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5.3 平面向量的数量积及其应用
思维导图
知识点总结
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：对于两个非零向量 a 和 b，在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
叫作向量a与b的夹角.
当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b ；当θ＝90°时，则称a与b ，记作 .
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a和b，它们的夹角是θ，我们把数量 叫作向量a
和b的数量积，记作 ，即a·b＝ .
(3)投影向量
设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线
的垂线，垂足为点 A .我们将上述由向量 a得到向量OA1的变换称为向量 a向向量b ，向
1
量OA1称为向量a在向量b上的 .向量a在向量b上的投影向量为
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x x ＋y y |≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
3.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论]
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0
且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同
一个向量.典型例题分析
考向一 数量积的计算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
(2)(2023·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形 ABCD的两边AB，AD向外分别作
正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则AC·FN＝________.
感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法：
(1)基底法，当已知向量的模和夹角 θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量
积的有关计算问题；
(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.考向二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，
c〉，则t＝( )
A.－6 B.－5
C.5 D.6
(2)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ
的值为________.
角度2 平面向量的模
例3 (2023·华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝
8，则|a|＝________.
感悟提升 1.求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则cos θ＝.
1 1 2 2
考向三 平面向量与三角的结合应用
例4 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P (cos α，sin α)，P (cos β，－sin β)，
1 2
P (cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( )
3A.|OP1|＝|OP2| B.|AP1|＝|AP2|
C.OA·OP3＝OP1·OP2 D.OA·OP1＝OP2·OP3
感悟提升 向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向
量夹角与三角形内角的区别与联系.
基础题型训练
一、单选题
1．已知两个平面向量 的夹角为 ，且 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知向量 满足 ，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
3．已知向量 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C．8 D．
4．在等腰三角形 中， ， ，若P为边 上的动点，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
5．设 ， 均为单位向量，当 ， 的夹角为 时， 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．6．已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，且 ，则
实数 的值为（ ）
A． B． C．6 D．13
二、多选题
7．已知单位向量 ， ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如
图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ______．
10．在边长为4的等边 中， ，则 ___________.11．若向量 、 满足 、 ，且 、 的夹角为 ，则 ______ ．
12．如图，正 的外接圆 半径为 ，点 是劣弧 上的一动点，则 的最小
值为_________．
四、解答题
13．已知向量 满足 ，且 ，求证 ．
14．设 和 是两个单位向量，其夹角是 ，求向量 与 的夹角.
15．已知 ，且向量 在向量 方向上的投影数量为 .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 ；
（3）当 为何值时，向量 与向量 互相垂直？
16．设 且 ，k、t是两个不同时为零的实数.
(1)若 与 垂直，求k关于t的函数关系式 ；
(2)求出函数 的最小值.提升题型训练
一、单选题
1．已知 ， ，设 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 ， 的夹角 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 的外接圆半径为1，圆心为O，且 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．点M在边长为4的正 ABC内（包括边界），满足 ，则 的取值范围是
△
（ ）
A． B． C． D．
6． 的外接圆的圆心为 ，半径为 且 ，则向量 在向量 方向上的投
影为
A． B． C． D．
二、多选题7．边长为1的菱形 中， ，已知向量 满足 ，则下列结论中正确的有
（ ）
A． 为单位向量 B．
C． D．
8．已知 是 的外心， 若 ，则 的取值可能是（ ）
A． B．-1 C．1 D．
三、填空题
9．若向量 ， ， ，则 与 的夹角为___________.
10．已知平面向量 、 的夹角为 ，且 ， ，则 ______．
11．在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足 ，则 的取
值范围是__________．
12．在 中， ， ，则 边的长度为__．
四、解答题
13．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，分别求在下列条件下的 ：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
14．已知向量 、 中至少有一个不为零向量，对于 、 及向量 、 ，求函数取得最小值时的条件．
15．已知 , , .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 和 .
16．如图，边长为2的菱形 中， ， 、 分别是 ， 的中点， 为 、 的交点，
若
（1）试用 ， 表示 ， ， ；
（2）求 的值.
