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专题 5.3 三角函数的图象与性质
题型一 三角函数的值域
题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性
题型三 解三角不等式
题型四 由三角函数的值域（最值）求参数
题型五 根据单调求参数
题型六 根据对称求参数
题型七 由图象确定三角函数解析式
题型八 描述三角函数的变换过程
题型九 求图象变换前（后）的函数解析式
题型一 三角函数的值域
例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求 的
最小值是_____
【答案】 /0.5
【分析】先应用换元法 , 再应用二次函数最值求解即得.
【详解】 ,
令 ,
,
当 , .
故答案为:
例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ， ，则函数
的值域为______．
【答案】
【分析】根据 的范围，得 的范围，数形结合可得 的范围，从而可得函数 的值域.
【详解】当 时， ，
则 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为：
练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当 时， 的
最小值为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】令 ，由 ，可得 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】令 ，由 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时取等.
故选：B.
练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数
的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】化简 ，得 ，再利用正弦函数的性质可求得最大值和
最小值，从而可解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以 .
故选：B
练习3．（2022·高三课时练习）函数y＝tan(π－x)，x∈ 的值域为________．
【答案】
【分析】根据诱导公式，结合正切函数的单调性进行求解即可.
【详解】y＝tan(π－x)＝－tan x，在 上为减函数，所以值域为(－ ，1)．
故答案为：(－ ，1).
练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域__________．
【答案】
【分析】运用二倍角公式及平方关系统一函数名称与角度，再配方可求解．
【详解】因为
，
因为 ，
当 时， 取得最大值 ，
当 时， 取得最小值 ，
又因为 ， 所以 的值域为 ．
故答案为： .练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知 ，若 恒成
立，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若 恒成立，即 ，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化
简 ，求出 ，此时 ，则 ，由诱导公式即可得出答案.
【详解】 ，
其中 ， ，所以当 时， .
若 恒成立，则 ，
此时 ，则 ，即 ，
.
故选：A.
题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性
例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为 的奇函数
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简解析式，再求出正余弦函数的周期，最后判断函
数的奇偶性，即可得出答案..
【详解】因为 ，函数的周期为π，
因为 ，所以是非奇非偶函数，A不正确；
因为 ，函数的周期为2π，B不正确；
因为 ，函数的周期为π，是偶函数，C不正确；因为 ，函数的周期为π，是奇函数，D正确；
故选：D
例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数
则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图像关于直线 对称
C．函数 为偶函数
D．函数 的图像向左平移 个单位后关于 轴对称，则 可以为
【答案】BD
【分析】利用最小正周期公式判断A，利用代入检验法判断B，根据偶函数的定义判断
C，根据函数图象变换结论及诱导公式判断D.
【详解】对选项A：因为 ，所以 的最小正周期为 ，错误；
对选项B：当 时， ，
所以 是 的一条对称轴，正确；
对选项C：易知函数 的定义域为 ，
又 ，
所以函数 不是偶函数，错误；
对选项D：函数 的图像向左平移 个单位后得到
，
由题意，函数 的图像关于 轴对称，
所以 ，即 ，
当 时， ，即函数 的图像向左平移 个单位后关于 轴对称，则 可以为 ，D正确.
故选：BD
练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数 ，则
（ ）
A．函数 的一条对称轴为
B．函数 的一个对称中心为
C．函数 的最小正周期为
D．若函数 ，则 的最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得 ，结
合余弦函数的性质依次判断选项即可.
【详解】由题意得，
.
A：当 时， ，又 ，
所以 是函数 的一条对称轴，故A正确；
B：由选项A分析可知 ，所以点 不是函数 的对称点，故B错误；
C：由 ，知函数 的最小正周期为 ，故C正确；
D： ，所以 ，故D正确.
故选：ACD．
练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数
，则以下结论中正确的是（ ）A． 在 上单调递减 B．直线 为 图象的一条对称轴
C． 的最小正周期为 D． 在 上的值域是
【答案】AC
【分析】化简得到 ，再根据三角函数的单调性，对称轴和周期值域依次判断每
个选项得到答案.
【详解】 ，
对选项A： 在 上单调递减，正确；
对选项B： 不是 图像的对称轴，错误；
对选项C： 的最小正周期为 ，正确；
对选项D： ，则 ， ，错误.
故选：AC
练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数 ，则
（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】BC
【分析】利用余弦型函数的图象及其性质，逐一分析选项即可．
【详解】因为 ， ，A错误；
，B正确；
，所以 是奇函数，C正确；
易知 ，所以 不是偶函数，D错误．
故选：BC
练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数 在 的图象如图所示．则
（1） 的最小正周期为__________；
（2）距离 轴最近的对称轴方程__________．
【答案】
【分析】根据图象过点可得 ，再由图象分析周期范围可得 范围，据此
求周期，得出函数解析式，求对称轴即可.
【详解】由函数图象知， ，
所以根据五点法作图可得 ， ，解得 ，
又由函数图象得 ，即 ，
解得 ，所以 时， ，
故 ，
故 ，由 ，解得 ，
当 时， 满足条件.
故答案为： ，
练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数 ，则（ ）
A．若 ，则 为奇函数 B．若 ，则 为偶函数
C．若 ，则 为偶函数 D．若 ，则 为奇函数
【答案】B
【分析】根据选项中 的关系，代入 的解析式，对AD用特值说明 不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.
【详解】 的定义域为 ，
对A：若 ， ，若 为奇函数，则 ，而
不恒成立，故 不是奇函数；
对B：若 ， ，
，故 为偶函数，B正
确；
对C：若 ， ，
，故 不是偶函数，故C错误；
对D：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，故 不是奇函数；
故选：B
题型三 解三角不等式
例5．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）不等式 的解集是
________．
【答案】 ．
【分析】利用正切函数的单调性和周期性即可得出
【详解】正切函数最小正周期为 ，在 上单调递增， ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
例6．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知函数 .(1)用五点法画出函数 在 上的大致图像，并写出 的最小正周期；
(2)解不等式 .
【答案】(1)作图见解析，
(2) ， .
【分析】（1）用五点法画出函数 ,再写出 的最小正周期即可；
（2）由 ，可得 ，再解三角不等式即可.
【详解】（1）由 ，列表如下：
0
0 2 0
函数图像如图：函数 的最小正周期 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
则 ， 或 ， ，
解得 ， 或 ， .
故所求不等式的解集为 ， .
练习11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数真数大于0得到 ， 得到答案.
【详解】由题意得： ，即 ，则 .
故选：A
练习12．（2023春·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的单调区间；(3)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为 ；单调递减区间为 ；
(3)
【分析】（1）根据图象得到最小正周期，进而得到 ，代入特殊点，求出 ，
求出函数解析式；
（2）利用整体法求解单调区间；
（3）利用三角函数的图象及性质解不等式，得到答案.
【详解】（1）由图知函数 的最小正周期 ，所以 ，
又 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
所以函数 的单调递增区间为 ；单调递减区间为
；
（3）当 ，即 ，
可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
练习13．（2021春·高三课时练习）解不等式 .【答案】 .
【分析】解出正切不等式在一个周期内的解集，由周期性可得不等式的解集.
【详解】作出函数 ， 的图像，如图所示．
观察图像可得：在 内，满足条件的x为 ，
由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为 .
练习14．（2023春·辽宁铁岭·高三铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知某地某天从6
时到22时的温度变换近似地满足函数 .
(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在 到 之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时
间？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数解析式，由 ，计算函数最大值与最小值之差；
（2）由 ，求解 的取值范围.
【详解】（1） ，由 ，有 ，
当 或 即 或 时， 有最小值10，此时得到最低温度
；
当 即 时， 有最大值30，此时得到最高温度 ，
该地这一天该时间段内温度的最大温差 .（2）由 ，得 ，
由 ，有 或 ，
解得 或 ， ， ，
故该细菌能存活的最长时间为 小时.
练习15．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数 的定义域是
_________．
【答案】
【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解
即可.
【详解】要使函数有意义，需
解得：
即
故答案为：
题型四 由三角函数的值域（最值）求参数
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且
恒成立，则 ______
【答案】
【分析】根据最值的定义可得函数 在 处取得最值，令 ，
则由 可求出 ，代入 可得结果.
【详解】由 恒成立可知函数 在 处取得最值，令 ，则 ，
又 ，其中 ，
所以 ，解得 ．
故函数 ．
故答案为：
例8．（2023春·上海青浦·高三上海市朱家角中学校考期中）设函数 定义域为
，值域为 ，则 的最大值为______
【答案】
【分析】作出函数 的部分图像，由图像即可求解.
【详解】作出函数 的部分图像如图所示：
因为 的值域为 ，不妨设 ,
由图像可得 .
故答案为: .
练习16．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期中）已知
的最大值为 ，则 __________.
【答案】2
【分析】利用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式列出关于a的方程，即可求得答
案.【详解】由 ，
由于 最大值为 ，故 ，
解得 ，或 （负值舍去），
故答案为：2
练习17．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数
的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简 ，根据 求出 ，由此
可得 的最大、最小值.
【详解】 ，
由 ，得 ，得 ，
得 ，
所以 ，
，
所以 的取值范围是 .
故选：D
练习18．（2023·上海·高三专题练习）若函数 （常数 ）在区间 没
有最值，则 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意先求出 的取值范围，然后根据题意列出不等式，解之即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，又因为函数 （常数 ）在区间 没有最值，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是
故答案为： .
练习19．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数 的最小值
为 ，则常数 的一个取值为___________.（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）.
【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数 的一个取值即可.
【详解】 可化为 ，
所以 ，
设 ，
则 ，设 ，
则 ，
因为函数 的最小值为 ，
所以 ， ，
所以 或 ，其中 ，
故答案为： （答案不唯一）.
练习20．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数 ，若
对任意的实数 ，总有 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由题知， ，先得到 所满足的条件，然后再求
的最小值.
【详解】由题意，若对任意的实数 ，总有 ，则，故由 ，解得
，于是 ，当 时， 的最小值为 .
故选：A
题型五 根据单调求参数
例9．（2021·高一课时练习）若不等式 在 上恒成立，则 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正切函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数 在 上单调递增,所以 ,所以
，
故选：D.
例10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数 在 上
单调递增，则 的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 的取值范围求出 的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解
得即可.
【详解】由 ，所以 ，
又 ，所以 ，
且函数 在 上单调递增，所以 ，解得 ，即 的取值范围为 .
故选：D
练习21．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数 ，若
在区间 上为单调函数，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性列出关于 的不等式，解之即可求得 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
在区间 上为单调函数，又由余弦函数的单调性可得
，所以 ．
故答案为：
练习22．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数 与函
数 在 上的单调性相同，则 的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数的单调性列出不等式求出 的取值范围即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以根据余弦函数的性质可得函数 在
上的单调递减，
由于函数 与函数 在 上的单调性相同，
所以函数 在 上单调递减，所以 解得 ，
当 时， ，B满足，
当 时， ，C满足，
故选:BC.
练习23．（2023春·四川成都·高三成都市第二十中学校校考阶段练习）已知函数
在 内是减函数， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数在 内单调，则 ，再结合复合函数单调性可知 ，综合
可得 的范围.
【详解】因为函数 在 内是单调函数，
所以最小正周期 ，即 ，所以 .
又函数 在 内是减函数，则根据复合函数单调性判定知 .
综上， .
故选：B.
练习24．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）若函数
在 上不单调，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】先求出使函数 在 上具有单调性的 的取值范围，
再用集合的补集运算求出符合题意的 的取值范围．
【详解】由题意得 ，
若函数 在 上单调递增，则 ,
解得： ，
所以 ，
解得 ，
即 ，
因为 ，所以 且 ，
所以 ， ①
若函数 在 上单调递减，
则 ,
解得 ，
所以 ，
解得 ，
即 ，
因为 ，所以 且 ，
所以 ， ②
又因为函数 在 上不单调，且 ，
所以 的取值为①②所表示的不等式的补集，
即 或 .故答案为： 或 .
练习25．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)若 在区间 上单调，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令 求 的范围，即可得增区间；
（2）由题意 在 上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求
的取值范围.
【详解】（1）由题设 ，令 ，
所以 ，故 的单调递增区间为 .
（2）由 ，则 ，
所以 在 上单调，又 ，
若 ， ，则 ， ，
所以 ， ，故 时 ，满足题设；
若 ， ，则 ， ，
所以 ， ，此时没有满足题设的k值；
综上， .
题型六 根据对称求参数
例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若
是奇函数，则 _________.【答案】 /
【分析】由余弦型函数的奇偶性得 且 ，即可求参数.
【详解】由题设 且 ，故 ， ，
又 ，故 有 .
故答案为：
例12．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）函数
的图象的一条对称轴方程是 ，则 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简 ，然后利用对称轴写出 ，即可求出答案
【详解】 ，
因为 图象的一条对称轴方程是 ，
，解得 ，
故当 时， 取得最小正值 ．
故选：D
练习26．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数
的图象关于坐标原点对称，则 的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】化简 ，得 ，由 ，求出，结合四个选项可得答案.
【详解】由已知，得
．
因为 的图象关于坐标原点对称，所以 ，
解得 ．结合选项知，A，D符合题意，B，C不符合题意．
故选：AD．
练习27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，若对于任意实数
x，都有 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数 图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解
作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有 ，则有函数 图象关于点 对
称，
因此 ，解得 ，而 ，
所以当 时， 取得最小值4.
故选：C
练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数
．
(1)设 ，函数 是偶函数，求 的值；
(2)若 在区间 上恰有三条对称轴，求实数m的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)【分析】（1）化简得到 ，根据偶函数得到 ，根据范围得
到答案.
（2）确定 ，根据对称轴得到 ，解得答案.
【详解】（1）
，
故 是偶函数，那么 ，
即 ， ， ， 或 时满足条件，故 或 .
（2）当 时， ，
要让函数 恰有3条对称轴，
那么 , 解得 ，即
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
，且直线 为 图象的一条对称轴，则 的最小值为______．
【答案】5
【分析】根据 ，可求得 ，再根据直线 为 图象的一条对称轴，结合
正弦函数的对称性即可求得 .
【详解】由 ，得 ，
又 ，解得 ，所以 ，
又直线 为 图象的一条对称轴，
则有 ， ，化简得 ， ，
又 ，故 的最小值为5．
故答案为： .练习30．（2022·高三课时练习）已知 对任意 都有 ，
则 等于________．
【答案】
【分析】由给定等式可得 图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解.
【详解】因 对任意 都有 ，则直线 是 图
象的一条对称轴，
所以 .
故答案为：
题型七 由图象确定三角函数解析式
例13．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象经过的点的坐标可求 及 ，从而可得答案.
【详解】由图象可知 .因为 ，所以 ，
又 及结合图象可知 .
因为 ，
所以由五点法作图可知 ，解得 .因为 ，所以 ，且 .
又 ，所以 ，从而 ，因此 .
故选：C.
例14．（2022春·福建·高二统考学业考试）（多选）函数 的一个
周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）
A．函数 的解析式是
B．函数 的最大值是
C．函数 的最小正周期是
D．函数 的一个对称中心是
【答案】BCD
【分析】根据图象可确定最大值、最小正周期和对称中心，知BCD正确；结合五点法可构
造方程求得 ，知A错误.
【详解】对于B，由图象可知： ，B正确；
对于C，由图象可知： 最小正周期 ，C正确；
对于A，由BC得： ， ，即 ；
或
当 时， ，
，解得： ，
；当 时， ，
，解得： ，
；
或 ，A错误；
对于D，当 时， ，
的一个对称中心为 ，D正确.
故选：BCD.
练习31．（2023春·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，函数 （
， ， ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为 ，Q，R，且线段
RQ的中点M的坐标为 ，则 等于（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【分析】利用线段RQ的中点M的坐标求出Q，R的坐标，求出周期 ,写出 的
解析式，计算 的值即可.
【详解】设 ，
线段 的中点 的坐标为 ,，解得 ，
，解得 ，
当 时，
根据五点法画图，令 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
.
.
故选：A
练习32．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数
的部图象如图所示，则ω=______， ______；
【答案】
【分析】根据图象的最值和对称中心与相邻的对称轴之间的距离可得 ， ，然后
根据函数的对称中心求出 即可.
【详解】由最小值为1可得， ;
由对称中心 和相邻对称轴 的距离为周期的四分之一，可得 ，即 .
又 且 ，所以 .
观察图象易得 轴右侧的第一个对称中心为 ，根据 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：2； .
练习33．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）（多选）已知函数
的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． 的图像关于点 对称
B． 的图像关于直线 对称
C．将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据图中的信息求出 ，再根据正弦函数的性质逐项分析.
【详解】由图可知： ， 的周期 ，
当 时， ， ，
；对于A， ，错误；
对于B， ，正确；
对于C，将 向右平移 ：
，正确；
对于D， 的大致图像如下：
欲使得在 内方程 有2个不相等的实数根，则 ，正确；
故选：BCD.
练习34．（湖南省部分名校联盟2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试题）（多选）如图
是某质点作简谐运动的部分图象，位移 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数
关系式是 ，则下列命题正确的是（ ）
A．该简谐运动的初相为
B．该简谐运动的频率为
C．前6秒该质点的位移为D．当 时，位移 随着时间 的增大而增大
【答案】AD
【分析】由图易得 ，再代入 可得 ，然后根据每个
选项逐个分析即可
【详解】由图可知 ，∴
故此时 ，再代入点 可得 ，
且在 内， 随着 的增大而增大，
此时 ，故 ，∴ ，
对于A：∵ ，∴该简谐运动的初相为 ，故A正确；
对于B：∵ ，∴ ，∴ ，∴B错误；
对于C：当 时， ，∴C错误；
对于D： 时， ，
∴当 ， 时，且 ，
所以根据 的单调性可得，位移 随着时间 的增大而增大，∴D正确．
故选：AD．
练习35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数
， 的部分图象如图，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图象可求得 ， .然后根据 ，结合 的取值即可推出 ，
根据 ，求出 ，即可得出 .然后将 代入，即可得出答案.
【详解】由图象可知， ，所以 .
由 可得， ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
题型八 描述三角函数的变换过程
例15．（2022春·福建·高二统考学业考试）为了得到函数 的图像，只需
把曲线 上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍
B．向右平移 个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍
C．向左平移 个单位，再把纵坐标缩短到原来的
D．向右平移 个单位，再把纵坐标缩短到原来的
【答案】A【分析】根据解析式确定图象平移过程即可.
【详解】将 向左平移 个单位得 ，
再把纵坐标伸长到原来的2倍，得 .
故选：A
例16．（北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题）要得到 的图像，只要将
的图像（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】C
【分析】利用三角函数平移的性质及诱导公式即可.
【详解】函数 向左平移 个单位后得到 ，
故选：C.
练习36．（2021·高三课时练习）函数 的部分图象如
图所示， 为了得到这个函数的图象，只要将 的图象上所有的点 （ ）
A．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A【分析】先由题给条件求得 的解析式，再利用三角函数图像平移规则和伸缩规则即可
由 的图象变换得到 的图象.
【详解】由图像可得 的周期 ，则 .
由 图像过点 得： ，
则 ，又 ，则
所以 ，
故将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
便可得 的图象．
故选：A
练习37．（2023春·江西赣州·高三校考期中）（多选）要得到函数 的图象，只
需将函数 的图象上所有的点的（ ）
A．先向左平移 个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移 个单位长度，再横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
D．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
【答案】AC
【分析】根据三角函数的图象变换规则及三角函数诱导公式求解即可得出答案.
【详解】对于A， 向左平移 个单位长度，可得
，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐
标不变），可得 ，故A正确；
对于B， 向左平移 个单位长度，可得，再横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
可得 ，故B错误；
对于C， 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得
，再向左平移 个单位长度，可得 ，故C
正确；
对于D， 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得
，再向左平移 个单位长度，可得 ，
故D错误.
故选：AC.
练习38．（2023春·贵州·高三校联考期中）为了得到函数 的图象，只要将
函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合诱导公式判断函数图象的平移过程.
【详解】由 ，
所以 的图象向左平移 个单位长度可得 的图象.
故选：C
练习39．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数
的图象，只需把函数 图象上的所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
C．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】变换 ，再根据三角函数平移和伸缩法则依次判断每个选
项，对比得到答案.
【详解】 .
对选项A：得到的函数为 ，A错误；
对选项B：得到的函数为 ，B错误；
对选项C：得到的函数为 ，C错误；
对选项D：得到的函数为 ，D正确，
故选：D
练习40．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中（多选））已知函数
的部分图象如图所示，则 的图象可以由函数
的图象（ ）
A．先纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再向左平移 个单位长度得到
B．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个单位长度得到C．先向右平移 个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到
D．先向右平移 个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到
【答案】AD
【分析】根据函数图象求出 解析式，进而判断图象的平移过程即可.
【详解】由图象得， 的图象经过点 和 ，代人解析式得
，
结合图象得 ，又 ， ， ，
所以 ，故 ．
先纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得 ，
再向左平移 个单位长度得到 ；
先向右平移 个单位长度，得 ，
再纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到 .
而B、C平移过程不满足.
故选：AD
题型九 求图象变换前（后）的函数解析式
例17．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对
称轴的求法求得正确答案.【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，
所得函数图象的解析式为 ，
再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），
所得图象的函数解析式是 .
令 ，则 ，当 时， .
故选：C
例18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数 的图象上的点横坐标
变为原来的 （纵坐标变）得到函数 的图象，若存在 ，使得
对任意 恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的变换规则求出 的解析式，依题意可得 关于点 对称，
即可得到 ， ，即可得解.
【详解】将函数 的图象上的点横坐标变为原来的 （纵坐标变）得到
，
若存在 ，使得 对任意 恒成立，
所以 关于点 对称，
则 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 .
故选：C练习41．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐
标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图
象，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.
【详解】由题意可设 ，则函数 图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标伸长到原来的2倍，得 ，再向右平移 个单位长度，得到函数
则 ， 所以 ，
故 ，
根据选项可知 时， ，故C正确；
故选：C
练习42．（2023·辽宁·校联考三模）（多选）已知函数 图
像的一条对称轴为 ，先将函数 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再
将所得图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则函数 的图
像在以下哪些区间上单调递减（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】先根据对称轴求出解析式，再结合平移伸缩得出新的解析式，最后求出单调减区
间判断即可.
【详解】依题意， ，则 ，因为 ，所以，
故 ．将函数 图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到
的图像，
再将所得图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到
的图像，
令 ，得函数 的单调递减区间为
.
故选:ABD．
练习43．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考期中）（多选）将函数 的
图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移 个
单位长度，得到函数 的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象最小正周期为
C．函数 的图象在 上单调递增
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】ABD
【分析】 经过变换得到 ，对于 选项利用周期公式可以
判断，对于 选项，利用整体角的方法进行求解判断即可.
【详解】解：将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不
变），得到 ，
再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到 ，即 .对于 选项：令 ，解得 ，
当 时， ，所以 是对称中心，所以 选项正确.
对于 选项：因为 最小正周期为： ，得 ，
所以 选项正确.
对于 选项：令 ，解得 ，
所以 的递增区间为 ， ，当 时，递增区间为 ，
选项 不是 子集，显然错误.
对于 选项： 解得 ，当 时， ，所以 选项正确.
故选： .
练习44．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知 是函数 的一个零
点，将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求得 ，然后根据三角函数图象变换、诱导公式等知识求得正确答案.
【详解】依题意， ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
将 向右平移 个单位长度得到
.
故选：C
练习45．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知 ，将图象向左平移 个单位后得到 的图象，若 与 的图象关于 轴对称，则
___.
【答案】 /
【分析】利用题给条件构造关于 的三角方程，解之即可求得 的值.
【详解】将 图象向左平移 个单位后得到 的图象，
则 ，
又 与 的图象关于 轴对称，则
则 ，
则 ,
解之得 ，又 ，则
故答案为：
