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5.3 平面向量的数量积及其应用
思维导图
知识点总结
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b， ∠ AOB
＝ θ (0 ° ≤ θ ≤ 180° )叫作向量a与b的夹角.
当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作
a ⊥ b .
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a和b，它们的夹角是θ，我们把数量 | a | | b |cos __θ 叫作向
量a和b的数量积，记作 a · b ，即a·b＝ | a | | b |cos __θ.
(3)投影向量
设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线
的垂线，垂足为点A .我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】量OA1称为向量a在向量b上的 投影向量 .
向量a在向量b上的投影向量为 ( | a |cos __ θ ) .
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x x ＋y y |≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
3.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论]
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0
且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同
一个向量.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】典型例题分析
考向一 数量积的计算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案 C
解析 由|a－2b|＝3，
可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，
又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C.
(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形 ABCD的两边AB，AD向外分别作
正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则AC·FN＝________.
答案 0
解析 法一 AC·FN＝(AB＋AD)·(FA＋AN)
＝AB·FA＋AB·AN＋AD·FA＋AD·AN
＝0＋|AB|·|AN|cos ＋|AD||FA|cos ＋0＝－＝0.
法二 建立平面直角坐标系，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则A(0，2)，C，N，
则AC＝，FN＝，
则AC·FN＝－－＋＋＝0.
感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法：
(1)基底法，当已知向量的模和夹角 θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量
积的有关计算问题；
(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
考向二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，
c〉，则t＝( )
A.－6 B.－5
C.5 D.6
答案 C
解析 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，
b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，
即＝，
即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ
的值为________.
答案
解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，
所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC
＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝.
角度2 平面向量的模
例3 (2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝
8，则|a|＝________.
答案 4
解析 依题意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，
所以a⊥(b－c)，
而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，
故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，
故a·b＝|a||b|cos 45°＝8，解得|a|＝4.
感悟提升 1.求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则cos θ＝.
1 1 2 2
考向三 平面向量与三角的结合应用
例4 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P (cos α，sin α)，P (cos β，－sin β)，
1 2
P (cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( )
3
A.|OP1|＝|OP2| B.|AP1|＝|AP2|
C.OA·OP3＝OP1·OP2 D.OA·OP1＝OP2·OP3
答案 AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 由题意可知，|OP1|＝＝1，
|OP2|＝＝1，
所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；
取α＝，则P，
1
取β＝，则P，
2
则|AP1|≠|AP2|，故B错误；
因为OA·OP3＝cos(α＋β)，OP1·OP2＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
因为OA·OP1＝cos α，OP2·OP3＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，
取α＝，β＝，
则OA·OP1＝，OP2·OP3＝cos ＝－，
所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误.
感悟提升 向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向
量夹角与三角形内角的区别与联系.
基础题型训练
一、单选题
1．已知两个平面向量 的夹角为 ，且 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由平面向量数量积的运算律求解，
【详解】
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．已知向量 满足 ，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】 .
故选：C
3．已知向量 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得 ，由此根据已知条件可求得
答案.
【详解】∵ ,
又∵
∴ ，∴ ，∴ ，
故选：B.
4．在等腰三角形 中， ， ，若P为边 上的动点，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点为 ，连接 ，可得 及 ，利用数量积的运算律及中线向量公式可
求 ．
【详解】取 的中点为 ，连接 ，
因为 ，故 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
故选：B．
5．设 ， 均为单位向量，当 ， 的夹角为 时， 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影.
【详解】 在 上的投影为 ，
故选：B.
【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题.
6．已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，且 ，则
实数 的值为（ ）
A． B． C．6 D．13
【答案】B
【分析】根据向量数量积的定义及运算法则计算求解即可.
【详解】
由 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
故选：B.
二、多选题
7．已知单位向量 ， ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用单位向量的定义可判断C，D，利用平面向量的数量积公式计算可判断A，B.
【详解】解：向量 ， 为单位向量，所以有 ，故A正确；
向量夹角未知，所以B不正确；
，所以 ，所以C正确；
向量 ， 方向不一定相同，所以D不正确.
故选：AC
8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如
图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且
，则下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；
【详解】解：依题意 ，故A错误；
，故B正确；
因为 ，即 ，
所以以 ， 为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，故D错误；
故选：BC
三、填空题
9．已知 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据数量积的定义计算可得；
【详解】解：因为 ， ，且 与 的夹角为 ，
所以
故答案为：
10．在边长为4的等边 中， ，则 ___________.
【答案】 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解向量的数量积即可．
【详解】解：边长为4的等边 中， ， ，
可得 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，
则
．
故答案为： ．
11．若向量 、 满足 、 ，且 、 的夹角为 ，则 ______ ．
【答案】
【分析】根据数量积的定义求出 ，再根据 及数量积的运算律计算可得.
【详解】解：因为 、 ，且 、 的夹角为 ，
所以 ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
故答案为：
12．如图，正 的外接圆 半径为 ，点 是劣弧 上的一动点，则 的最小
值为_________．
【答案】 /
【分析】由圆的性质可知 是 的角平分线，故可知 与 同向共线，再由平方可得
的模为1，原式可化为换求 的最小值.
【详解】由圆的性质可知， ，
， 是与 同向的单位向量，
设 ，原式可化为 ,
由外接圆半径 可知， ，
,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 有最小值 ，
即 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题
13．已知向量 满足 ，且 ，求证 ．
【答案】证明见解析
【解析】要证 ，只需证明 ，再结合平面向量的数量积运算即可得证.
【详解】证明：∵ ，
∴ ．
故命题得证.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属基础题.
14．设 和 是两个单位向量，其夹角是 ，求向量 与 的夹角.
【答案】
【分析】根据题意分别求出 以及 ，进而根据平面向量的夹角公式即可求出结果.
【详解】∵ 且 与 的夹角是 ，
∴ ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 与 的夹角为θ，则
又 ，∴ ，故 与 的夹角为 .
15．已知 ，且向量 在向量 方向上的投影数量为 .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 ；
（3）当 为何值时，向量 与向量 互相垂直？
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】根据数量积的概念、投影数量的概念和向量垂直的充要条件即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 .
又 在 方向上的投影数量为 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
（2） .
（3）因为 与 互相垂直，
所以 ，
所以 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．设 且 ，k、t是两个不同时为零的实数.
(1)若 与 垂直，求k关于t的函数关系式 ；
(2)求出函数 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由 得 ，依题意 相互垂直，它们的数量积为零，这个等式，化简得到
的表达式；
（2）由于 的表达式为二次函数，故利用配方法可求得其最小值.
（1）
， ，即 ，
.
，∴ ，
由 得 或 ，∵k、t是两个不同时为零的实数，∴ .
故 .
（2）
由（1）知 = ， ，
故函数 的最小值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．已知 ， ，设 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的模求出 ，再结合 公式计算即可.
【详解】由题意知，
，
所以 ，
，
又 ，
所以 ，
故选：B
2．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 ， 的夹角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 得到 ，再由向量数量积的运算法则，结合题中条件，即可求出结
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】果.
【详解】 ， ， ，
． ， ．
故选：D.
3．已知 的外接圆半径为1，圆心为O，且 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由 ，变形为 ，两边平方求解.
【详解】因为 的外接圆半径为1，圆心为O，且 ，
所以 ，
两边平方得 ，
解得 ，
故选：B
4．已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 两边平方后可得 ，再由夹角公式求解即可.
【详解】∵ ，平方得 ，
∵ ， ，∴ ，
设 ， 的夹角为 ，其中 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：C.
5．点M在边长为4的正 ABC内（包括边界），满足 ，则 的取值范围是
△
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得 的取值范围，利用向量数量积的运算求得 的取值范围.
【详解】
分别是 的中点，则 ，
由于 在三角形 内（包括边界），且 ，
所以 点的轨迹是 ，所以 .
.
故选：B
6． 的外接圆的圆心为 ，半径为 且 ，则向量 在向量 方向上的投
影为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析： 为 中点，又 的外接圆的圆心为 ，所以 ，因
为 ，所以 ，因此向量 在向量 方向上的投影为 ，选D.
考点：向量投影
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x x ＋y y ；三是利
1 2 1 2
用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
二、多选题
7．边长为1的菱形 中， ，已知向量 满足 ，则下列结论中正确的有
（ ）
A． 为单位向量 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据单位向量的定义即可判断A选项；根据向量的线性运算和共线向量的概念即可判断B选项；
由 即可判断C选项；根据向量的线性运算和向量的垂直关系即可判断D选项.
【详解】解：易知 是边长为1的等边三角形，而 ∴A正确；
，而 ，∴ ，故B正确；
∵ 夹角为 ，C不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 中点E，故 ，故D正确．
故选：ABD.
8．已知 是 的外心， 若 ，则 的取值可能是（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】AB
【分析】结合图形，将原式两边平方得 ，由图形可知， 不能都是正数，利用三角代换，求函
数的值域，即可判断选项.
【详解】如图， ，所以 ，
，
，即 ，
如图可知，点 在优弧 上，所以 不能都是正数，
所以设 ， ， ，
即
故选：AB
三、填空题
9．若向量 ， ， ，则 与 的夹角为___________.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】先由 ，求出 ，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】 ， ， ，
， ，
，
，
，
又 ，
则 与 的夹角为 .
故答案为：
10．已知平面向量 、 的夹角为 ，且 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】根据 、 的夹角为 ，且 ， ，由 利用数量积求解.
【详解】因为 、 的夹角为 ，且 ， ，
所以 ，
故答案为： .
11．在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足 ，则 的取
值范围是__________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据题意可得点P在以AB为直径的圆O上运动，利用定点到圆上点的位置关系结合投影向量的
模可得临界点，即可求解向量积的取值范围.
【详解】解：由 ，可知点P在以AB为直径的圆O上运动，
设线段CO与圆O交于点D，延长CO与圆O交于点E，则 ， ， ．
则当点P与D重合时， 在 上的投影向量的模最小，此时 ；
当点P与E重合时， 在 方向上的投影向量的模最大，此时 ．
所以 的取值范围是 ．
故答案为：
12．在 中， ， ，则 边的长度为__．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用向量加法及数量积的运算律变形计算作答.
【详解】在 中， ， ，
则有 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 边的长度为3.
故答案为：3
四、解答题
13．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，分别求在下列条件下的 ：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据 ，代入数值，即可求出结果；
（2）因为 ，所以 或 ，再根据 即可求出结果；
（3）因为 ，所以 ，再根据 即可求出结果.
（1）
解：因为 ， ， ，所以 ；
（2）
解：因为 ，所以 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 的值为 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）
解：因为 ，所以 ，
所以 .
14．已知向量 、 中至少有一个不为零向量，对于 、 及向量 、 ，求函数
取得最小值时的条件．
【答案】当 时，函数取得最小值
【分析】对解析式进行化简，然后根据题意可得 ，则函数是一个开口向上的二次函数，故求
其对称轴即可求解
【详解】
，
因为向量 、 中至少有一个不为零向量，则 ，
所以当 时，函数取得最小值
15．已知 , , .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 和 .
【答案】（1） ；（2） ， ．
【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式求得 ，从而求得 的值；
（2）根据 ， ，运算求得结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）因为 ,
所以 .
因为 , ,
所以 ,
解得 ,所以 .
（2） ,
所以 ,
同样可求 .
【点睛】该题考查的是与向量有关的问题，涉及到的知识点有向量的数量积的运算公式，向量夹角的余弦
公式，向量的模的转化，正确运用公式是解题的关键.
16．如图，边长为2的菱形 中， ， 、 分别是 ， 的中点， 为 、 的交点，
若
（1）试用 ， 表示 ， ， ；
（2）求 的值.
【答案】（1） ， ， ；（2） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）由题意，根据平面向量的线性表示与运算法则，用 、 表示出 、 与 ；
（2）根据平面向量的数量积运算，求出 即可．
【详解】解：（1）由题意，
，
、 分别是 ， 的中点， 为 、 的交点
所以 为 的重心，设 中点为 ，则
；
（2）
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
