文档内容
2014 年四川省雅安市中考数学试卷
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014•雅安）π0的值是（ ）
A．π B．0 C．1 D．3.14
2．（3分）（2014•雅安）在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•雅安）某市约有4500000人，该数用科学记数法表示为（ ）
A．0.45×107 B．4.5×106 C．4.5×105 D．45×105
4．（3分）（2014•雅安）数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，则这组数据的中位数是（ ）
A．1 B．3 C．1.5 D．2
5．（3分）（2014•雅安）下列计算中正确的是（ ）
A． B． =3 C．a6=（a3）2 D．b﹣2=﹣b2
+ =
6．（3分）（2014•雅安）若m+n=﹣1，则（m+n）2﹣2m﹣2n的值是（ ）
A．3 B．0 C．1 D．2
7．（3分）（2014•雅安）不等式组 的最小整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）（2014•雅安）如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O
经过下列哪种旋转可以得到△DOA（ ）
A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°9．（3分）（2014•雅安）a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c=1： ： ，则
cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2014•雅安）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P（﹣3，﹣ ），P点
1
关于x轴的对称点为P （a、b），则 =（ ）
2
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
11．（3分）（2014•雅安）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长
线与BA的延长线交于点F，则S
△AFE
：S四边形ABCE 为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7
12．（3分）（2014•雅安）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，
∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE= ，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2014•雅安）函数y= 的自变量x的取值范围为 ．
14．（3分）（2014•雅安）已知：一组数1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n个数是 ．15．（3分）（2014•雅安）若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为
“V”数，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个
数，则该数是“V”数的概率为 ．
16．（3分）（2014•雅安）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+ 与以O点为圆
心，1为半径的圆的位置关系为 ．
17．（3分）（2014•雅安）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x ，x ，且
1 2
x 2+x 2=3，则m= ．
1 2
三、解答题（共69分，解答时要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
18．（12分）（2014•雅安）（1）|﹣ |+（﹣1）2014﹣2cos45°+ ．
（2）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ），其中x= +1，y= ﹣1．
19．（8分）（2014•雅安）某老师对本班所有学生的数学考试成绩（成绩为整数，满分为100
分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信
息，解答下列问题：
分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5
频数 2 a 20 16 8
频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b
（1）求a，b的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）老师准备从成绩不低于80分的学生中选1人介绍学习经验，那么被选中的学生其成绩不
低于90分的概率是多少？20．（8分）（2014•雅安）某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在
规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任
务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解）
21．（9分）（2014•雅安）如图：在 ▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC
的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
22．（10分）（2014•雅安）如图，已知反比例函数y= 的图象与正比例函数y=kx的图象交于点
A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式 ≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由．23．（10分）（2014•雅安）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一
点，且∠CBF=∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．
24．（12分）（2014•雅安）如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且
对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．
（1）试求点A、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段
OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），
又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最
小值；若无，请说明理由．
2014 年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014•雅安）π0的值是（ ）
A．π B．0 C．1 D．3.14
考点：零指数幂．
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分析： 根据零指数幂的运算法则计算即可．
解答： 解：π0=1，
故选：C．
点评： 本题主要考查了零指数幂的运算．任何非0数的0次幂等于1．
2．（3分）（2014•雅安）在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
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分析： 根据从上面看到的图形是俯视图，可得答案．
解答： 解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误；
B、俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
C、俯视图是一个圆，故本选项错误；
D、俯视图是一个正方形，故本选项正确；
故选：D．
点评： 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义．从上面看到的图形
是俯视图．
3．（3分）（2014•雅安）某市约有4500000人，该数用科学记数法表示为（ ）
A．0.45×107 B．4.5×106 C．4.5×105 D．45×105
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错
点，由于4500000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
解答： 解：4 500 000=4.5×106．
故选：B．点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（3分）（2014•雅安）数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，则这组数据的中位数是（ ）
A．1 B．3 C．1.5 D．2
考点：中位数；算术平均数．
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分析： 根据平均数的计算公式求出x的值，再把这组数据从小到大排列，根据中位数的定义
即可得出答案．
解答： 解：∵数据0，1，1，x，3，4的平均数是2，
∴（0+1+1+x+3+4）÷6=2，
解得：x=3，
把这组数据从小到大排列0，1，1，3，3，4，
最中间两个数的平均数是（1+3）÷2=2，
则这组数据的中位数是2；
故选：D．
点评： 此题考查了中位数和平均数，根据平均数的计算公式求出x的值是本题的关键，中位
数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平
均数）．
5．（3分）（2014•雅安）下列计算中正确的是（ ）
A． B． =3 C．a6=（a3）2 D．b﹣2=﹣b2
+ =
考点：幂的乘方与积的乘方；有理数的加法；立方根；负整数指数幂．
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分析： 根据分数的加法，可判断A；
根据开方运算，可判断B；
根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C；
根据负整指数幂，可判断D．
解答： 解：A、先通分，再加减，故A错误；
B、负数的立方根是负数，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C正确；
D、b﹣2= ，故D错误；
故选：C．点评： 本题考查了幂的乘方，有理数的加法，立方根，负整数指数幂，注意幂的乘方底数不变
指数相乘．
6．（3分）（2014•雅安）若m+n=﹣1，则（m+n）2﹣2m﹣2n的值是（ ）
A．3 B．0 C．1 D．2
考点：代数式求值．
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专题： 整体思想．
分析： 把（m+n）看作一个整体并代入所求代数式进行计算即可得解．
解答： 解：∵m+n=﹣1，
∴（m+n）2﹣2m﹣2n
=（m+n）2﹣2（m+n）
=（﹣1）2﹣2×（﹣1）
=1+2
=3．
故选：A．
点评： 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
7．（3分）（2014•雅安）不等式组 的最小整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：一元一次不等式组的整数解．
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分析： 分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后找出最小整数解．
解答： 解： ，
解①得：x≥1，
解②得：x＞2，
则不等式的解集为x＞2，
故不等式的最小整数解为3．
故选：C．
点评： 本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．（3分）（2014•雅安）如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O
经过下列哪种旋转可以得到△DOA（ ）
A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°
考点：旋转的性质．
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专题： 几何图形问题．
分析： 因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕点
O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，据此可得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，
∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，
故选：C．
点评： 本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．
9．（3分）（2014•雅安）a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c=1： ： ，则
cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．
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专题： 计算题．
分析： 先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用余弦函数的定义即可求解．
解答： 解：∵a：b：c=1： ： ，
∴b= a，c= a，
∴a2+b2=a2+（ a）2=3a2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴cosB= = = ．故选：B．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个
三角形就是直角三角形，同时考查了余弦函数的定义：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做
∠A的余弦，记作cosA．
10．（3分）（2014•雅安）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P（﹣3，﹣ ），P点
1
关于x轴的对称点为P （a、b），则 =（ ）
2
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
考点：关于原点对称的点的坐标；立方根；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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专题： 计算题．
分析： 利用关于原点对称点的坐标性质得出P点坐标，进而利用关于x轴对称点的坐标性质
得出P 坐标，进而得出答案．
2
解答： 解：∵P点关于原点的对称点为P （﹣3，﹣ ），
1
∴P（3， ），
∵P点关于x轴的对称点为P （a，b），
2
∴P （3，﹣ ），
2
∴ = =﹣2．
故选：A．
点评： 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于x轴对称点的性质，得出P点坐标是
解题关键．
11．（3分）（2014•雅安）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长
线与BA的延长线交于点F，则S
△AFE
：S四边形ABCE 为（ ）A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7
考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
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专题： 几何图形问题．
分析： 利用平行四边形的性质得出△FAE∽△FBC，进而利用相似三角形的性质得出
= ，进而得出答案．
解答： 解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴△FAE∽△FBC，
∵AE：ED=3：1，
∴ = ，
∴ = ，
∴S
△AFE
：S四边形ABCE =9：7．
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，得出 = 是
解题关键．
12．（3分）（2014•雅安）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，
∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE= ，则正方形的面积为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
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分析： 过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩
形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得
OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得
OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三角
形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE= CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正
方形的性质求出OC=OD= a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出a2，再根据正方
形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，则OC=OD= ×2a= a，
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，∴DE= CD=a，
由勾股定理得，CE= = = a，
∴四边形OCED的面积= a• a+ •（ a）•（ a）= ×（ ）2，
解得a2=1，
所以，正方形ABCD的面积=（2a）2=4a2=4×1=4．
故选：B．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所
对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的
难点．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2014•雅安）函数y= 的自变量x的取值范围为 x≥﹣ 1 ．
考点：函数自变量的取值范围．
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分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（3分）（2014•雅安）已知：一组数1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n个数是 2n﹣ 1 ．
考点：规律型：数字的变化类．
菁优网版权所有专题： 规律型．
分析： 观察1，3，5，7，9，…，所给的数，得出这组数是从1开始连续的奇数，由此表示出答案
即可．
解答： 解：1=2×1﹣1，
3=2×2﹣1，
5=2×3﹣1，
7=2×4﹣1，
9=2×5﹣1，
…，
则第n个数是2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
点评： 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规
律解决实际问题．
15．（3分）（2014•雅安）若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为
“V”数，如756，326，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个
数，则该数是“V”数的概率为 ．
考点：概率公式．
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专题： 新定义．
分析： 首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求
解即可．
解答： 解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而
“V”数有2个，
故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的
概率为 = ，
故答案为： ．
点评： 本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2014•雅安）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+ 与以O点为圆
心，1为半径的圆的位置关系为 相切 ．
考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
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专题： 几何图形问题．
分析： 首先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后求得原点到直线的距离，利用圆心到直线的
距离和圆的半径的大小关系求解．
解答： 解：令y=x+ =0，解得：x=﹣ ，
令x=0，解得：y= ，
所以直线y=x+ 与x轴交于点（﹣ ，0），与y轴交于点（0， ），
设圆心到直线y=x+ 的距离为d，
则d= =1，
∵圆的半径r=1，
∴d=r，
∴直线y=x+ 与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，
故答案为：相切．
点评： 本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质，属于基础题，比较简单．
17．（3分）（2014•雅安）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x ，x ，且
1 2
x 2+x 2=3，则m= 0 ．
1 2
考点：根与系数的关系；根的判别式．
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专题： 计算题．
分析： 根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x ，x ，得出x +x 与x x 的值，再根
1 2 1 2 1 2
据x 2+x 2=3，即可求出m的值．
1 2
解答： 解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x =2m﹣1，x x =m2﹣1，
1 2 1 2
∵x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x x =（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，
1 2 1 2 1 2
解得：m =0，m =2（不合题意，舍去），
1 2
∴m=0；
故答案为：0．点评： 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x ，x 是方程
1 2
x2+px+q=0的两根时，x +x =﹣p，x x =q．
1 2 1 2
三、解答题（共69分，解答时要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
18．（12分）（2014•雅安）（1）|﹣ |+（﹣1）2014﹣2cos45°+ ．
（2）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ），其中x= +1，y= ﹣1．
考点：分式的化简求值；实数的运算；特殊角的三角函数值．
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专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义化简，第三项利
用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分
得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）原式= +1﹣2× +4=5；
（2）原式= ÷ = • = ，
当x= +1，y= ﹣1时，xy=1，x+y=2 ，
则原式= = ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）（2014•雅安）某老师对本班所有学生的数学考试成绩（成绩为整数，满分为100
分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信
息，解答下列问题：分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5
频数 2 a 20 16 8
频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b
（1）求a，b的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）老师准备从成绩不低于80分的学生中选1人介绍学习经验，那么被选中的学生其成绩不
低于90分的概率是多少？
考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式．
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专题： 图表型．
分析： （1）根据第一组的频数和频率求出总人数，再用总人数乘以59.5～69.5的频率，求出a
的值，再用8除以总人数求出b的值；
（2）根据（1）求出的a的值可补全频数分布直方图；
（3）根据图表所给出的数据得出成绩不低于80分的学生中选1人有24种结果，其成绩不低
于90分的学生有8种结果，再根据概率公式即可得出答案．
解答： 解：（1）学生总数是： =50（人），
a=50×0.08=4（人），
b= =0.16；
（2）根据（1）得出的a的值，补图如下：
（3）从成绩不低于80分的学生中选1人有24种结果，
其中成绩不低于90分的学生有8种结果，故所求概率为 = ．
点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．（8分）（2014•雅安）某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在
规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任
务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解）
考点：二元一次方程组的应用．
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专题： 应用题．
分析： 设安置x户居民，规定时间为y个月．等量关系为：若每个月安置12户居民，则在规
定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务．
解答： 解：设安置x户居民，规定时间为y个月．
则： ，
所以 12y=0.9×16（y﹣1），
所以 y=6，
则x=16（y﹣1）=80．
即原方程组的解为： ．
答：需要安置80户居民，规定时间为6个月．
点评： 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列
出方程组．
21．（9分）（2014•雅安）如图：在 ▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC
的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△ DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
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专题： 证明题．
分析： （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是
菱形判定即可．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠B=∠1，
又∵DE∥AC
∴∠2=∠E，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE；
（2）∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴ACED为平行四边形，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
由AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
又∵∠B=∠ADC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD，
∴四边形ACED为菱形．
点评： 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．22．（10分）（2014•雅安）如图，已知反比例函数y= 的图象与正比例函数y=kx的图象交于点
A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式 ≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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专题： 代数综合题；数形结合．
分析： （1）把点A的坐标代入y= 求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立
得出B点的坐标．
（2）把k的值代入不等式，讨论当a＞0和当a＜0时分别求出不等式的解．
（3）讨论当C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，根据|OA|=|
OC|，求出点C的坐标，再看AC的值看是否构成等边三角形．
解答： 解：（1）把A（m，﹣2）代入y= ，得﹣2= ，
解得m=﹣1，
∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，
∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，
∴y=2x，
又由2x= ，得x=1或x=﹣1（舍去），
∴B（1，2），
（2）∵k=2，
∴ ≥kx为 ≥2x，根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y= 的图象恒在正比例函数y=2x图象的
上方，即 ≥2x．
（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t， ）（t＜0），
∵A（﹣1，﹣2）
∴OA=
∴t2+ =5，则t4﹣5t2+4=0，
∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，
t2=4，t=﹣2，∴C（﹣2，﹣1），而此时|AC|= ，|AC|≠|AO|，
∴不存在符合条件的点C．
点评： 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点C的坐标，
看是否构成等边三角形．
23．（10分）（2014•雅安）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一
点，且∠CBF=∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．
考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有专题： 几何图形问题．
分析： （1）连接OB，根据圆周角定理证得∠CBD=90°，然后根据等边对等角以及等量代换，
证得∠OBF=90°即可证得；
（2）首先利用垂径定理求得BE的长，然后根据△OBE∽△OBF，利用相似三角形的性质求得
OF的长，则sin∠F即可求解．
解答： （1）证明：连接OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF=∠CBD=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圆的切线；
（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，
∴BE= AB=4，
设圆的半径是R，在直角△OEB中，根据勾股定理得：R2=（R﹣2）2+42，
解得：R=5，
∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，
∴△OBE∽△OBF，
∴OB2=OE•OF，
∴OF= = ，
则在直角△OBF中，sin∠F= = = ．点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这
点（即为半径），再证垂直即可．
24．（12分）（2014•雅安）如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且
对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．
（1）试求点A、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段
OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），
又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最
小值；若无，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
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专题： 压轴题．
分析： （1）根据直线解析式y=﹣3x﹣3，将y=0代入求出x的值，得到直线与x轴交点A的坐
标，将x=0代入求出y的值，得到直线与y轴交点C的坐标；
（2）根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，且过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），列出方程组，解
方程组即可求出抛物线的解析式；
（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P
（x ，﹣t），先证明△CPN∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例列出比例式 = ，求出
P
x
P
= ﹣1．再过点P作PD⊥x轴于点D，则D（ ﹣1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM2=MD2+PD2=（﹣ +4）2+（﹣t）2= （25t2﹣96t+144），利用二次函数的性质可知当t= 时，
PM2最小值为 ，即在运动过程中，线段PM的长度存在最小值 ．
解答： 解：（1）∵y=﹣3x﹣3，
∴当y=0时，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，
∴A（﹣1，0）；
∵当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（3）由对称性得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P
（x ，﹣t）．
P
∵PN∥OA，
∴△CPN∽△CAO，
∴ = ，即 = ，
∴x = ﹣1．
P
过点P作PD⊥x轴于点D，则D（ ﹣1，0），
∴MD=（3﹣t）﹣（ ﹣1）=﹣ +4，
∴PM2=MD2+PD2=（﹣ +4）2+（﹣t）2= （25t2﹣96t+144），
又∵﹣ = ＜3，∴当t= 时，PM2最小值为 ，
故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值 ．
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一次函数图象上点的坐标特征，
运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性
质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．
