，
4 4
π
( )
故点 ,0 不是g(x)图象的中心对称，故D错误.
4
故选：B.
1
15．（2024·江苏·模拟预测）将函数f (x)=sin(2x+φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不
2
π
变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值
6
π
− （答案不唯一） .
6
【解题思路】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数φ的值.
1
【解答过程】将函数f (x)=sin(2x+φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
2
π
再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象对应的解析式为
6
g(x)=sin ( 4 ( x+ π )+φ ) =sin ( 4x+ 2π +φ ) ，
6 3
由题意g(x)的图象关于y轴对称，
2π π π π
所以
+φ= +kπ,k∈Z ，解得φ=kπ− ，k∈Z，令k=0，得φ=−
.
3 2 6 6
π
故答案为：− （答案不唯一）.
6
π
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=sin ( x+ ) ，给出下列结论：
6
①f (x)的最小正周期为2π；
π
( )
②f 是f (x)的最大值；
6π
③把函数y=sinx的图象向左平移 个单位长度，可以得到y=f (x)的图象．
6
其中所有正确结论的序号为 ①③ ．
【解题思路】根据题意，结合最小正周期，三角函数的对称性，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即
可求解.
π 2π
【解答过程】由函数f (x)=sin ( x+ ) ，可得f (x)的最小正周期为T= =2π，所以①正确；
6 1
π π π √3
又由f ( )=sin ( + )= ≠1，所以②错误．
6 6 6 2
π π
把函数y=sinx的图象向左平移 个单位长度，可以得到f (x)=sin ( x+ ) 的图象，所以③正确．
6 6
故答案为：①③.
题型五 三角函数的单调性问题
π π π
17．（2024·上海长宁·一模）已知函数y=sin( ωx+ ) (ω>0)在区间 ( − , ) 上单调递增，则ω的
6 2 3
取值范围是（ ）
( 4) ( 6]
A．(0,1] B．(0,1) C． 1, D． 0,
3 5
π π π π π
【解题思路】由题可得y=sint，其中t=ωx+ ，在 ( − ω+ , ω+ ) 上单调递增，然后结合函
6 2 6 3 6
数y=sinx的单调性及ω>0可得答案.
π π π π π π π
【解答过程】x∈ ( − , ) ⇒ωx+ ∈ ( − ω+ , ω+ ) ，
2 3 6 2 6 3 6
π π
因y=sinx在 ( − +2kπ, +2kπ) （其中k∈Z）上单调递增，
2 2
则¿，k∈Z.
又因ω>0，则取k=0⇒ω≤1，则0<ω≤1.
故选：A.
18．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足：对∀x∈R，有
f (0)≤f (x)≤f ( π ) ，若存在唯一的ω值，使得y=f (x)在区间 [π −m, π +m ] (m>0)上单调递减，则实
2 4 4
数m的取值范围是（ ）( π] ( π π] ( π π] ( π π ]
A． 0, B． , C． , D． ,
12 28 12 20 12 28 20
π π
【解题思路】由对∀x∈R，有f (0)≤f (x)≤f ( ) ，可得φ=2k π− (k ∈Z)，
2 1 2 1
[π π ]
ω=4k +2(k ∈Z)，结合y=f (x)在区间 −m, +m (m>0)上单调递减，可得ω=6+8k(k∈Z)，
2 2 4 4
又ω>0，可得ω=6是其唯一解，则有ω<14，再结合正弦函数的性质即可得解.
π
( )
【解答过程】由对∀x∈R，有f (0)≤f (x)≤f ，
2
π
即可得f (0)=sinφ=−1，即φ=2k π− (k ∈Z)，
1 2 1
π π
则f (x)=sin( ωx+2k π− )=sin( ωx− ) ，
1 2 2
π π π
可得f
( )=sin(
ω−
)=1，
2 2 2
π π π
即 ω− =2k π+ (k ∈Z)，即ω=4k +2(k ∈Z)，
2 2 2 2 2 2 2
π π π
则f ( )=sin( ω× − )=sink π=0，
4 4 2 2
[π π ]
由y=f (x)在区间 −m, +m (m>0)上单调递减，
4 4
π π
故ω× − =π+2kπ(k∈Z)，即ω=6+8k(k∈Z)，
4 2
由存在唯一的ω值，使其成立，故ω=6，即有ω<14，
则m≤
1
⋅
2π
=
π
，m>
1
⋅
2π
=
π
，即m∈ (
π
,
π]
.
4 6 12 4 14 28 28 12
故选：B.
19．（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=sin( ωx+ π ) （ω>0），当x∈ ( − 2π , π) 时，f (x)单调
3 3 6
递增，则ω的取值范围是 (0,1] ．
【解题思路】利用正弦曲线的单调性列出关于ω的不等式组，解之即可求得ω的取值范围.
( 2π π) π ( 2π π π π)
【解答过程】当x∈ − , 时，ωx+ ∈ − ω+ , ω+ ，
3 6 3 3 3 6 3
( 2π π)
因为f (x)在 − , 上单调递增，
3 6则¿解得ω≤1，
又ω>0，可得0<ω≤1．
故答案为：(0,1]．
π π
20．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sin( ωx− ) (ω>0)在区间 ( 0, ) 上不单调，且在区间
6 3
(2π ) [5 8]
,π 上单调，则ω的取值范围是 , ．
3 2 3
π ωπ π π
【解题思路】由函数在区间 ( 0, ) 上不单调，可得 − > ，解得ω>2；由函数在区间
3 3 6 2
(2π ,π ) 上单调，可得 (2πω − π ,πω− π) ⊆ ( kπ− π ,kπ+ π ) (k∈Z)，列出不等式组求解
3 3 6 6 2 2
即可.
π π π ωπ π
【解答过程】解：因为ω>0，所以当0 ，解得ω>2．
3 6 2
2π 2πω π π π
当 0，所以k∈{0,1,2}．
2
当k=0时，0<ω≤ ；
3
5
当k=1时，1≤ω≤ ；
35 8
当k=2时， ≤ω≤ ．
2 3
又因为ω>2，
[5 8]
所以ω的取值范围是 , ．
2 3
[5 8]
故答案为： , .
2 3
题型六 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用
| x|
21．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数f(x)=cosx+ sin ，则下列结论正确的是（ ）
2
π
( )
A．f(x)在区间 0, 单调递增
2
B．f(x)的图象关于直线x=π对称
( 9)
C．f(x)的值域为 0,
8
D．若关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{π,2π}
π
【解题思路】由x的范围，可得函数的解析式，换元整理可得，函数(0, )上不单调，判断出A的真假；
2
求出f(2π−x)的解析式，可得函数图象关于x=π对称，判断出B的真假；由A选项的分析，可得函数
的最值，判断出C选项的真假；由B选项的分析，可得f(x)=a在[0,2π]的根关于x=π对称，可得方程
的根的和的集合，判断出D的真假．
π x x x
【解答过程】A．因为x∈ ( 0, ) ，则f(x)=cosx+|sin |=1−2sin2 +sin ，
2 2 2 2
x √2
设t=sin ∈(0, )，且函数t单调递增，
2 2
√2
设g(t)=−2t2+t+1，t∈(0, )，
2
1 √2
开口向下，对称轴t= ∈(0, )，
4 2
1 1 √2
t∈(0, )，g(t)单调递增，t∈( , )，g(t)单调递减，
4 4 2
π
即函数f(x)在(0, )上不单调，所以A不正确；
22π−x x
B．因为f(2π−x)=cos(2π−x)+|sin( )|=cos2x+|sin |=f(x)，
2 2
可得函数f(x)函数图象关于x=π对称，所以B正确；
C．由A选项的分析，当g(t)=−2t2+t+1，t∈[0,1]，
1 1 1 9
显然g( )=−2× + +1= ，g(1)=−2×1+1+1=0，所以C不正确；
4 16 4 8
D．由B选项的分析，函数的图象关于x=π对称，函数草图如下：
当方程f(x)=a在区间[0,2π]有一个实数根时，所有根之和π；
当方程f(x)=a在区间[0,2π]有两个实数根时，所有根之和2π；
当方程f(x)=a在区间[0,2π]有四个实数根时，所有根之和4π；
所以所有的根之和组成的集合为{π,2π,4π}，所以D不正确．
故选：B．
22．（2024·四川·模拟预测）已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<π,0<φ<π)，对于任意x∈R，有
π π π
g ( −x )=g ( +x )=−g ( x− ) ，则以下错误的为（ ）
3 6 6
2π
A．函数g(x)的最小正周期为
3
(11 )
B．函数g(x)的图象关于点 π,0 对称
12
π π
( )
C．函数g(x)在 − , 上单调递减
12 12
D．函数g(x)在(−π,π)上共有6个极值点
π 3π
【解题思路】先推导出周期，求出ω的值，再利用对称轴为x= 得φ= ，再利用三角函数的对称性和
4 4
单调性逐一判断选项即可.
【解答过程】因为g (
π
+x )=−g ( x−
π
) ，所以g (
π
+x )=−g(x)，因此g
(2π
+x ) =g(x)，从而
6 6 3 32π 2
= π×n(n∈N*)，
ω 3
π π
注意到0<ω<π，故n=1,ω=3，所以g(x)=sin(3x+φ)，又g ( −x )=g ( +x ) ，即g(x)的图象关
3 6
π
于直线x=
对称，
4
从而sin (3π +φ ) =±1，即 3π +φ=kπ+ π ,k∈Z，所以φ=kπ− π ，
4 4 2 4
3π
又0<φ<π，所以φ= ，
4
(
3π
)
2π
所以g(x)=sin 3x+ ，所以g(x)的最小正周期为 ,A正确．
4 3
(11π
)
(11π
)
因为g =−1，所以函数g(x)的图象不关于点 ,0 对称，B错误．
12 12
π π 3π π π π
当x∈ ( − , ) 时，3x+ ∈ ( ,π) ，故函数g(x)在 ( − , ) 上单调递减，C正确．
12 12 4 2 12 12
3π π kπ π
令3x+ =kπ+ ,k∈Z，得x= − ,k∈Z，
4 2 3 12
kπ π 11 13
令−π< − <π，得− 0,0<φ<π，且
√3 1
f (0)= ，直线x= T为曲线y=f (x)的对称轴.
2 12
(1)求φ；
[ √3]
(2)若f (x)在区间[π,2π]上的值域为 −1, ，求f (x)的解析式.
2
√3 √3 1
【解题思路】（1）根据题意由f (0)= 可得sinφ= ，再结合x= T为曲线y=f (x)的对称轴即可确
2 2 12
定φ的值；
（2）由题意确定区间[π,2π]的长度小于一个周期，即可确定0<ω<2，分类讨论，讨论函数在何时取最
值，结合正弦函数的性质，求出ω，经验证即可确定其值，从而求得答案.2π
【解答过程】（1）由题意知T为函数f (x)=sin(ωx+φ)的最小正周期，故T= ,∴ωT=2π；
ω
√3 √3 π 2π
由f (0)= 得sinφ= ，而0<φ<π，故φ= 或φ= ；
2 2 3 3
1 ωT π π
又直线x= T为曲线y=f (x)的对称轴，即 +φ= +φ= +kπ(k∈Z)，
12 12 6 2
π π
则φ= +kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，可知φ=
；
3 3
（2）由（1）可知f (x)=sin( ωx+ π ) ，f (x)在区间[π,2π]上的值域为 [ −1, √3] ，
3 2
2π
可知区间[π,2π]的长度小于一个周期，即T= >π,∴0<ω<2，
ω
π [ π π]
由x∈[π,2π]，得ωx+ ∈ ωπ+ ,2ωπ+ ，
3 3 3
π π 5
①若f(π)=−1，则ωπ+ =− +2kπ(k∈Z)，即ω=− +2k,k∈Z，
3 2 6
7 π [3π 8π]
则ω= ，此时ωx+ ∈ , ，函数最大值为1，不符合题意；
6 3 2 3
π π 5
②若f(2π)=−1，则2ωπ+ =− +2kπ(k∈Z)，即ω=− +k,k∈Z，
3 2 12
7 19
则ω= 或ω= ，
12 12
7 π [11π 3π] √3
当ω= 时，ωx+ ∈ , ，函数取不到最大值 ，不符合题意，
12 3 12 2 2
19 π [23π 7π]
当ω= 时，ωx+ ∈ , ，函数最大值为1，不符合题意；
12 3 12 2
√3 π π π 2π
③若f(π)= ，则ωπ+ = +2kπ 或ωπ+ = +2kπ,k∈Z ，
2 3 3 3 3
1 1
则ω=2k,k∈Z或ω= +2k,k∈Z，则ω= ，
3 3
π [2π ]
此时ωx+ ∈ ,π ，函数取不到最小值−1，不符合题意；
3 3
√3 π π π 2π
④若f(2π)= ，则2ωπ+ = +2kπ 或2ωπ+ = +2kπ,k∈Z ，
2 3 3 3 3
1 7 1
则ω=k,k∈Z或ω= +k,k∈Z，则ω=1或ω= 或ω= ，
6 6 6当ω=1时，ωx+
π
∈
[4π
,
7π]
，能满足题意，此时f (x)=sin ( x+
π
) ；
3 3 3 3
1 π [π 2π]
当ω= 时，ωx+ ∈ , ，函数最大值为1，不符合题意，
6 3 2 3
7
当ω= 时，由上面分析可知不符合题意，
6
π
综合以上可知f (x)=sin ( x+ ) .
3
题型七 三角函数的零点问题
25．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sin(2πωx)(ω>0)在区间(0,2)上单调，且在区间[0,18]上有5
个零点，则ω的取值范围为（ ）
(1 5 ) [1 5 ]
A． , B． ,
9 36 9 36
(1 1) [1 1]
C． , D． ,
9 8 9 8
【解题思路】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其单调性和零点，可得答案.
2π 1
【解答过程】因为f (x)=sin(2πωx)，所以函数f (x)的最小正周期T= = (ω>0)．
2πω ω
1 1 1
因为f (x)在区间(0,2)上单调，所以 T= ≥2，可得ω≤ ；
4 4ω 8
5 2 5 1 5
因为f (x)在区间[0,18]上有5个零点，所以2T≤18< T，即 ≤18< ，可得 ≤ω< ；
2 ω 2ω 9 36
1 1
综上， ≤ω≤ ．
9 8
故选：D．
π π
26．（2024·四川雅安·一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且− <φ< ），设T为函数f(x)的
2 2
(T)
最小正周期，f =−1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（ ）
4
(17π 23π] [17π 23 ) (7π 10π] [7π 10π )
A． , B． , π C． , D． ,
6 6 6 6 3 3 3 3
(T)
【解题思路】根据题意可确定T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，结合f =−1求出φ，再根
4
据f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.2π
【解答过程】由题意知T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，故T= ，
ω
由f
(T)
=−1得2cos(
π
+φ)=−1，即cos(
π
+φ)=−
1
，
4 2 2 2
π π π
由于− <φ< ，故φ= ，
2 2 6
π π π
f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，故ωx+ ∈[ ,ω+ ]，
6 6 6
π 3π 5π 7π
且由于y=cosx在(0,+∞)上使得cosx=0的x的值依次为 , , , ,…，
2 2 2 2
故
5π
≤ω+
π
<
7π
，解得
7π
≤ω<
10π
，即ω∈
[7π
,
10π
) ，
2 6 2 3 3 3 3
故选：D.
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)在(π,2π)内没有零点，则ω的取
( 5 ] [5 11]
值范围为 0, ∪ , .
12 6 12
π π π
【解题思路】法一,化简f (x)，由题意可得ωx+ ∈ ( ωπ+ ,2ωπ+ ) ⊆[kπ,kπ+π],k∈Z，
6 6 6
(6k−1)π
解不等式即可得出答案；法二，令f (x)=0，得x= ,k∈Z，取k=1和k=2，使得
6ω
(6k−1)π
x= ∉ (π,2π)，解不等式即可得出答案.
6ω
【解答过程】法一：因为函数f (x)=2 (√3 sinωx+ 1 cosωx ) =2sin( ωx+ π ) 在(π,2π)内没有零点，
2 2 6
π π π
所以ωx+ ∈ ( ωπ+ ,2ωπ+ ) ⊆[kπ,kπ+π],k∈Z，
6 6 6
1 k 5
即¿解得k− ≤ω≤ + (k∈Z).
6 2 12
1 k 5 7
由k− ≤ + ，得k≤ ，又ω>0,k∈Z，故k只可取0，1，
6 2 12 6
5
当k=0时，0<ω≤ ；
12
5 11 ( 5 ] [5 11]
当k=1时， ≤ω≤ ，故ω的取值范围为 0, ∪ , .
6 12 12 6 12法二：f (x)=2 (√3 sinωx+ 1 cosωx ) =2sin( ωx+ π ) ，
2 2 6
π (6k−1)π
令f (x)=0，得ωx+ =kπ ，k∈Z，所以x= ,k∈Z.
6 6ω
设f (x)的最小正周期为T.
T π
因为f (x)在(π,2π)内没有零点，所以π≤ = ，解得0<ω≤1.
2 ω
(6k−1)π
对x= ,k∈Z，
6ω
5π 5π 5π 5 5
取k=1，则x= ，则 ≤π或 ≥2π，解得ω≥ 或ω≤ ；
6ω 6ω 6ω 6 12
11π 11π 11
取k=2，则x= ，则 ≥2π，解得ω≤ .
6ω 6ω 12
5 5 11 ( 5 ] [5 11]
故0<ω≤ 或 ≤ω≤ ，即ω的取值范围为 0, ∪ , .
12 6 12 12 6 12
( 5 ] [5 11]
故答案为： 0, ∪ , .
12 6 12
π π
28．（2024·全国·模拟预测）若函数f (x)=sin( ωx+ ) (ω>0)在区间 ( ,π) 上至少有两个零点，则实
3 2
(8 10) (11 )
数ω的取值范围是 , ∪ ,+∞ ．
3 3 3
π π
kπ− kπ−
【解题思路】令f (x)=0，求得零点 3 ，令 3 ，零点x 和x 在区间
x= (k∈Z) x = k k+1
ω k ω
π π 2 2 4
( ,π) 内，则 (k∈Z)，分别对k取值求
2 2 k k+1 3 3 3
得结果.
π
π kπ−
【解答过程】由f (x)=0得ωx+ =kπ(k∈Z)，得 3 ．
3 x= (k∈Z)
ω
π
kπ− π π
令 3 ，零点x 和x 在区间 ( ,π) 内，则 (k∈Z)，所以k为大于1的整数．
3
(8 10) (11 16)
易得当k=2时，ω∈A = , ；当k=3时，ω∈A = , ；
2 3 3 3 3 3
(14 22) (17 28)
当k=4时，ω∈A = , ；当k=5时，ω∈A = , ，
4 3 3 5 3 3
2 2 2
可得当k≥3时，k+1+ <2k− ，且当k→+∞时，2k− →+∞，
3 3 3
(8 10) (11 )
所以A ∪A ∪A ∪A ∪⋅⋅⋅∪A ∪⋅⋅⋅= , ∪ ,+∞ ，
2 3 4 5 k 3 3 3
(8 10) (11 )
故实数ω的取值范围为 , ∪ ,+∞ ．
3 3 3
(8 10) (11 )
故答案为： , ∪ ,+∞ .
3 3 3
题型八 三角函数模型
29．（2024·河南·模拟预测）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y（单位：cm）与时间t（单位：
s）之间的函数关系式是y=Kcos(ωt+φ) ( K>0,ω>0,φ∈ ( − π , π )) ，其中A(0,1),B(4,1)，振幅为
2 2
2，则前3秒该质点走过的路程为（ ）
A．−√3cm B．√3cm C．(5−√3)cm D．(7−√3)cm
π π 2 2
【解题思路】根据题意，求得y=2cos( t− ) ，分别令t= 、t= 和t=3，求得相应的函数值，进
2 3 3 3
而求得前3秒该质点走过的路程，得到答案.
【解答过程】由函数y=Kcos(ωt+φ)的图象，可得K=2，周期为T=4，2π π π
可得ω= = ，所以y=2cos( t+φ ) ，
4 2 2
1
因为A(0,1)在函数图象上，可得2cosφ=1，即cosφ= ，
2
π π π
又因为φ∈ ( − , ) ，所以φ=± ，
2 2 3
π π π
因为t=−1时，y<0，所以φ=− ，所以y=2cos( t− ) ，
3 2 3
π π 2
令 t− =kπ,k∈Z ，则t=2k+ ,k∈Z，
2 3 3
2 8
故函数图像在y轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为t= ,t=
,
3 3
2 8 (π 8 π)
令t= ，则y=2cos¿；令t= ，则y=2cos × − =−2；
3 3 2 3 3
π π
令t=3，则y=2cos(
×3−
)=−√3，
2 3
[ 2) [2 8) [8 )
所以质点在 0, , , , ,3 的路程分别2−1=1,2−(−2)=4,−√3−(−2)=2−√3，
3 3 3 3
所以前3秒该质点走过的路程为(7−√3)cm.
故选：D.
30．（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离
为d（单位：米）（在水面下，则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单
π
位：分钟）之间的关系为d=4sin(
2t−
)+2．某时刻t
（单位：分钟）时，盛水筒W在过点O（O为
6 0
π
筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过 分钟后，盛水筒W（ ）
6
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水【解题思路】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可.
π
【解答过程】由题意，5=4sin(
2t −
)+2，
0 6
可得 sin( 2t − π )= 3 ，cos( 2t − π )=− √7 或 √7 （舍去）．
0 6 4 0 6 4 4
所以sin [ 2 ( t + π ) − π] =sin [( 2t − π )+ π] = 3 × 1 + ( − √7) × √3 = 3−√21 ，
0 6 6 0 6 3 4 2 4 2 8
π 3−√21 7−√21
所以再经过 分钟，可得d=4× +2= >0，所以盛水筒在水面上．
6 8 2
在判断d>0时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
√21 7−√21
√21<√25⇒−√21>−5⇒− >−2.5⇒ >3.5−2.5=1⇒d>1，
2 2
d>0,故盛水筒在水面上．
故选：B．
31．（2024·四川·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最
上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直
角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 35 米.
【解题思路】利用三角函数的应用建立Q距离水平地面的高度关于t的关系式，再代入t=10即可得解.
π
【解答过程】依题意，设Q距离水平地面的高度 ℎ=Asin(ωt+φ)+k ( A,ω,k>0,|φ|< ) ，
2
π 2π π
所以A=50,k=60,φ=
，
=30，则ω=
，
2 ω 15
π π π
所以 ℎ=50sin ( t+ )+60=50cos ( t )+60，
15 2 15
π 2π
则 ℎ=50cos ( ×10 )+60=50cos +60=35，
15 3故答案为：35.
32．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车
发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车
按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的
某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面
π
距离为H=f (t)=Asin(ωt+φ)+b ( A>0,ω>0,|φ|< ,t≥0 ) ，则f (2023)= 3 .
2
2π π π
【解题思路】由题意得T=6，ω= = ，A=3,b=1.5，又t=0时，H=0，代入求值，得到φ=− ，
T 3 6
求出函数解析式，求出答案.
2π π
【解答过程】由题意得T=6，又ω>0，故ω= = ，
T 3
且A+b=4.5,−A+b=−1.5，解得A=3,b=1.5，
π
故H=f (t)=3sin( t+φ )+1.5，
3
1
当t=0时，H=0，即3sinφ+1.5=0，sinφ=− ，
2
π π
又|φ|< ，解得φ=−
，
2 6
π π
故H=f (t)=3sin( t− )+1.5，
3 6
所以f (2023)=3sin
(2023π
−
π)
+1.5=3sin(674π+
π
)+1.5
3 6 6
π
=3sin +1.5=3.
6
故答案为：3.题型九 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用
1 π
33．（2024·天津·二模）将函数f (x)=cos❑ 2x−sinxcosx− 的图象向左平移 个单位长度得到函数
2 8
g(x)的图象，下列结论正确的是（ ）
π
( )
A．g(x)是最小正周期为π的偶函数 B．点 ，0 是g(x)的对称中心
4
[ π π] 1 ( π )
C．g(x)在区间 − ， 上的最大值为 D．g(x)在区间 0， 上单调递减
12 3 2 4
√2
【解题思路】先由二倍角余弦公式和辅助角公式化简再平移得到g(x)=− sin2x，由正弦函数的奇偶性
2
π
得到A错误；代入x= 得到B错误；由正弦函数的单调性得到C错误，D正确.
4
1 cos2x+1 1 1 √2 π
【解答过程】f (x)=cos❑ 2x−sinxcosx− = − sin2x− = cos ( 2x+ ) ，
2 2 2 2 2 4
向左平移 π 个单位长度得到函数g(x)，则g(x)= √2 cos [ 2 ( x+ π )+ π] =− √2 sin2x，
8 2 8 4 2
对于A：由以上解析可得g(x)为奇函数，故A错误；
π √2 π √2
对于B：当x= 时，g(x)=− sin ( 2× )=− ，故B错误；
4 2 4 2
π 3
对于C：因为函数g(x)的递增区间为2kπ+ ≤2x≤2kπ+ π,k∈Z，即
2 2
π 3
kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z，
4 4
[ π π]
同理得函数g(x)的递减区间为 kπ− ,kπ+ ,k∈Z
4 4
[ π ]
所以 − ，0 是g(x)的一个递减区间，
12
[ π]
又当x∈ 0, 时，g(x)≤0，
3
π √2 π √2
所以g(x) =g ( − )=− sin ( − )= ，故C错误；
max 12 2 6 4
[ π π]
D：由C的解析可知，所以减区间为 kπ− ,kπ+ ,k∈Z，
4 4π
( )
所以当k=0时可得，g(x)在区间 0， 上单调递减，故D正确；
4
故选：D.
34．（2024·天津·二模）已知函数f (x)=sin2x+2sinxcosx−cos2x，关于f (x)有下面四个说法：
π
① f (x)的图象可由函数g(x)=√2sin2x的图象向右平行移动 个单位长度得到；
8
[ π π]
② f (x)在区间 − , 上单调递增；
4 4
[π π] [√3−1 ]
③当x∈ , 时，f (x)的取值范围为 ,√2 ；
6 2 2
④ f (x)在区间[0,2π]上有3个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】首先把f (x)用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可.
【解答过程】因为f (x)=sin2x+2sinxcosx−cos2x=sin2x−(cos2x−sin2x)，
π
即f (x)=sin2x−cos2x=√2sin ( 2x− ) .
4
π
对于①，函数g(x)=√2sin2x的图象向右平行移动 个单位长度，
8
π π
得到y=√2sin2 ( x− )=√2sin ( 2x− ) ，所以①正确；
8 4
[ π π] π [ 3π π]
对于②，x∈ − , ，则2x− ∈ − , ，
4 4 4 4 4
π
f (x)=√2sin ( 2x− ) 先减后增，所以②错误；
4
[π π] π [π 3π]
对于③，当x∈ , ，则2x− ∈ , ，
6 2 4 12 4
π π 3π
当且仅当2x− = 时，即x= 时，f (x) =√2，
4 2 8 max
π π π π π √6−√2 √3−1
当且仅当2x− = 时，即x= ，f (x) =√2sin ( 2× − )=√2× = ，
4 12 6 min 6 4 4 2
[√3−1 ]
所以f (x)的取值范围为 ,√2 ，所以③正确；
2π [ π 15π]
对于④，由x∈[0,2π]，则2x− ∈ − , ，
4 4 4
π π π π
则当2x− =0,2x− =π,2x− =2π,2x− =3π 时，f (x)=0，
4 4 4 4
所以f (x)=0在x∈[0,2π]上有4个零点，所以④错误.
故选：B.
π
35．（2024·四川达州·二模）将函数f(x)=2sinxcos ( x− )+sinxcosx−√3cos2x的图象向左平移
3
π 7π
a(a>0)个单位得到函数g(x)的图象．若g
( )=−2，则a的最小值为
．
3 12
π
【解题思路】由三角恒等变换化简f(x)，进而得出g(x)，由g
( )=−2即可求解．
3
【解答过程】f(x)=2sinx (1 cosx+ √3 sinx ) +sinxcosx−√3cos2x
2 2
π
=2sinxcosx+√3(sin2x−cos2x) =sin2x−√3cos2x=2sin ( 2x− ) ，
3
π
将f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得g(x)=f(x+a)=2sin ( 2x+2a− )
，
3
π π π π
因为g ( )=−2，所以g( )=2sin ( +2a )=−2，即sin ( +2a )=−1，
3 3 3 3
π π 5π
所以2a+ =− +2kπ,k∈Z ，即a=− +kπ,k∈Z
，
3 2 12
7π
因为a>0，所以a的最小值为 ，
12
7π
故答案为： ．
12
36．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)=sin❑ 2ωx+√3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π，
则下列结论中正确的有 ①④ .
π
①函数f (x)的图象关于直线x= 对称；
3
(π kπ )
②函数f (x)的对称中心是 + ,0 (k∈Z)；
12 2
[π 5π]
③函数f (x)在区间 , 上单调递增；
12 121 π
④函数f (x)的图象可以由g(x)=cos2x+ 的图象向右平移 个单位长度得到.
2 3
2π π 1
【解题思路】根据二倍角公式、辅助角公式和T= 求得ω=1，进而f(x)=sin(2x− )+ ，利用正
|ω| 6 2
弦函数的图象与性质，结合命题依次判断即可.
1 1 √3 π 1
【解答过程】f(x)=sin2ωx+√3sinωxcosωx= − cos2ωx+ sin2ωx=sin(2ωx− )+ ,
2 2 2 6 2
2π
又f(x)的最小正周期为π，所以T= =π ，由ω>0解得ω=1.
|2ω|
π 1
所以f(x)=sin(2x− )+
.
6 2
π π π 1 3
①：f( )=sin(2× − )+ = ，
3 3 6 2 2
π
所以x= 是f(x)图象的一条对称轴，故①正确；
3
π kπ π kπ π 1 1
②：f( + )=sin[2( + )− ]+ = ,k∈Z，
12 2 12 2 6 2 2
π kπ 1
所以( + , )(k∈Z)是f(x)图象的一个对称中心，故②错误；
12 2 2
π 5π π 2π
③：由 ≤x≤ ，得0≤2x− ≤ ，
12 12 6 3
π 5π
所以f(x)图象在[ , ]上先增后减，故③错误；
12 12
1 π
④：g(x)=cos2x+ 图象向右平移 个单位长度，
2 3
π 1 2π 1 π π 1 π 1
得y=cos[2(x− )]+ =cos(2x− )+ =cos(2x− − )+ =sin(2x− )+ ，故④正确.
3 2 3 2 6 2 2 6 2
故答案为：①④.
一、单选题
π
1．（2024·山东滨州·二模）已知函数f (x)=sin( ωx+ ) (ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点，直线
6
π π
x= 为函数y=f (x)图象的一条对称轴，则f ( )= （ ）
6 31 1 √3 √3
A． B．− C．− D．
2 2 2 2
π 23 29
【解题思路】以ωx+ 为整体，根据题意结合零点可得 ≤ω< ，结合对称性可得ω=2，进而可求
6 12 12
π
( )
f .
3
π [π π]
【解答过程】因为ω>0，且x∈[0,2π]，则ωx+ ∈ ,2πω+ ，
6 6 6
π 23 29
由题意可得：4π≤2πω+ <5π ，解得 ≤ω< ，
6 12 12
π
又因为直线x= 为函数y=f(x)图象的一条对称轴，
6
π π π
则 ω+ =kπ+ ,k∈Z，解得ω=6k+2,k∈Z，
6 6 2
π
可知k=0,ω=2，即f(x)=sin ( 2x+ )
，
6
所以f (
π
)=sin
(2π
+
π)
=sin (π−
π
)=sin
π
=
1
.
3 3 6 6 6 2
故选：A.
2．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数y=f (x)的部分图象如图，则f (x)的解析式可能为（ ）
3 5
A．f (x)=sinx+ex+e−x− B．f (x)=sinx−ex−e−x+
2 2
cosx
C．f (x)=cosx⋅(ex+e−x) D．f (x)=
ex+e−x
【解题思路】先根据函数奇偶性排除AB选项，C选项，计算出f (0)=2>1，排除C；D选项，满足奇偶性
1
和f (0)= ，得到答案.
23 3
【解答过程】A选项，f (−x)=sin(−x)+e−x+ex− =−sinx+e−x+ex− ≠f (x)，故不是偶函数，
2 2
由图可知函数f (x)为偶函数，排除A选项；
5 5
B选项，f (−x)=sin(−x)−e−x−ex+ =−sinx−e−x−ex+ ≠f (x)，可得不是偶函数，排除B；
2 2
C选项，因为f (0)=2>1，由图知f (0)<1，故排除C选项；
cos(−x) cosx cosx
D选项，f (−x)= = =f (x)，故f (x)= 是偶函数，
e−x+ex ex+e−x ex+e−x
1
且f (0)= ，满足要求.
2
故选：D.
π
3．（2024·山东济南·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示，下
2
列说法错误的是（ ）
3π
A．函数的周期是 B．函数y=f(x)的图象的过点(0,√3)
2
C．函数y=f(x)在 [ −π,− 5π] 上单调递减D．当x∈ ( − 13π ,− 3π ) 时，f(x)>1
6 6 2
π
【解题思路】根据函数图象可得f(x)=2sin(x+ )，即可根据整体法求解CD，代入即可求解B，由周
3
期公式即可求解A.
7π π 3
【解答过程】由图可得 − ( − )= T⇒T=2π⇒ω=1,A=2,
6 3 4
7π 7π 7π 3π
故f(x)=2sin(x+φ)，将点 ( ,−2 ) 代入可得sin ( +φ )=−1⇒ +φ= +2kπ,k∈Z ,所以
6 6 6 2
π
φ= +2kπ,k∈Z
，
3
π π π
由于 |φ|< ，故φ= ，所以f(x)=2sin(x+ )，
2 3 3对于A，T=2π，故A错误，
π
对于B，f(0)=2sin =√3，故y=f(x)的图象的过点(0,√3)，B正确，
3
[ 5π ] π [ 2π π] [ 3π π] [ 5π ]
对于C, x∈ −π,− ，则x+ ∈ − ,− ⊆ − ,− ，故y=f(x)在 −π,−
6 3 3 2 2 2 6
上单调递减，C正确，
13π 3π π 11π 7π
对于D，x∈ ( − ,− ) ，则x+ ∈ ( − ,− ) ，故f(x)∈(1,2]，故f(x)>1，D正确，
6 2 3 6 6
故选：A.
1
4．（2024·全国·二模）如图，已知函数f(x)=cos(ωx+φ)，点A，B是直线y= 与函数y=f(x)的图象
2
π
的两个交点，若|AB|= ，则函数f(x)的单调递减区间为（ ）
3
[ π 2π] [ π π]
A． kπ+ ,kπ+ (k∈Z) B． kπ− ,kπ+ (k∈Z)
6 3 3 6
[ 2π π] [ π 4π]
C． 2kπ− ,kπ+ (k∈Z) D． 2kπ+ ,kπ+ (k∈Z)
3 3 3 3
1 π π
【解题思路】根据cosx= 可知，x=− +2kπ 或x= +2kπ,k∈Z，可得ω的值，进而代入
2 3 3
x=
5π
可求解φ，即可得f(x)=cos ( 2x+
2π
) ，由整体法即可求解单调性.
12 3
【解答过程】设A ( x , 1) ,B ( x , 1) ，由 |AB|= π ，不妨设ω>0，可得x −x = π ，
1 2 2 2 3 2 1 3
1 π π
由cosx= 可知，x=− +2kπ 或x= +2kπ,k∈Z，由图可知，
2 3 3
π π 2π
ωx +φ=2kπ+ ，ωx +φ=2kπ− ，即ω(x −x )= ,故ω=2，
2 3 1 3 2 1 3
( 5 ) (5π ) 5π 3π
∵f π =cos +φ =0，结合图象，得 + φ=2kπ+ ,k∈Z，
12 6 6 22π
(
2π
) (
2π
)
即φ= +2kπ,k∈Z.∴f(x)=cos 2x+ +2kπ =cos 2x+ .
3 3 3
π 1 π
若ω<0时，由f(x)=cos(ωx+φ)=cos(−ωx−φ)，由x −x = ，由cosx= 可知，x=− +2kπ
2 1 3 2 3
π
或x= +2kπ,k∈Z，由图可知，
3
π π 2π
−ωx −φ=2kπ+ ，−ωx −φ=2kπ− ，即−ω(x −x )= ,故ω=−2，
2 3 1 3 2 1 3
则f (x)=cos(−2x+φ)=cos(2x−φ)，
( 5 ) (5π ) 5π 3π
∵f π =cos −φ =0，结合图象，得 − φ=2kπ+ ,k∈Z，
12 6 6 2
2π
(
2π
) (
2π
)
即−φ= +2kπ,k∈Z.∴f(x)=cos 2x+ +2kπ =cos 2x+ .
3 3 3
2π π π
由2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,k∈Z，得kπ− ≤ x≤kπ+ ,k∈Z.
3 3 6
[ π π ]
故f(x)的单调递减区间为 kπ− ,kπ+ (k∈Z).
3 6
故选：B.
π π
5．（2024·全国·三模）若偶函数f (x)=|cos(ωx+φ)|+|sin(ωx+φ)|( ω>0,|φ|< ) 的最小正周期为 ，
2 2
则（ ）
A．ω=2 B．φ的值是唯一的
π
C．f (x)的最大值为√3 D．f (x)图象的一条对称轴为x=
4
π
【解题思路】由f ( x+ )=f (x)可判断A；由偶函数的性质可判断B；由三角函数的性质可判断C；
2
π
f
(
−x
)=f
(x)可判断D.
2
【解答过程】对于A，因为周期只与ω有关，因此只需考虑f (x)=|cosωx|+|sinωx|的情况.
π
若对任意x∈R，都有f ( x+ )=f (x)，
2
f ( x+ π )= | cosω ( x+ π )| + | sinω ( x+ π )| = | cos ( ωx+ ωπ )| + | sin ( ωx+ ωπ )| =|cosωx|+|sinωx|，
2 2 2 2 2ωπ π
所以 = ，所以ω=1，所以A错误.
2 2
对于B，因为f (x)为偶函数，所以f (−x)=f (x).
因为f (x)=|cos(x+φ)|+|sin(x+φ)|，f (−x)=|cos(−x+φ)|+|sin(−x+φ)|，
π π π
所以φ=k⋅ (k∈Z).又|φ|< ，所以φ=0或φ=± ，所以B错误.
4 2 4
对于C，f (x)= √[|cosx+φ|+|sin(x+φ)|] 2 =√1+|sin2(x+φ)|≤√2，
当|sin2(x+φ)|=1时取得最大值，所以C错误.
π
对于D，容易知道φ=0或φ=± 时，
4
f ( π −x )= | cos ( π −x+φ )| + | sin ( π −x+φ )| =|sin(x−φ)| +cos|x−φ|=f (x)，
2 2 2
π
所以f (x)的图象关于直线x= 对称，所以D正确.
4
故选：D.
1
6．（2024·河南新乡·一模）将函数y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的 (ω>1)，纵坐标不变，
ω
π [π ]
再将所得图象向右平移 个单位长度后得到函数f (x)的图象，若f (x)在区间 ,π 上恰有5个零点，则
3 3
ω的取值范围是（ ）
[ 13) [ 15) ( 13] ( 15]
A． 5, B． 6, C． 5, D． 6,
2 2 2 2
【解题思路】根据给定的变换求出函数f(x)，再求出相位所在区间，结合零点情况列出不等式求解即得.
π π π 2πω
【解答过程】依题意，f(x)=sin[ω(x− )]，当x∈[ ,π] 时，ω(x− )∈[0, ]，
3 3 3 3
π 2πω 15
由f(x)在区间[ ,π]上恰有5个零点，得4π≤ <5π，解得6≤ω< .
3 3 2
故选：B.
7．（2024·全国·模拟预测）半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为M ．圆盘按逆时针方
0
π
向做匀速圆周运动，其角速度为 rad/s．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且
4π
∠M Ox= ，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
0 3
π π
A．x=2cos ( 8t+ ) B．x=2cos ( 8t− )
3 3
π π π π
C．x=2cos ( t+ ) D．x=2cos ( t− )
4 3 4 3
【解题思路】设点M的横坐标x关于时间t （单位：s) 的函数关系式为x=Acos(ωt+φ)，求出A的值，
πt π
t(s)时，射线OM可视角 − 的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式．
4 3
【解答过程】设点M的纵坐标x关于时间t （单位：s)的函数关系式为x=Acos(ωt+φ)，
π
由题意可得A=2，φ=−
，
3
πt π π π
t(s)时，射线OM可视角 − 的终边，则x=2cos ( t− ) ．
4 3 4 3
故选：D．
π
8．（2024·辽宁·三模）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) ，图象如图所示，下列说法
2
正确的是（ ）
π
A．函数f (x)的振幅是2，初相是
6
π
B．若函数f (x)的图象上的所有点向左平移 后，对应函数为奇函数，则ω=2
12( π π ) [ 10]
C．若函数f (x)在 , 上单调递减，则ω的取值范围为 2,
3 2 3
(7π
)
D．若函数f (x)的图象关于 ,0 中心对称，则函数f (x)的最小正周期T的最小值为7π
12
π
【解题思路】根据函数图象得到A，由f (0)=−1求出φ，即可得到f
(x)=2sin(
ωx−
)
，再根据正弦函
6
数的性质一一判断即可.
1
【解答过程】由图可知A=2，且f (0)=2sinφ=−1，即sinφ=− ，
2
π π π
又|φ|< ，所以φ=− ，所以f (x)=2sin( ωx− ) ，
2 6 6
π
故函数f (x)的振幅是2，初相是− ，故A错误；
6
π π
将f
(x)=2sin(
ωx−
)
的图象上的所有点向左平移 得到
6 12
y=2sin [ ω ( x+ π ) − π] =2sin ( ωx+ π ω− π ) ，
12 6 12 6
π π
依题意 ω− =kπ,k∈N ，解得ω=2+12k,k∈N，故B错误；
12 6
π π T π π π π
若函数f (x)在 ( , ) 上单调递减，则 ≥ − = ，即T≥ ，则¿，解得0<ω≤6，
3 2 2 2 3 6 3
π π π π π π π
( ) ( )
又x∈ , ，所以ωx− ∈ ω− , ω− ，
3 2 6 3 6 2 6
π π π 11π 10
又− < ω− ≤ ，所以¿，解得2≤ω≤ ，
6 3 6 6 3
( π π ) [ 10]
即函数f (x)在 , 上单调递减，则ω的取值范围为 2, ，故C正确；
3 2 3
(7π ) 7π π
若函数f (x)的图象关于 ,0 中心对称，则 ω− =kπ,k∈Z，
12 12 6
2 12
解得ω= + k,k∈Z，
7 7
2 12 2π
又ω>0，所以ω= + k,k∈N，又函数的最小正周期T= ，显然T没有最小值，故D错误.
7 7 ω
故选：C.二、多选题
π
9．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(0<ω<3,|φ|< )图象上相邻两点
2
A ( x , √2) ,B ( x , √2) ，若|x −x |= π ，且y=f ( x− π ) 为奇函数，则（ ）
1 2 2 2 1 2 3 6
π
A．ω=2 B．φ=
4
π π
C．函数f ( x+ ) 为偶函数 D．函数f (x)在区间 ( 0, ) 上单调递增
6 3
T 3
【解题思路】根据三角函数性质得出|AB|= 或|AB|= T结合已知即可求参判断A,应用函数奇偶性函数
4 4
判断B,C,求出函数单调增区间判断D.
√2 π 3π
【解答过程】y=sinx和y= 相邻交点间距是 或 ，
2 2 2
T 3T
即相邻交点的间距是 或 （T是正弦函数的最小正周期）
4 4
( √2) ( √2)
因为A x , ,B x , 为相邻两点且纵坐标相同，
1 2 2 2
T 3
设T为f (x)的周期，所以|AB|= 或|AB|= T，
4 4
π 3π
所以|(ωx +φ)−(ωx +φ)|= 或 ，
1 2 2 2
π 3π π
所以ω|x −x |= 或 ，又|x −x |= ，
1 2 2 2 1 2 3
3 9 3
所以ω= 或ω= ，又0<ω<3，所以ω= ，选项A错误；
2 2 2
由y=f ( x− π )=sin [3 ( x− π )+φ ] =sin (3 x− π +φ ) 为奇函数，
6 2 6 2 4
π π
所以− +φ=kπ(k∈Z)，即φ=kπ+ ，
4 4
π π
又|φ|< ，所以φ=
，选项B正确；
2 4由上可知f (x)=sin
(3
x+
π)
，f ( x+
π
)=sin
[3
( x+
π
)+
π]
=sin
(3
x+
π)
=cos
3
x为偶函数，
2 4 6 2 6 4 2 2 2
选项C正确；
π 3 π π π 4 π 4
令− +2kπ< x+ < +2kπ，可得− + kπ0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图
2
所示，则下列结论中正确的是（ ）
π
A．φ=
6
π
B．函数f (x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移 个单位长度得到
6
11π
C．x=− 是函数f (x)图象的一条对称轴
6
π
D．若|f (x )−f (x )|=2，则|x −x |的最小值为
1 2 2 1 2
【解题思路】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即
可.
T π π π
【解答过程】依题意可得A=1， = − ( − )= ，
4 12 6 4
2π
所以T=π，又T= ，解得ω=2，所以f(x)=sin(2x+φ)，
ω
对于A：由图象，函数过点 ( π ,1 ) ，即sin (π +φ ) =1，
12 6π π
所以
+φ= +2kπ,k∈Z
，
6 2
π π π
所以φ= +2kπ,k∈Z ，又|φ|< ，所以φ=
，
3 2 3
π
所以f(x)=sin ( 2x+ )
，故A错误；
3
π π π
对于B：由y=sin2x的图象向左平移 个单位长度得到y=sin2 ( x+ )=sin ( 2x+ ) ，
6 6 3
故B正确；
对于C：因为f ( − 11π ) =sin ( − 11π + π) =sin ( − 10π )= √3 ，
6 3 3 3 2
11π
所以x=− 不是函数f (x)图象的一条对称轴，故C错误；
6
对于D：若|f (x )−f (x )|=2，则f (x )取得最大（小）值且f (x )取最小（大）值，
1 2 1 2
T π
所以|x −x | = = ，故D正确.
2 1min 2 2
故选：BD.
11．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数f(x)=sin ( x− π )+cos ( x− 5π ) ，将函数f(x)的图像横坐标缩
3 6
1 π
短为原来的 倍，再向左平移 单位，得到函数g(x).则下列结论中正确的是（ ）
2 3
(
2π
)
A．f x− 为偶函数
3
B．不等式g(x)≥1的解集为¿
[ 3π]
C．g(x)在 π, 上单调递增
2
[ π 5π] 4π
D．函数g(x)在 − , 的零点为x ,x ,x 且x 0,− <φ< ，满足f (x )= f (x )=2
2 2 1 2
(π 2π )
的|x −x |的最小值为π，若函数f (x)在区间 , 内有零点，无最值，则φ的取值范围是
1 2 4 3
[ 5π] [ π]
−π,− ∪ 0, .
6 6
(π 2π )
【解题思路】根据三角函数图象性质可得ω=2，再根据函数f (x)在区间 , 内有零点，无最值限定
4 3
出不等式，再根据φ的范围可得结果.
【解答过程】因为函数f (x)=2sin(ωx+φ)，且满足f (x )=f (x )=2的|x −x |的最小值为π，
1 2 1 2
2π
所以函数f (x)的最小正周期T=π，所以 =π，解得ω=2，
ω
即可得f (x)=2sin(2x+φ)，(π 2π ) (π 4π )
因为x∈ , ，所以2x+φ∈ +φ, +φ .
4 3 2 3
(π 2π )
因为函数f (x)=sin(2x+φ)在区间 , 内有零点，无最值，
4 3
所以¿，解得¿，
5π
即−π+kπ≤φ≤− +kπ(k∈Z)，
6
11π
当k=−1时，−2π≤φ≤− ，不满足条件；
6
5π
当k=0时，−π≤φ≤− ，满足条件；
6
π
当k=1时，0≤φ≤ ，满足条件；
6
7π
当k=2时，π≤φ≤ ，不满足条件.
6
[ 5π] [ π]
综上所述，φ的取值范围是 −π,− ∪ 0, .
6 6
[ 5π] [ π]
故答案为： −π,− ∪ 0, .
6 6
( π) π
13．（2024·内蒙古赤峰·二模）将函数 f (x)=2sin ωx+ (ω>0)的图象向右平移 个单位，得到函
6 6ω
[ π π]
数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)在 − , 上为增函数，则ω的取值范围是 (0,2] .
6 4
【解题思路】先得到g(x)=2sin(ωx)，再由¿求解．
π [ π π]
【解答过程】依题意，得g(x)=f(x− )=2sin ω(x− )+ =2sin(ωx)，
6ω 6ω 6
π π ωπ ωπ
因为− ≤x≤ ，所以− ≤ωx≤ ，且ω>0，
6 4 6 4
[ π π]
而函数y=g(x)在 − , 上为增函数，
6 4
得¿，得ω≤2，而ω>0，得0<ω≤2，
故答案为：(0,2].
14．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建
设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周2π
运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB= ，随着圆O的旋转，A，B两点的
3
位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假
1
设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方：则t= 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为
3
π
0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f (t)= √3|sin(2πt+ )| .
3
【解题思路】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点A,B的
坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.
【解答过程】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速ω=2πrad/s，
π π 2π
设点A(cos(2πt− ),sin(2πt− ))，圆上两点A、B始终保持∠AOB= ，
2 2 3
π π
则B(cos(2πt+ ),sin(2πt+ ))，要使A、B两点的竖直距离为0，
6 6
π π π 1
则sin(2πt− )=sin(2πt+ )，第一次为0时，4πt− =π，解得t= ，
2 6 3 3
π π √3 1
f(t)=|sin(2πt+ )−sin(2πt− )|=| sin2πt+ cos2πt+cos2πt|
6 2 2 2
√3 3 π
=| sin2πt+ cos2πt|=√3|sin(2πt+ )|.
2 2 3
1 π
故答案为：
；√3|sin(2πt+ )|
.
3 3
四、解答题15．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f (x)=sinx−√3cosx.
π
( )
(1)求f 的值，
6
(2)求函数y=f (x)⋅sinx的单调递增区间.
【解题思路】
π
（1）将x= 代入化简即可得出答案；
6
1 π π
（2）化简y=f (x)⋅sinx，求y= −sin( 2x+ ) 的单调递增区间即求y=sin( 2x+ ) 的单调递减区
2 6 6
π π 3π
间，令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z，即可得出答案.
2 6 2
π π π 1 √3
【解答过程】（1）f ( )=sin −√3cos = −√3× =−1.
6 6 6 2 2
1 1 √3 1 π
（2）y=f (x)⋅sinx=sin2x−√3sinxcosx= − cos2x− sin2x= −sin( 2x+ ) ,
2 2 2 2 6
1 π π
求y= −sin( 2x+ ) 的单调递增区间即求y=sin( 2x+ ) 的单调递减区间，
2 6 6
π π 3π
令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z，
2 6 2
π 2π
解得： +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
6 3
[π 2π ]
所以所求的单调增区间为 +kπ, +kπ (k∈Z).
6 3
π √3
16．（2024·陕西西安·一模）已知函数f (x)=2cosxsin( x+ ) −2√3cos2x+ ,x∈R．
3 2
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当x∈[0,π]时，求函数f (x)的单调递增区间及f (x)的最值及取得最值时x的集合．
【解题思路】（1）用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式及辅助角公式化简为
π
f(x)=sin ( 2x− ) ，再用整体的思想求解函数的对称中心与对称轴;
3
π
（2）先求f (x)在R的上的单调递区间，再取与区间[0,π]上的交集部分即可.先求2x− 的范围，再结合
3
正弦函数的图象求函数f (x)的最值；【解答过程】（1）∵f (x)=2cosx⋅ (1 sinx+ √3 cosx ) −2√3cos2x+ √3
2 2 2
√3 1 √3 π
=sinxcosx−√3cos2x+ = sin2x− cos2x=sin ( 2x− ) ，
2 2 2 3
π π 1 5
令2x− =kπ+ ,k∈Z，解得x= kπ+ π,k∈Z，
3 2 2 12
1 5
所以对称轴为x= kπ+ π,k∈Z；
2 12
π 1 1
令2x− =kπ,k∈Z，解得x= kπ+ π,k∈Z，
3 2 6
(kπ π )
所以对称中心为 + ,0 ,k∈Z.
2 6
π
（2）由（1）得f (x)=sin ( 2x− ) ，
3
π π π
令− +2kπ≤2x− ≤ +2kπ,k∈Z，
2 3 2
π 5π
得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
12 12
[ 5π] [11π ]
又因为x∈[0,π]，所以f (x)的单调递增区间为 0, 和 ,π .
12 12
∵0≤x≤π,，
π π 5π
∴− ≤2x− ≤ ，
3 3 3
π
( )
∴−1≤sin 2x− ≤1，
3
π
所以f (x)=sin ( 2x− ) 的最大值1，最小值−1.
3
当2x−
π
=
π
时，x=
5π
时，f (x)=sin ( 2x−
π
) 取最大值为1,此时x的集合为
{5π}
，
3 2 12 3 12
当2x−
π
=
3π
时，x=
11
π时，f (x)=sin ( 2x−
π
) 取最大值为−1.此时的集合为
{11π}
.
3 2 12 3 12
π
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|≤ ) .
2
(3π
) (
π
)
(1)若f (x)的图象经过点A ,0 ，B ,2 ，且点B恰好是f (x)的图象中距离点A最近的最高点，试
4 4求f (x)的解析式；
(5π
) (
3π
)
(2)若f (0)=−1，且f (x)在 ,π 上单调，在 0, 上恰有两个零点，求ω的取值范围.
9 4
【解题思路】（1）依题意可得函数f (x)的周期求出ω，又过点B取最值求φ；
（2）根据f (0)=−1求φ，由已知条件及正弦函数的性质求ω的取值范围.
T 3π π π 2π
【解答过程】（1）依题意可知： = − = ，即T=2π= ，所以ω=1，
4 4 4 2 ω
π π π π
又过点B ( ,2 ) ，所以1× +φ= +2kπ,k∈Z,即φ= +2kπ,k∈Z，
4 4 2 4
π π π
又|φ|≤ ，所以φ= ，即f (x)=2sin( x+ ) .
2 4 4
π π π
（2）因为f (0)=2sinφ=−1，且|φ|≤ ，所以φ=− ，即f (x)=2sin( ωx− ) (ω>0)，
2 6 6
( 3π ) π π 3π π
又当x∈ 0, 时f (x)恰有两个零点，− <ωx− < ω− ，
4 6 6 4 6
3π π 14 26
依题意：π< ω− ≤2π，即 <ω≤ ，
4 6 9 9
(5π ) 5π π π π
又f (x)在 ,π 上单调，所以 ω− <ωx− <πω− ，
9 9 6 6 6
2 14 26
依题意;若¿，即¿，所以0<ω≤ ，因 <ω≤ ，故不合题意；
3 9 9
6 5 14 26 14 5
若¿，即¿，所以 ≤ω≤ ，因 <ω≤ ，故 <ω≤ ；
5 3 9 9 9 3
若¿，即¿，显然不等式组无解；
(14 5]
综上ω的取值范围为 , .
9 3
π
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示，
2
(7π
)
点P(0,−1)，Q ,0
12(1)求f (x)的解析式；
π
(2)将f (x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移 个单位长
3
[ π ]
度，得到g(x)的图象，求g(x)在区间 − ,0 上的最值.
2
【解题思路】（1）由图象可得A=2，代入P(0,−1)求出φ=−
π
，由Q
(7π
,0 ) ，结合图象可得
6 12
7πω π
− =π，求出ω=2，求出函数解析式；
12 6
（2）根据伸缩和平移变换得到g(x)=2sin( x+ π ) ，整体法求出函数在 [ − π ,0 ] 上的最值.
6 2
【解答过程】（1）由图象知A=2.
因为f (x)的图象过点P(0,−1)，所以2sinφ=−1，
π π π
又|φ|< ，所以φ=− ，所以f (x)=2sin( ωx− ) .
2 6 6
(7π ) 7πω π
又f (x)的图象过点Q ,0 ，由“五点作图法”可得 − =π，
12 12 6
π
所以ω=2.所以f
(x)=2sin(
2x−
)
.
6
（2）由题意知g(x)=2sin [( x+ π ) − π] =2sin( x+ π ) ，
3 6 6
[ π ] π [ π π]
当x∈ − ,0 时，x+ ∈ − , ，
2 6 3 6
π [ √3 1]
所以sin( x+ ) ∈ − , ，
6 2 2
π
则2sin( x+ ) ∈[−√3,1]
，
6[ π ]
所以g(x)在区间 − ,0 上的最小值为−√3，最大值为1.
2
19．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分
π
为扇形区域OAD，已知∠OCB=∠COA= ，OC=10√3米，BC=10米，区域OBC为三角形，区域
2
π
OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD=
．
6
(1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值．
【解题思路】（1）根据弧长公式以及直角三角形的边角关系即可求解，
（2）根据锐角三角函数可得FI=GH=20sinθ，OI=20cosθ GI=20cosθ−20√3sinθ，即可利用面积
公式，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值.
π
【解答过程】（1）因为OC=10√3，BC=10，∠OCB= ，
2
π
所以∠BOC= ，OB=√102+(10√3) 2=20，
6
π π π π 20π
则OA=20，∠BOA= − = ，A´B的长为l= ×20= ，
2 6 3 3 3
(
20π
)
所以广告带的总长度为OA+OC+BC+l= 30+10√3+ （米）．
3
π
（2）如图，连接OF．设∠FOA=θ ( 0<θ< ) ．
6因为OF=20，所以FI=GH=20sinθ，OI=20cosθ，
GH
π OG= =20√3sinθ
因为∠AOD= ，所以 π ，所以GI=20cosθ−20√3sinθ，
6 tan
6
所以S=(20cosθ−20√3sinθ)⋅20sinθ
=400sinθcosθ−400√3sin2θ
=200[sin2θ−√3(1−cos2θ)]
=200 [ 2sin ( 2θ+ π ) −√3 ] ，
3
因为2θ+ π ∈ (π , 2π ) ，当2θ+ π = π ，即θ= π 时取得最大值．
3 3 3 3 2 12
所以S≤200(2−√3)=400−200√3，
所以促销展示区的面积S的最大值为(400−200√3)平方米．
