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专题 5.3 三角函数的图象与性质【九大题型】
【新高考专用】
1、三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的
周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重
对三角函数的图象、几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或
偏下，复习是需要充分掌握三角函数的图象与性质，学会灵活求解.【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最
值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略】
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令 ωx+φ=kπ(k∈Z)），求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ= kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为 f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx+φ=
(k∈Z)），求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在 y=Asin(ωx+φ)中代入
x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ= kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题思路】
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，
只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数
的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选
择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【知识点4 三角函数的图象变换问题】
1．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.【知识点5 由部分图象确定函数解析式的解题方法】
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω
和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由 即可求出ω；确定φ时，若能
求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标 ，则令 即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，
若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【题型1 三角函数的定义域、值域问题】
( π) [ π]
【例1】（2024·广东湛江·二模）函数f (x)=4sin 5x− 在 0, 上的值域为（ ）
6 5
A．[−2,2] B．[−2,4] C．[−2√3,4] D．[−2√3,2]
π
【解题思路】先求得5x− 的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
6
[ π] π [ π 5π] ( π) [ 1 ]
【解答过程】因为x∈ 0, ，所以5x− ∈ − , ，所以sin 5x− ∈ − ,1 ，
5 6 6 6 6 2
( π) [ π]
故f (x)=4sin 5x− 在 0, 上的值域为[−2,4].
6 5
故选：B.
(x π)
【变式1-1】（2024·吉林·模拟预测）函数f (x)=−3tan + 的定义域是（ ）
2 4
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【解题思路】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域.
x π π π
【解答过程】由正切函数的定义域，令 + ≠kπ+ ,k∈Z，即x≠2kπ+ (k∈Z)，
2 4 2 2
(x π)
所以函数f (x)=−3tan + 的定义域为¿.
2 4
故选：C.
π
【变式1-2】（2024·青海·二模）已知函数f(x)=sin ( x− ) 的定义域为[m,n]（m0，排除A.
2 ex+1
故选：C.
1
【变式2-1】（2024·四川·一模）函数f (x)= cosπx⋅(ex−e−x)，x∈(−4,4)的图象大致为（ ）
4
A． B．
C． D．
【解题思路】根据条件，得到f(x)为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合cosπx与ex−e−x在
7
( )
x∈ ,4 上的正负值，即可求解.
2
【解答过程】因为定义域关于原点对称，又1 1
f (−x)= cos(−πx)⋅(e−x−ex)=− cosπx⋅(ex−e−x)=−f(x)，
4 4
1
即f (x)= cosπx⋅(ex−e−x)为奇函数，所以选项A和B错误，
4
7 7π 7 7π
又当x= 时，cosπx=cos =0，当x∈ ( ,4 ) 时， πx∈( ,4π)，此时cosπx>0，
2 2 2 2
7
( )
又易知当x>0时，ex−e−x>0，所以x∈ ,4 时，f (x)>0，结合图象可知选项C错误，选项D正确，
2
故选：D.
3cosx
【变式2-2】（2024·四川达州·二模）函数f(x)= 的部分图象大致为（ ）
2x+2−x
A． B．
C． D．
【解题思路】首先判断函数的奇偶性，即可判断B、C；再利用特殊值排除D.
3cosx
【解答过程】函数f(x)= 的定义域为R，
2x+2−x
3cos(−x) 3cosx
且f (−x)= = =f(x)，
2−x+2x 2x+2−x
所以f (x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除B、C；
3cos0 3
又f (0)= = ，故排除D.
20+20 2
故选：A.
【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像
如图所示，则f ( π )+f ( − 7π ) =（ ）
4 6√2+√3 √2 √6
A． B． C．0 D．
2 2 2
【解题思路】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果.
T 7π π π 2π
【解答过程】由图可得A=√2， = − = ，T= =π，所以ω=2，
4 12 3 4 ω
π
( )
所以f (x)=√2sin(2x+φ)，因为 ,0 在函数的图像上，
3
π π 2π
可得f ( )=√2sin( 2× +φ )=0，解得 +φ=π+2kπ(k∈Z)，
3 3 3
π π
因为|φ|<π，所以φ= ，f (x)=√2sin( 2x+ ) ，
3 3
所以f ( π )+f ( − 7π ) =√2sin( 2× π + π )+√2sin ( −2× 7π + π)
4 6 4 3 6 3
1 √2
=√2× +√2sin(−2π)= .
2 2
故选：B.
【题型3 由部分图象求函数的解析式】
π
【例3】（2024·天津和平·二模）已知函数f (x)=sin(ωx+φ) ( x∈R,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如下图
2
所示，则以下说法中，正确的为（ ）
π π
A．f (x)=sin ( x− )
4 4
√2
B．f (6)=
2√2
C．不等式f (x)≤ 的解集为[8k−6,8k](k∈Z)
2
D．函数f (x)的图象的对称中心为(4k+1,0)(k∈Z)
【解题思路】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦函数的相关性质求解即可逐项判断出来.
T 2π π
【解答过程】由图象可知， =3−1=2，所以T=8，所以ω= = ，
4 8 4
π π
所以f (x)=sin( x+φ ) ，将(1,1)代入得： sin( +φ )=1，
4 4
π π π π
所以
+φ= +2kπ,k∈Z ，由于|φ|< ，所以φ=
，
4 2 2 4
π π
所以f (x)=sin ( x+ ) ，故A错误；
4 4
7π π √2
f (6)=sin =−sin =− ，故B错误；
4 4 2
√2 π π √2 3π π π 9π
由f (x)≤ ，所以sin ( x+ ) ≤ ，所以 +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ ，
2 4 4 2 4 4 4 4
√2
解得2+8k≤x≤8+8k,k∈Z，即不等式f (x)≤ 的解集为[8k−6,8k](k∈Z)，故C正确；
2
π π
令 x+ =kπ ，解得x=−1+4k，所以f (x)的图象的对称中心为(4k−1,0)(k∈Z)，故D错误.
4 4
故选：C.
【变式3-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则
函数f (x)的解析式是（ ）
π
A．f(x)=2sin ( x− ) B．f(x)=2sin2x
4
π
C．f(x)=−2sin ( x− ) D．f(x)=−2sin2x
4
T 3π π
【解题思路】由图可知最大值为2，最小值为−2， = − ，进而求出A,ω，再将最高点带入可求φ.
4 4 4T 3π π 2π
【解答过程】由图可知 = − = ，
4 4 4 4
2π
所以T=2π,ω= =1，排除B,D.
T
当A>0时，A=2，
所以f(x)=2sin(x+φ)，
(3π ) (3π )
将最高点 ,2 代入可得2sin +φ =2
4 4
3π π
所以 +φ= +2kπ,k∈Z，
4 2
π
即φ=− +2kπ,k∈Z，
4
π
取k=0，则φ=−
.
4
π
所以f(x)=2sin(x− )，A正确；
4
当A<0时，A=−2，
所以f(x)=−2sin(x+φ)，
(3π ) (3π )
将最高点 ,2 代入可得−2sin +φ =2，
4 4
3π π
所以 +φ=− +2kπ,k∈Z，
4 2
5π
即φ=− +2kπ,k∈Z，
4
3π
取k=1,则φ= ，
4
3π
所以f(x)=−2sin(x+ )，C错误.
4
故选：A.
π
【变式3-2】（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|< ）的部分图象如图所示，
2
f(x)的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N关于点C对称，下列说法
错误的是（ ）A．函数f(x)的最小正周期是π
(5π
)
B．函数f(x)的图象关于点 ,0 对称
6
π π
( )
C．函数f(x)在 − ,− 单调递增
2 6
π
D．函数f(x)的图象向右平移 后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数
6
【解题思路】A选项，根据M、N关于点C对称得到C点横坐标，从而得到最小正周期T=π；B选项，根
π 2π π
据f(x)的图象关于点 ( − ,0 ) 对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出ω= =2，将 ( ,A ) 代
6 T 12
π π π
入解析式求出φ= ，A>0，从而利用整体法判断出f(x)在 ( − ,− ) 不单调；D选项，求出
3 2 6
g(x)=Asin2x，得到其奇偶性.
2π
0+
【解答过程】A选项，点M、N关于点C对称，故 3 π，
x = =
C 2 3
1 π π π
设f (x)的最小正周期为T，则 T= − ( − )= ，故T=π，A正确；
2 3 6 2
π
( )
B选项，可以看出函数f(x)的图象关于点 − ,0 对称，
6
又f (x)的最小正周期T=π，
(5π
)
故函数f(x)的图象关于点 ,0 对称，B正确；
6
2π
C选项，又ω>0，故ω= =2，
T
π π
+(
−
)
π π
3 6 π，故将 ( ,A ) 代入解析式得Asin ( 2× +φ )=A，
= 12 12
2 12
π π
解得
+φ= +2kπ,k∈Z
，
6 2π π
又
|φ|< ，故当且仅当k=0时，满足要求，故φ=
，
2 3
π
又当x=0时，f(x)=Asin >0，故A>0，
3
π
则f (x)=Asin ( 2x+ ) ，
3
π π π 2π
当x∈ ( − ,− ) 时，2x+ ∈ ( − ,0 ) ，
2 6 3 3
2π
( )
由于y=sinz在z∈ − ,0 上不单调，
3
π π π
故f (x)=Asin ( 2x+ ) 在x∈ ( − ,− ) 上不单调，C错误；
3 2 6
π π
D选项，g(x)=Asin ( 2x+ − )=Asin2x，定义域为R，
3 3
又g(−x)=Asin(−2x)=−Asin2x=−g(x)，g(x)为奇函数，D正确.
故选：C.
π
【变式3-3】（2024·吉林长春·模拟预测）函数f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象
2
如图所示，下列说法正确的是（ ）
π
A．A=2,φ=
6
B．函数f(x)的最小正周期为2π
π π
( )
C．函数f(x)在 , 上单调递减
3 2
π
D．函数f(x)的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于y轴对称
12
【解题思路】根据图象求出函数f(x)的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可．
【解答过程】由f (x) =2得A=2，f (0)=2sinφ=−1，
max1 π π
所以sinφ=− ，又|φ|< ，所以φ=− ，故A错误；
2 2 6
7π 7π π 2π
x= 时，ωx+φ= ω− =π，所以ω=2，T= =π ，故B错误；
12 12 6 |ω|
π π
f (x)=2sin ( 2x− ) ，令t=2x− ，则y=2sint，
6 6
x∈ ( π , π ) 时，t∈ (π , 5π ) ，此时t=2x− π 单调递增，y=2sint单调递减，
3 2 2 6 6
π π
( )
故f(x)在 , 上单调递减，故C正确；
3 2
π
f(x)的图象上的所有点向左平移 个单位长度，
12
得到y=2sin [ 2 ( x+ π ) − π] =2sin2x，图象关于原点对称，故D错误.
12 6
故选：C.
【题型4 三角函数图象变换问题】
【例4】（2024·山东青岛·三模）为了得到 y=sin2x+cos2x的图象，只要把 y=√2cos2x的图象上所
有的点（ ）
π π
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
8 8
π π
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4 4
【解题思路】利用诱导公式统一函数名，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
π
【解答过程】y=sin2x+cos2x=√2sin( 2x+ )
，
4
由诱导公式可知：y=√2cos2x=√2sin ( 2x+ π )=√2sin [ 2 ( x+ π )]
2 4
又y=√2sin( 2x+ π )=√2sin [ 2 ( x+ π )]
4 8
π π π π
则 − = ，即只需把图象向右平移 个单位.
4 8 8 8
故选：A.π
【变式4-1】（2024·江苏南京·二模）为了得到函数y=sin ( 2x+ ) 的图象，只要把函数y=sin2x图象上
3
所有的点（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
6 3
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 3
【解题思路】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【解答过程】y=sin ( 2x+ π )=sin [ 2 ( x+ π )] ，
3 6
π
则把函数y=sin2x图象上所有的点向左平移 个单位即可，
6
故选：A.
3π
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx−1(ω>0)，直线x=
8
7π ( 2π)
和x= 为函数y=f (x)图象的两条相邻对称轴，为了得到函数g(x)=−√2cos 2ωx− 的图象，则
8 3
将函数y=f (x)的图象至少（ ）
13π 13π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
24 48
13π 13π
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
12 36
【解题思路】首先化简f (x)，根据f (x)图象的两条相邻对称轴求得ω=1，然后将g(x)转化为正弦型函数的
形式，即可根据三角函数图象的平移变换法则进行求解．
π
【解答过程】由题可得f (x)=f (x)=sin2ωx−cos2ωx=√2sin ( 2ωx− ) ，
4
3π 7π
由直线x= 和x= 为函数y=f (x)图象的两条相邻对称轴可得，
8 8
(7π 3π
)
函数y=f (x)的最小正周期T=2 − =π，得ω=1，
8 8
π
所以f (x)=√2sin ( 2x− ) ，
4
则g(x)=−√2cos ( 2x− 2π ) =√2cos ( 2x+ π )=√2sin ( 2x+ 5π ) ，
3 3 65π π 13π
故将函数y=f (x)的图象至少向左平移 −
(
−
)=
个单位长度可得到g(x)的图象.
12 8 24
故选：A．
π
【变式4-3】（2024·湖南常德·二模）已知函数f
(x)=cos(
2x−
)
，g(x)=sin2x，将函数f (x)的图象
3
经过下列哪种可以与g(x) 的图象重合（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
12 6
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
12 6
【解题思路】利用诱导公式结合三角函数的平移即可.
【解答过程】f (x)=cos( 2x− π )=sin( 2x− π + π )=sin( 2x+ π )=sin [ 2 ( x+ π )] ，
3 3 2 6 12
π π
将函数f (x)的图象向右平移 个单位：f
(
x−
)=
sin2x=g(x)；
12 12
故选：C.
【题型5 三角函数的单调性问题】
【例5】（2024·四川泸州·一模）若函数f (x)=sin( ωx+ π ) (ω>0)在 [ 0, π] 上单调递增，则ω的取值范
3 6
围是（ ）
( 1] [1 ]
A．(0,2] B．(0,1] C． 0, D． ,1
2 2
【解题思路】根据正弦型函数单调性求参数范围即可.
π π π π π π π
【解答过程】由题设t=ωx+ ∈[ , ω+ ]，则y=sint在[ , ω+ ]上递增，
3 3 6 3 3 6 3
π π π
所以 ω+ ≤ ⇒ω≤1，又ω>0，故0<ω≤1.
6 3 2
故选：B.
π | ( π)|
【变式5-1】（2024·广东·二模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)（ω>0，− <φ<0）， f − =1，
2 6
(π) (π 5π)
f =0，且f(x)在区间 , 上单调，则ω的最大值为( ).
6 6 249 21 33 45
A． B． C． D．
2 2 2 2
(π 5π )
【解题思路】由题意计算出周期T，再由周期求ω，又因为f(x)在区间 , 上单调，
6 24
所以列出不等式，计算出0<ω≤12，判断即可.
π π T 4π
【解答过程】由题意知， − ( − )=(2k+1)× (k∈Z)，则T= ，
6 6 4 3(2k+1)
2π 3(2k+1) (π 5π )
因为T= ，所以ω= ，又因为f(x)在区间 , 上单调，
|ω| 2 6 24
5π π T 21
所以 − ≤ ，解得0<ω≤12，则ω的最大值为 .
24 6 4 2
故选：B.
π
【变式5-2】（2024·青海海南·二模）已知函数f(x)=cos ( ωx− ) ,ω>0,x∈R，且
3
π
f(α)=−1,f(β)=0.若|α−β|的最小值为 ，则f(x)的单调递增区间为（ ）
4
[ π π ] [ π π ]
A． − +kπ, +kπ ,k∈Z B． − +2kπ, +2kπ ,k∈Z
3 6 3 6
[ π 5π ] [ π 5π ]
C． − +kπ, +kπ ,k∈Z D． − +2kπ, +2kπ ,k∈Z
12 12 12 12
【解题思路】先求出函数f(x)的周期，再求出ω，求出函数f(x)的解析式，再结合余弦函数的性质，即可
求解.
π π
【解答过程】函数f(x)=cos ( ωx− ) ,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0，|α−β|的最小值为 ，
3 4
T π 2π π
则 = ，所以T=π，故 =π，所以ω=2，所以f(x)=cos ( 2x− ) ，
4 4 ω 3
π π π
令2kπ−π≤2x− ≤2kπ,k∈Z得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
3 3 6
[ π π ]
故f(x)的单调递增区间为 − +kπ, +kπ ,k∈Z.
3 6
故选：A.
( π) ( 5π )
【变式5-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=sin ωx+ （ω>0）在区间 0, 上只有1个零
3 6
( 2π π)
点，且当x∈ − , 时，f (x)单调递增，则ω的取值范围是（ ）
3 6(4 ] (4 5] (4 ] (5 ]
A． ,2 B． , C． ,1 D． ,2
5 5 4 5 4
【解题思路】由x范围求得ωx+
π
的范围，结合整体思想转化为y=sint在
(π
,
5π
ω+
π)
上只有1个
3 3 6 3
( 2π π π π)
零点，在 − ω+ , ω+ 上单调递增，求解即可.
3 3 6 3
( 5π ) π (π 5π π)
【解答过程】当x∈ 0, 时，ωx+ ∈ , ω+ ，
6 3 3 6 3
(
5π
)
因为f(x)在 0, 上只有1个零点，
6
5π π 4
所以π< ω+ ≤2π，解得 <ω≤2，
6 3 5
( 2π π) π ( 2π π π π)
当x∈ − , 时，ωx+ ∈ − ω+ , ω+ ，
3 6 3 3 3 6 3
4 2π π π
因为 <ω≤2，所以−π≤− ω+ <− ，
5 3 3 5
( 2π π)
又因为f(x)在 − , 上单调递增，
3 6
所以¿，解得ω≤1.
4
综上可得 <ω≤1.
5
故选：C.
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
π
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=3sin( 3x+ )+1，则下列结论不正确的是（ ）
6
(5π
)
A．f (x)的图象关于点 ,1 对称
18
kπ π
B．若f (x+t)是偶函数，则t= + ,k∈Z
3 9
[ π] [ 1 5]
C．f (x)在区间 0, 上的值域为 − ,
3 2 2
π
D．f (x)的图象关于直线x= 对称
9
【解题思路】代入验证法判断函数f (x)的图象的对称中心和对称轴，进而判断选项AD；求得t的值判断选[ π]
项B；求得f (x)在区间 0, 上的值域判断选项C.
3
(5π ) ( 5π π)
【解答过程】对于A：f =3sin 3× + +1=1，
18 18 6
(5π
)
则f (x)的图象关于点 ,1 对称，故A正确．
18
对于B：因为f (x+t)=3sin [ 3(x+t)+ π] +1=3sin( 3x+3t+ π )+1是偶函数，
6 6
π π kπ π
所以3t+ =kπ+ ,k∈Z，即t= + ,k∈Z，故B正确．
6 2 3 9
对于C：当x∈ [ 0, π] 时，3x+ π ∈ [π , 7π] ,sin( 3x+ π ) ∈ [ − 1 ,1 ] ，
3 6 6 6 6 2
所以f (x)=3sin( 3x+ π )+1∈ [ − 1 ,4 ] ，
6 2
[ π] [ 1 ]
即f (x)在区间 0, 上的值域为 − ,4 ，故C错误．
3 2
π π π π π
对于D：当x= 时，3x+ =3× + = ，
9 6 9 6 2
π
则f (x)的图象关于直线x= 对称，故D正确．
9
故选：C.
【变式6-1】（2024·河南新乡·三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中
( π ) ( √2)
心是A ,0 ，点B 0, 在f(x)的图象上，下列说法错误的是（ ）
8 2
π 5π
A．f(x)=cos ( 2x+ ) B．直线x= 是f(x)图象的一条对称轴
4 8
C．f(x)在
[7π
,
11π]
上单调递减 D．f ( x+
π
) 是奇函数
8 8 8
【解题思路】
由f (0)= √2 可得φ= π ，由对称中心A ( π ,0 ) 可求得ω=2，从而知函数f (x)的解析式，再根据余弦函数
2 4 8
的图象与性质，逐一分析选项即可.( √2) √2 π
【解答过程】因为点B 0, 在f(x)的图象上， 所以f(0)=cosφ= .又0<φ<π，所以φ= .
2 2 4
π ωπ π π
因为f(x)图象的一个对称中心是A ( ,0 ) ，所以 + = +kπ，k∈Z，
8 8 4 2
π
则ω=2+8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω=2，则f(x)=cos ( 2x+ ) ，A正确.
4
(5π
)
3π 5π
f =cos =0，则直线x= 不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确.
8 2 8
[7π 11π] π
当x∈ , 时，2x+ ∈[2π,3π]，f(x)单调递减，C正确.
8 8 4
π π
f ( x+ )=cos ( 2x+ )=−sin2x，是奇函数，D正确.
8 2
故选：B.
1
【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=cosx− ，现给出下列四个结论：
cosx
π
( )
①f (x)的图象关于点 ,0 对称；
2
②函数ℎ(x)=|f (x)|的最小正周期为2π；
π
( )
③函数g(x)=2f (x)+|f (x)|在 0, 上单调递减；
2
π
④对于函数g(x)=2f (x)+|f (x)|,∀x∈ ( 0, ) ,3|g(x)|=g(x+π)．
2
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【解题思路】利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D.
{ π }
【解答过程】对于①，由cosx≠0得f (x)的定义域为 x|x≠ +kπ,k∈Z ，
2
1 1
f(π−x)+f(x)=cos(π−x)− +cosx− =0，
cos(π−x) cosx
π
因此f(x)的图象关于点( ,0)对称，故①正确；
2
| 1 | | 1 |
对于②，因为ℎ(π+x)=|f (π+x)|= cos(π+x)− = cosx− = ℎ(x)，
cos(π+x) cosx所以π是ℎ(x)的周期，故②错误；
π 1
对于③，当x∈ ( 0, ) 时，cosx∈(0,1)，所以cosx− <0，
2 cosx
( 1 ) ( 1 ) 1
故g(x)=2f (x)+|f (x)|=2 cosx− − cosx− =cosx− ，
cosx cosx cosx
π 1
因为t=cosx在 ( 0, ) 上单调递减，y=t− 在(0,1)上单调递增，
2 t
π
( )
所以，由复合函数性质可知，函数g(x)在 0, 上单调递减，③正确；
2
π 1
对于④，由上知，当x∈ ( 0, ) 时，3|g(x)|=3( −cosx)，
2 cosx
1 1
g(x+π)=2[cos(x+π)− ]+|cos(x+π)− |
cos(x+π) cos(x+π)
1 1 1
=2(−cosx+ )+ −cosx=3( −cosx)，
cosx cosx cosx
因此3|g(x)|=g(x+π)，故④正确.
故选：C.
π
【变式6-3】（2024·天津南开·一模）关于函数y=3cos ( 2x+ ) ，则下列结论中：
3
①−π为该函数的一个周期；
π
②该函数的图象关于直线x=
对称；
3
π
③将该函数的图象向左平移 个单位长度得到y=3cos2x的图象：
6
[ π π]
④该函数在区间 − , 上单调递减.
6 6
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
【解题思路】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性
代入验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断.
2π π
【解答过程】对于①，由周期公式可得T= =π，所以函数y=3cos ( 2x+ ) 的最小正周期为π，所
2 3
以kπ(k∈Z,k≠0)，均是其周期.故①正确；
π π π π
对于②，当x= 时，y=3cos ( 2× + )=3cosπ=−3，所以x= 是其对称轴，故②正确；
3 3 3 3π π
对于③，将函数y=3cos ( 2x+ )
图象向左平移 个单位得到
3 6
y=3cos [ 2 ( x+ π )+ π] =3cos ( 2x+ 2π ) ，故③错误；
6 3 3
[ π π] π [ 2π]
对于④，∵x∈ − , ，∴2x+ ∈ 0, ，由余弦函数的单调性可知，函数
6 6 3 3
y=3cos ( 2x+ π ) 在 [ − π , π] 上单调递减，故④正确.
3 6 6
综上，正确的有①②④.
故选：C.
【题型7 三角函数的零点问题】
π π 7π
【例7】（2024·河南·模拟预测）已知− , 和 都是函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的零点，则ω的
4 4 12
最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【解题思路】根据正弦函数的零点求解.
π π
【解答过程】因为− 为函数f (x)的零点，所以− ω+φ=k π ，k ∈Z；
4 4 1 1
π 7π
同理 ω+φ=k π ，k ∈Z； ω+φ=k π，k ∈Z .
4 2 2 12 3 3
π π π
所以 ( ω+φ ) − ( − ω+φ )=k π−k π ⇒ ω=(k −k )π ⇒ ω=2(k −k )，k −k ∈Z，即
4 4 2 1 2 2 1 2 1 2 1
ω为偶数；
所以 (7π ω+φ ) − ( π ω+φ )=k π−k π ⇒ ω=3(k −k )，k −k ∈Z，即ω为3的倍数.
12 4 3 2 3 2 3 2
所以ω为2和3的公倍数.
所以ω的最小值为6.
故选：B.
π π
【变式7-1】（2024·福建龙岩·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) ,x=− 为f(x)的零
2 4
π π
点，x= 为f(x)图象的对称轴，且f(x)在 ( 0, ) 上有且仅有1个零点，则ω的最大值为（ ）
4 6A．11 B．9 C．7 D．5
【解题思路】根据对称性可得ω=2k+1,k∈Z，即可分别取ω=11和ω=9，代入求解φ，进而整体法验
证是否符合一个零点求解.
π
【解答过程】f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< )
2
π π
∵x=− 为f(x)的零点,x= 为f(x)图象的对称轴
4 4
π π 2k+1 2k+1 2π
∴ −(− )= T= ⋅ ,∴ω=2k+1,k∈Z，
4 4 4 4 ω
∵ω>0 ∴ω=2k+1,k∈Z+，
π 2π
又 −00,ω>0,− <φ< ) ，且
2 2
π 2π
x= ,x= 是函数y= f(x)相邻的两个零点，∀x∈R,f(x)≤3，则下列结论错误的是（ ）
6 3A．A=3 B．ω=2
π π π
C．φ=− D．f ( x− )=f ( −x− )
6 12 12
T 2π π
【解题思路】对于A，由∀x∈R,f(x)≤3判断，对于B，由题意可得 = − ，结合周期公式可
2 3 6
π π π
求出ω，对于C，由f ( )=0可求出φ，对于D，求f ( − ) 的值可判断x=− 是否为对称轴即可.
6 12 12
【解答过程】对于A，因为∀x∈R,f(x)≤3,A>0，所以A=3，故A正确；
π π 2π
对于B，f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) ，且x= ,x= 是函数y=f(x)相邻的两个零
2 6 3
点，
T π 2π π π
所以其周期 = = − = ，所以ω=2，故B正确；
2 ω 3 6 2
π π
对于C，令 ×2+φ=kπ (k∈Z)，则φ=kπ− (k∈Z)，
6 3
π π
又因为|φ|< ，所以φ=− ，故C错误；
2 3
对于D，由以上可知f(x)=3sin ( 2x− π ) ，所以f ( − π )=3sin [ 2× ( − π ) − π] =−3，
3 12 12 3
π π π
所以f(x)的图象关于直线x=− 对称，所以f ( x− )=f ( −x− ) ，故D正确.
12 12 12
故选：C.
π
【变式7-3】（2024·湖南邵阳·三模）将函数f (x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后得到函
3ω
π π
数g(x)的图象，若g(x)在区间
(
− ,0
)
上单调递增，且在区间
( ,π)
上有且仅有1个零点，则ω的取
18 3
值范围为（ ）
(1 ) (4 7] (4 7) ( 1) (4 7]
A． ,1 ∪ , B．(0,1)∪ , C． 0, ∪ , D．
3 3 3 3 3 3 3 3
( 1) (4 )
0, ∪ ,3
3 3
π
( )
【解题思路】先求出g(x)，结合g(x)在区间 − ,0 上单调递增可得0<ω≤3，再由g(x)在区间
18π
( ,π)
上有且仅有1个零点，可得g(x)可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案.
3
π π
【解答过程】由题意可得：g(x)=sinω ( x− )=sin( ωx− ) ，
3ω 3
π
( )
因为g(x)在区间 − ,0 上单调递增，
18
π π π π π
( ) ( )
因为x∈ − ,0 ，ωx− ∈ −ω − ,− ，
18 3 18 3 3
π π π
所以−ω − ≥− ，解得：0<ω≤3，
18 3 2
π
又g(x)在区间
( ,π)
上有且仅有1个零点，
3
所以x∈ (
π
,π) ，ωx−
π
∈
(ωπ
−
π
,ωπ−
π)
，
3 3 3 3 3
π π 8π
结合0<ω≤3，所以− <ωx− < ，
3 3 3
π π π
所以这个零点可能为ωx− =0或ωx− =π 或ωx− =2π ，
3 3 3
π ωπ π π
当ωx− =0时， − <0，0<ωπ− ≤π ，
3 3 3 3
(1 )
解得：ω∈ ,1 ，
3
π ωπ π π
当ωx− =π 时，0≤ − <π， π<ωπ− ≤2π ，
3 3 3 3
(4 7]
解得：ω∈ , ，
3 3
π ωπ π
当ωx− =2π 时，2π< − 无解，
3 3 3
(1 ) (4 7]
综上：ω的取值范围为 ,1 ∪ , .
3 3 3
故选：A.
【题型8 三角函数模型】
【例8】（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类
改造自然的成果之一.如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A(2√3,−2)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋
转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为(x,y)，其纵坐标满足
π
y=rsin(ωt+φ) ( t≥0,ω>0,|φ|< ) ，当t=45秒时，|PA|=（ ）
2
A．4√2 B．√10 C．4√2−√3 D．4
3
【解题思路】由A点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了 个周期，由计算出图中
4
∠POA（小于平角的那个），然后由勾股定理计算．
【解答过程】由已知r=√ (2√3) 2+(−2) 2=4，T=60，
3 3 π
经过45秒后，即旋转了 个周期，因此∠POA=(1− )×2π= ，如图，
4 4 2
所以|PA|=4√2，
故选：A．
【变式8-1】（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏
的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就
变化一次，且过点 (3π 3)，其对应的方程为 ( 1[2x]) （ ， ），其中
M , |y|= 2− |sinωx| x≥0 1<ω<3
4 2 2 π7π
[x]为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 ，则点N的纵坐标为（ ）
6
√2 1 √3
A．±1 B．± C．± D．±
2 2 2
(3π 3) ( 1[2x]) 7π
【解题思路】先代入M , ，求出ω=2，从而|y|= 2− |sin2x|，再代入x= ，求出点
4 2 2 π 6
N的纵坐标.
( [ 3 ])
2× π 3| 3ω | 3
【解答过程】由题意得|3| 1 4 | 3ω |，即 sin π = ，
= 2− sin π 2 4 2
2 2 π 4
| 3ω | 3ω
所以 sin π =1⇒sin π=±1，
4 4
3 3ω 9
因为1<ω<3，所以 π< π< π，
4 4 4
3ω 3
故 π= π，解得ω=2，
4 2
( 1[2x])
所以|y|= 2− |sin2x|，
2 π
7π ( 1[ 2 7π])| 7π| ( 1 )| π| √3
将x= 代入得，|y|= 2− × sin = 2− ×2 sin = ，
6 2 π 6 3 2 3 2
√3
故y=± ，
2
√3
所以点N的纵坐标为± .
2
故选：D.
【变式8-2】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
(55√3 )
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． +65 m
2
【解题思路】以轴心O为坐标原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数
π π
f (x)=55sin( x− )+65，令t=10时，即可求解.
15 2
【解答过程】设座舱距离地面的最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直
角坐标系，如图所示，
π
设函数f (x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|≤ )表示游客离底面的高度，
2
因为摩天轮的最高点距离地面为120m，直径为110m，且转一周大约需要30min，
2π π
周期T=30，A+b=120,−A+b=10，所以A=55,b=65,ω= = ，
T 15
π
即f (x)=55sin( x+φ)+65，
15
π
当t=0min时，游客在点P(0,−55)，其中以OP为终边的角为− ，
2
π π
所以f (x)=55sin( x− )+65，
15 2
2π π π
当t=10时，可得f (10)=55sin( − )+65=55sin +65=92.5m
3 2 6
所以，摩天轮的座舱t=10后距离地面高度约为92.5m.
故选：A.【变式8-3】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐
陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以
风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分
钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4m
的时间为（ ）
A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒
【解题思路】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【解答过程】假设A,O,B所在直线垂直于水面，且AB=4米，如下示意图，
由已知可得OA=OB=2,OP=OP =4，
1
OB 1
所以cos∠P OB= = ⇒∠P OB=60°，处在劣弧P´P 时高度不低于4米，
1 OP 2 1 1 1
1
360°
转动的角速度为 =6°/每秒，
60
120
所以水筒P距离水面的高度不低于4m的时间为 =20秒，
6
故选：D.【题型9 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例9】（2024·广东珠海·一模）函数f (x)=2√3sin2(ωx)+sin ( 2ωx+
2π
) ，其中ω>0，其最小正周
3
期为π，则下列说法错误的是（ ）
A．ω=1
π
( )
B．函数f (x)图象关于点 ,√3 对称
3
5π
C．函数f (x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为
12
[ π]
D．若x∈ 0, ，则函数f(x)的最大值为√3+1
2
π
( )
【解题思路】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求ω判断A，验证 ,√3 是否为函数f (x)
3
的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D.
【解答过程】f (x)=2√3sin2(ωx)+sin ( 2ωx+
2π
)
3
2π 2π 1 √3
=√3(1−cos2ωx)+sin2ωxcos +cos2ωxsin =√3− sin2ωx− cos2ωx
3 3 2 2
π
=√3−sin ( 2ωx+ )
.
3
因为ω>0，f (x)的最小正周期为π，
2π
所以T= =π，解得ω=1，故A选项正确；
2ω
π
所以，f (x) =√3−sin ( 2x+ ) ，
3
π π π
因为2× + =π ，所以，函数f (x)图象关于点 ( ,√3 ) 对称，B选项正确；
3 3 3
π
将函数图象向右移φ(φ>0)个单位后可得函数y=√3−sin ( 2x−2φ+ )
的图象，
3
π
因为y=√3−sin ( 2x−2φ+ ) 的图象关于y轴对称，
3
π π π kπ
所以−2φ+ = +kπ,k∈Z ,即φ=− − ,k∈Z，
3 2 12 2
5π
又φ>0，所以φ的最小值为 ，C选项正确；
12π π π 4π
若0≤x≤ ，则 ≤2x+ ≤ ，
2 3 3 3
√3 π 3√3
所以− ≤sin ( 2x+ ) ≤1，故−1+√3≤f (x)≤ ，
2 3 2
π 3√3
所以当x= 时，函数f (x)取最大值，最大值为 ，D错误.
2 2
故选：D.
π
【变式9-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数f (x)=2√2sinxcos( x+ ) ，给出的下列四个选
4
项中，正确的是（ ）
A．函数f (x)的最小正周期是2π
[π 5π]
B．函数f (x)在区间 , 上是减函数
8 8
π
( )
C．函数f (x)的图象关于点 − ,0 对称
8
π
D．函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向右平移 个单位，再向下平移1个单位得到
8
π
【解题思路】根据三角恒等式对已知函数进行化简得f (x)=√2sin(2x+ )−1，根据周期公式即可求解
4
A，根据整体法，结合正弦函数的单调性即可求解B，代入验证即可求解C，利用函数图象的平移变换即
可求解D.
π √2 √2
【解答过程】f (x)=2√2sinxcos( x+ )=2√2sinx( cosx− sinx) =2sinxcosx−2sin2x
4 2 2
π 2π
=sin2x+cos2x−1=√2sin(2x+ )−1，所以函数f(x)的最小正周期是T= =π，故A错误；
4 2
[π 5π] π π 3π
当x∈ , 时，2x+ ∈[ , ]，
8 8 4 2 2
π 3π π 5π
又y=sinx在[ , ]上单调递减，所以函数f(x)在区间[ , ]上是减函数，故B正确；
2 2 8 8
π π
因为f(− )=√2sin0−1=−1≠0，所以函数f(x)的图象不关于点 ( − ,0 ) 对称，故C错误；
8 8
π π π
将y=√2sin2x的图象向右平移 个单位得到y=√2sin2(x− )=√2sin(2x− )，再将
8 8 4
π π
y=√2sin(2x− )向下平移1个单位得到y=√2sin(2x− )−1，故D错误．
4 4故选：B．
1
【变式9-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）关于函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+
，有下列命题：
2
π
( )
①f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象关于 ,0 对称；
12
[π π] 5π
③f(x)在区间 , 上单调递增；④将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后所得到的图象与函
3 2 12
数y=sin2x的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
π
【解题思路】利用正余弦函数的二倍角公式化简可得f (x)=sin ( 2x− ) ，求出周期可判断①；求出
6
π
( )
f 可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；根据三角函数图象平移规律可判④．
12
1 √3 1 π
【解答过程】f (x)=√3sinxcosx−cos2x+ = sin2x− cos2x=sin ( 2x− ) ，
2 2 2 6
2π
对于①，f(x)的最小正周期为 =π ，故正确；
2
π π π π
对于②，f
( )=sin (
2× −
)=0，所以函数f(x)的图象关于 (
,0
)
对称，
12 12 6 12
故正确；
[π π] π π 5π [π 5π]
对于③，当x∈ , 时， ≤2x− ≤ ，因为y=sinx在x∈ , 上单调递减，
3 2 2 6 6 2 6
[π π]
所以f (x)在区间 , 上单调递减，故错误；
3 2
5π
对于④，将函数f (x)的图象向右平移 个单位长度后得到
12
f (x)=sin [ 2 ( x− 5π ) − π] =sin(2x−π)=−sin2x的图象，不与函数y=sin2x的图象重合，故错误．
12 6
故选：A.
π
【变式9-3】（2024·江苏宿迁·三模）已知函数f(x)=cosx+cos(x− )+1，则下列结论正确的是
3
（ ）π π
A．[− , ]是f (x)的一个单调增区间
2 4
π
( )
B． − ,0 是f (x)的一个对称中心
3
2π 1 5
C．f (x)在[− ,0]上值域为[− , ]
3 2 2
5π
D．将f (x)的图象向右平移 个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为y=√3cosx
6
π
【解题思路】化简函数由函数f (x)=√3sin(x+ )+1，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图
3
象变换，即可求解.
π 1 √3
【解答过程】由函数f(x)=cosx+cos(x− )+1=cosx+ cosx+ sinx+1
3 2 2
3 √3 π
= cosx+ sinx+1=√3sin(x+ )+1，
2 2 3
π π π π 7π
对于A中，当x∈[− , ]，可得x+ ∈[− , ]，此时函数f (x)不是单调函数，所以A错误；
2 4 3 6 12
π π π π
对于B中，由f(− )=√3sin(− + )+1=1，所以函数f (x)的一个对称中心为(− ,1)，所以B不
3 3 3 3
正确；
2π π π π √3 π √3
对于C中，由x∈[− ,0]，可得x+ ∈[− , ]，所以− ≤sin(x+ )≤ ，
3 3 3 3 2 3 2
1 π 5 1 5
所以− ≤√3sin(x+ )+1≤ ，即− ≤f (x)≤ ，所以C正确；
2 3 2 2 2
5π 5π π
对于D中，将f (x)的图象向右平移 个单位，得到y=√3sin(x− + )+1=−√3cosx+1，
6 6 3
再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为y=−√3cosx，所以D错误.
故选：C.
1．（2023·天津·高考真题）已知函数y=f (x)的图象关于直线x=2对称，且f (x)的一个周期为4，则f (x)
的解析式可以是（ ）
(π ) (π )
A．sin x B．cos x
2 2(π ) (π )
C．sin x D．cos x
4 4
【解题思路】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定
满足题意的函数解析式.
【解答过程】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
2π 2π
T= =4 T= =4
A选项中 π ，B选项中 π ，
2 2
2π 2π
T= =8 T= =8
C选项中 π ，D选项中 π ，
4 4
排除选项CD，
(π )
对于A选项，当x=2时，函数值sin ×2 =0，故(2,0)是函数的一个对称中心，排除选项A，
2
(π )
对于B选项，当x=2时，函数值cos ×2 =−1，故x=2是函数的一条对称轴，
2
故选：B.
2．（2023·天津·高考真题）已知函数f (x)的部分图象如下图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
5ex−5e−x 5sinx
A． B．
x2+2 x2+1
5ex+5e−x 5cosx
C． D．
x2+2 x2+1
【解题思路】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在
(0,+∞)上的函数符号排除选项，即得答案.
【解答过程】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(−2)=f(2)<0，5sin(−x) 5sinx
由
=−
且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
(−x) 2+1 x2+1
5(ex−e−x
)
5(ex+e−x
)
当x>0时 >0、 >0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除；
x2+2 x2+2
故选：D.
π π
3．（2023·全国·高考真题）函数y=f (x)的图象由函数y=cos ( 2x+ ) 的图象向左平移 个单位长度得
6 6
1 1
到，则y=f (x)的图象与直线y= x− 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1
【解题思路】先利用三角函数平移的性质求得f (x)=−sin2x，再作出f (x)与y= x− 的部分大致图像，
2 2
1 1
考虑特殊点处f (x)与y= x− 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
2 2
π π
【解答过程】因为y=cos ( 2x+ )
向左平移 个单位所得函数为
6 6
y=cos [ 2 ( x+ π )+ π] =cos ( 2x+ π )=−sin2x，所以f (x)=−sin2x，
6 6 2
1 1 ( 1)
而y= x− 显然过 0,− 与(1,0)两点，
2 2 2
1 1
作出f (x)与y= x− 的部分大致图像如下，
2 2
3π 3π 7π 3π 3π 7π 1 1
考虑2x=− ,2x= ,2x= ，即x=− ,x= ,x= 处f (x)与y= x− 的大小关系，
2 2 2 4 4 4 2 2
3π ( 3π ) ( 3π ) 1 ( 3π ) 1 3π+4
当x=− 时，f − =−sin − =−1，y= × − − =− <−1；
4 4 2 2 4 2 83π (3π ) 3π 1 3π 1 3π−4
当x= 时，f =−sin =1，y= × − = <1；
4 4 2 2 4 2 8
7π 7π 7π 1 7π 1 7π−4
当x= 时，f ( )=−sin =1，y= × − = >1；
4 4 2 2 4 2 8
1 1
所以由图可知，f (x)与y= x− 的交点个数为3.
2 2
故选：C.
(π 2π )
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0)在区间 , 单调递增，直线
6 3
x=
π
和x=
2π
为函数y=f (x)的图像的两条相邻对称轴，则f ( −
5π
) =（ ）
6 3 12
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
5π
【解题思路】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=− 即可得到答案.
12
(π 2π)
【解答过程】因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间 , 单调递增，
6 3
T 2π π π 2π
所以 = − = ，且ω>0，则T=π，ω= =2，
2 3 6 2 T
π π π
当x= 时，f (x)取得最小值，则2⋅ +φ=2kπ− ，k∈Z，
6 6 2
5π ( 5π)
则φ=2kπ− ，k∈Z，不妨取k=0，则f(x)=sin 2x− ，
6 6
( 5π) ( 5π) √3
则f − =sin − = ，
12 3 2
故选：D.
5．（2024·北京·高考真题）设函数f (x)=sinωx(ω>0).已知f (x )=−1，f (x )=1，且|x −x |的最小值为
1 2 1 2
π
，则ω=（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【解答过程】由题意可知：x 为f (x)的最小值点，x 为f (x)的最大值点，
1 2
T π
则|x −x | = = ，即T=π，
1 2min 2 22π
且ω>0，所以ω= =2
.
T
故选：B.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=−x2+(ex−e−x)sinx在区间[−2.8,2.8]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f (1)>0，可排除D.
【解答过程】f (−x)=−x2+(e−x−ex)sin(−x)=−x2+(ex−e−x)sinx=f (x)，
又函数定义域为[−2.8,2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C，
( 1) ( 1) π e 1 1 1
又f (1)=−1+ e− sin1>−1+ e− sin = −1− > − >0，
e e 6 2 2e 4 2e
故可排除D.
故选：B.
π
7．（2024·天津·高考真题）已知函数f (x)=3sin( ωx+ ) (ω>0)的最小正周期为π．则f (x)在区间
3
[ π π]
− , 上的最小值是（ ）
12 6
3√3 3 3
A．− B．− C．0 D．
2 2 2
【解题思路】结合周期公式求出ω，得f (x)=3sin( 2x+ π ) ，再整体求出当x∈ [ − π , π] 时，
3 12 6
π
2x+
的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
32π
【解答过程】因为函数f (x)的最小正周期为π，则T= =π，所以ω=2，
ω
即f (x)=3sin( 2x+ π ) ，当x∈ [ − π , π] 时，2x+ π ∈ [π , 2π] ，
3 12 6 3 6 3
π π π π 3
所以当2x+ = ，即x=− 时，f (x) =3sin =
3 6 12 min 6 2
故选：D.
8．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
ex−x2 cosx−x2 ex−x sinx−x
A．y= B．y= C．y= D．y=
ex+x2 x2+1 ex+x x2+1
【解题思路】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
ex−x2 e−1−1 1−e e−1
【解答过程】对A，设f (x)= ，函数定义域为R，但f (−1)= = ，f (1)= ，则
ex+x2 e−1+1 e+1 e+1
f (−1)≠f (1)，故A错误；
cosx−x2
对B，设g(x)= ，函数定义域为R，
x2+1
cos(−x)−(−x) 2 cosx−x2
且g(−x)= = =g(x)，则g(x)为偶函数，故B正确；
(−x) 2+1 x2+1
ex−x e−1+1 1+e e−1
对C，设ℎ(x)= ，ℎ(−1)= = ,ℎ(1)= ，
ex+x e−1−1 1−e e+1
ℎ(−1)≠ℎ(1)，则ℎ(x)不是偶函数，故C错误；
sinx−x
对D，设φ(x)= ，函数定义域为R，
x2+1
sin(−x)−(−x) −sinx+x
因为φ(−x)= = =−φ(x)，且φ(x)不恒为0，
(−x) 2+1 x2+1
则φ(x)不是偶函数，故D错误.
故选：B.
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f(x)=a(x+1) 2−1，g(x)=cosx+2ax，当x∈(−1,1)时，
曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=（ ）1
A．−1 B． C．1 D．2
2
【解题思路】解法一：令F(x)=ax2+a−1,G(x)=cosx，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交
点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令
ℎ(x)=f(x)−g(x),x∈(−1,1)，可知ℎ(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知ℎ(x)的零点只能为0，
即可得a=2，并代入检验即可.
【解答过程】解法一：令f(x)=g(x)，即a(x+1) 2−1=cosx+2ax，可得ax2+a−1=cosx，
令F(x)=ax2+a−1,G(x)=cosx，
原题意等价于当x∈(−1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得F(0)=G(0)，即a−1=1，解得a=2，
若a=2，令F(x)=G(x)，可得2x2+1−cosx=0
因为x∈(−1,1)，则2x2≥0,1−cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
可得2x2+1−cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
则方程2x2+1−cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
所以a=2符合题意；
综上所述：a=2.
解法二：令ℎ(x)=f(x)−g(x)=ax2+a−1−cosx,x∈(−1,1)，
原题意等价于ℎ(x)有且仅有一个零点，
因为ℎ(−x)=a(−x) 2+a−1−cos(−x)=ax2+a−1−cosx= ℎ(x)，
则ℎ(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知ℎ(x)的零点只能为0，
即ℎ(0)=a−2=0，解得a=2，
若a=2，则ℎ(x)=2x2+1−cosx,x∈(−1,1)，
又因为2x2≥0,1−cosx≥0当且仅当x=0时，等号成立，
可得ℎ(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
即ℎ(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意；
故选：D.
( π)
10．（2024·广东江苏·高考真题）当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin 3x− 的交点个数为
6（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解题思路】画出两函数在[0,2π]上的图象，根据图象即可求解
【解答过程】因为函数y=sinx的最小正周期为T=2π，
π 2π
函数y=2sin ( 3x− ) 的最小正周期为T= ，
6 3
π
所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin ( 3x− ) 有三个周期的图象，
6
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C.
π
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x− )，下列说法中正确的有
4
（ ）
A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解题思路】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
kπ
【解答过程】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x= ,k∈Z，即为f(x)零点，
2
π kπ π
令g(x)=sin(2x− )=0，解得x= + ,k∈Z，即为g(x)零点，
4 2 8
显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x) =g(x) =1，B选项正确；
max max
2π
C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为 =π，C选项正确；
2
π kπ π
D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+ ⇔x= + ,k∈Z，
2 2 4π π kπ 3π
g(x)的对称轴满足2x− =kπ+ ⇔x= + ,k∈Z，
4 2 2 8
显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC.
12．（2023·北京·高考真题）已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p为假命
9π π
题的一组α,β的值为α= ，β= ．
4 3
【解题思路】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
π π
【解答过程】因为f (x)=tanx在 ( 0, ) 上单调递增，若0<α <β < ，则tanα k ，则α−β=(2k π+α )−(2k π+β )=2(k −k )π+(α −β )，
1 2 1 0 2 0 1 2 0 0
π 3π
因为2(k −k )π≥2π,− <α −β <0，则α−β=2(k −k )π+(α −β )> >0，
1 2 2 0 0 1 2 0 0 2
即k >k ，则α>β.
1 2
π π 9π π
不妨取k =1,k =0,α = ,β = ，即α= ,β= 满足题意.
1 2 0 4 0 3 4 3
9π π
故答案为： ; .
4 3
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f (x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，
则ω的取值范围是 [2,3) ．
【解题思路】令f(x)=0，得cosωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【解答过程】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cosωx−1=0，则cosωx=1有3个根，
令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，
故答案为：[2,3).1
14．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)，如图A，B是直线y= 与曲线y=f (x)的两个交
2
π √3
点，若|AB|= ，则f (π)= − ．
6 2
【解题思路】设A ( x , 1) ,B ( x , 1) ，依题可得，x −x = π ，结合sinx= 1 的解可得，
1 2 2 2 2 1 6 2
2π (2 ) ( 2 )
ω(x −x )= ，从而得到ω的值，再根据f π =0以及f (0)<0，即可得f(x)=sin 4x− π ，进
2 1 3 3 3
而求得f (π)．
【解答过程】设A ( x , 1) ,B ( x , 1) ，由|AB|= π 可得x −x = π ，
1 2 2 2 6 2 1 6
1 π 5π
由sinx= 可知，x= +2kπ 或x= +2kπ ，k∈Z，由图可知，
2 6 6
5 π 2π 2π
ωx +φ−(ωx +φ)= π− = ，即ω(x −x )= ，∴ω=4．
2 1 6 6 3 2 1 3
(2 ) (8π ) 8π 8
因为f π =sin +φ =0，所以 +φ=kπ，即φ=− π+kπ，k∈Z．
3 3 3 3
( 8 ) ( 2 )
所以f(x)=sin 4x− π+kπ =sin 4x− π+kπ ，
3 3
( 2 ) ( 2 )
所以f (x)=sin 4x− π 或f (x)=−sin 4x− π ，
3 3
( 2 ) ( 2 ) √3
又因为f (0)<0，所以f(x)=sin 4x− π ，∴f (π)=sin 4π− π =− ．
3 3 2
√3
故答案为：− ．
2
15．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对
[π π] 1
称.若α∈ , ，则cosβ的最大值为 − ．
6 3 2【解题思路】首先得出β=α+π+2kπ,k∈Z，结合三角函数单调性即可求解最值.
【解答过程】由题意β=α+π+2kπ,k∈Z，从而cosβ=cos(α+π+2kπ)=−cosα，
[π π] [1 √3] [ √3 1]
因为α∈ , ，所以cosα的取值范围是 , ，cosβ的取值范围是 − ,− ，
6 3 2 2 2 2
π 4π 1
当且仅当α= ，即β= +2kπ,k∈Z时，cosβ取得最大值，且最大值为−
.
3 3 2
1
故答案为：− .
2
