文档内容
2014 年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12小题，满分48分）
1．（4分）（2014•凉山州）在实数 ， ，0， ， ，﹣1.414，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）（2014•凉山州）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2014•凉山州）下列计算正确的是（ ）
A．a•a=a2 B．（﹣a）3=a3 C．（a2）3=a5 D．a0=1
4．（4分）（2014•凉山州）某班数学学习小组某次测验成绩分别是63，72，49，66，81，53，92，
69，则这组数据的极差是（ ）
A．47 B．43 C．34 D．29
5．（4分）（2014•凉山州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=10m，则坡
面AB的长度是（ ）
A．15m B．20 m C．20m D．10 m
6．（4分）（2014•凉山州）凉山州的人口约有473万人，将473万人用科学记数法表示应为（
）
A．473×104人 B．4.73×106人 C．4.7×106人 D．47.3×105人
7．（4分）（2014•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
8．（4分）（2014•凉山州）分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．任意实数
9．（4分）（2014•凉山州）下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ）A．②③ B．③④ C．①② D．①④
10．（4分）（2014•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣ |+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
11．（4分）（2014•凉山州）函数y=mx+n与y= ，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，
且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm或 cm
二、填空题
13．（4分）（2014•凉山州）函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
14．（4分）（2014•凉山州）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 ．学校的一块菱
形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为 ．
15．（4分）（2014•凉山州）已知x = + ，x = ﹣ ，则x 2+x 2= ．
1 2 1 2
16．（4分）（2014•凉山州）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为
．
17．（4分）（2014•凉山州）“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，
来自九年级的5名同学（三男两女）成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两
名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 ．三、解答题
18．（6分）（2014•凉山州）计算：（ ）﹣2﹣6sin30°﹣（ ）0+ +| ﹣ |
19．（6分）（2014•凉山州）先化简，再求值： ÷（a+2﹣ ），其中a2+3a﹣1=0．
四、解答题
20．（8分）（2014•凉山州）州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽
查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据检测了两幅
统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= %，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有
多少人？
21．（8分）（2014•凉山州）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边
△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．22．（8分）（2014•凉山州）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n
行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…
+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中
前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n +][n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1
把两个中括号中的第一项相加，第二] 项相加…第n项相加，上式等号]的后边变形为这n个小
括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n= n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是 n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有 n（n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n =24，n =25
1 2
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方
程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的
点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出
n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
五、解答题
23．（8分）（2014•凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点
都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A ，在网格中画出平移后得到的△A B C ；
1 1 1 1
（2）把△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A B C ；
1 1 1 1 1 2 2
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
24．（8分）（2014•凉山州）我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种
树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲，乙两种树苗成活率分别是90%和
95%．
（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
六、填空题
25．（5分）（2014•凉山州）关于x的方程 =﹣1的解是正数，则a的取值范围是 ．
26．（5分）（2014•凉山州）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底
4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处
则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 cm．
七、解答题
27．（8分）（2014•凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和
割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．28．（12分）（2014•凉山州）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标
为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l ．
1
（1）平移抛物线l ，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
1
①满足此条件的函数解析式有 个．
②写出向下平移且经点A的解析式 ．
（2）平移抛物线l ，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l ，如图②，求抛物线l
1 2 2
的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC =S△ABP ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．2014 年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，满分48分）
1．（4分）（2014•凉山州）在实数 ， ，0， ， ，﹣1.414，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 实数．
分析： 根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．
解答：
解： ，0， ，﹣1.414，是有理数，
故选：D．
点评： 本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2．（4分）（2014•凉山州）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 对顶角、邻补角
分析： 根据对顶角的特征，有公共顶点，且两边互为反向延长线，对各选
项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A．∠1、∠2没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误；
B．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误；
C．∠1、∠2有公共顶点，两边互为反向延长线，是对顶角，故本选
项正确；
D．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错
误；
故选：C．
点评： 本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形特征是解题的
关键，是基础题，比较简单．
3．（4分）（2014•凉山州）下列计算正确的是（ ）
A．a•a=a2 B．（﹣a）3=a3 C．（a2）3=a5 D．a0=1
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；零指数幂
分析： 根据同底数幂的乘法，可判断A，根据积的乘方，可判断B，根据
幂的乘方，可判断C，根据非0得0次幂，可判断D．
解答： 解：A、底数不变指数相加，故A正确；
B、（﹣a）3=﹣a3，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C错误；
D、a=0时错误，故D错误；
故选：A．
点评： 本题考查了幂的乘方与积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘．
4．（4分）（2014•凉山州）某班数学学习小组某次测验成绩分别是63，72，49，66，81，53，92，
69，则这组数据的极差是（ ）A．47 B．43 C．34 D．29
考点： 极差
分析： 根据极差的定义先找出这组数据的最大值和最小值，两者相减即
可．
解答： 解：这大值组数据的最是92，最小值是49，
则这组数据的极差是92﹣49=43；
故选B．
点评： 此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差
的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
5．（4分）（2014•凉山州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=10m，则坡
面AB的长度是（ ）
A．15m B．20 m C．20m D．10 m
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题
分析： 在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，
通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解答： 解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1： ；
∴AC=BC÷tanA=10 m，
∴AB= =20m．
故选C．
点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟
练运用勾股定理是解答本题的关键．
6．（4分）（2014•凉山州）凉山州的人口约有473万人，将473万人用科学记数法表示应为（
）
A．473×104人 B．4.73×106人 C．4.7×106人 D．47.3×105人
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值是易错点，由于473万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
解答： 解：473万=4 730 000=4.73×106．
故选B．
点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
7．（4分）（2014•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：
考点： 相似多边形的性质
分析： 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．
解答： 解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1： ．
故选D．
点评： 本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．
8．（4分）（2014•凉山州）分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．任意实数
考点： 分式的值为零的条件
分析： 分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
解答： 解：依题意，得
|x|﹣3=0且x+3≠0，
解得，x=3．
故选：A．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备
两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
9．（4分）（2014•凉山州）下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①② D．①④
考点： 抛物线与x轴的交点；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；
反比例函数系数k的几何意义
分析： 首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得
各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．
解答：
解：②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=
×2×2=2；
①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条
件，无法求出阴影部分的面积；
④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三
角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；
③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×4=2；
②③的面积相等，
故选A．
点评： 此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，
是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键．
10．（4分）（2014•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣ |+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形
内角和定理
分析： 根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根
据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
解答：
解：由题意，得 cosA= ，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．
故选：C．
点评： 此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，
关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定
理．
11．（4分）（2014•凉山州）函数y=mx+n与y= ，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象
分析： 根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值；然后根据m、n
的值来确定反比例函数所在的象限．
解答： 解：A、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴ ＜0，
∴函数的y= 图象经过第二、四象限．
与图示图象不符．
故本选项错误；
B、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴ ＜0，
∴函数的y= 图象经过第二、四象限．
与图示图象一致．
故本选项正确；
C、∵函数y=mx+n经过第一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴ ＜0，
∴函数的y= 图象经过第二、四象限．
与图示图象不符．
故本选项错误；
D、∵函数y=mx+n经过第二、三、四象限，
∴m＜0，n＜0，∴ ＞0，
∴函数的y= 图象经过第一、三象限．
与图示图象不符．
故本选项错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，
要掌握它们的性质才能灵活解题．
12．（4分）（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，
且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm或 cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情
况进行讨论．
解答： 解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= = =3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC= = =4 cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC= = =2 cm．
故选C．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角
形是解答此题的关键．
二、填空题
13．（4分）（2014•凉山州）函数y= + 中，自变量x的取值范围是 x ≥ ﹣ 1 且 x ≠ 0 ．
考点： 函数自变量的取值范围
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0．
点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（4分）（2014•凉山州）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 菱形 ．学校的一块菱
形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为 24m 2 ．
考点： 菱形的判定与性质；中点四边形
分析： 因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对
角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．根据菱形的面积公
式求出即可．
解答： 解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH= BD，
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形；
这个花园的面积是 ×6m×8m=24m2，
故答案为：菱形，24m2．
点评： 本题考查了菱形的判定和菱形的面积，三角形的中位线的应用，注意：菱形
的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，
②四边相等，③对角线互相垂直平分．
15．（4分）（2014•凉山州）已知x = + ，x = ﹣ ，则x 2+x 2= 10 ．
1 2 1 2
考点： 二次根式的混合运算．
分析： 首先把x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x x ，再进一步代入求得数值即可．
1 2 1 2 1 2
解答： 解：∵x = + ，x = ﹣ ，
1 2
∴x 2+x 2
1 2
=（x +x ）2﹣2x x
1 2 1 2
=（ + + ﹣ ）2﹣2（ + ）（ ﹣ ）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
点评： 此题考查二次根式的混合运算，把代数式利用完全平方公式化简是解决问
题的关键．16．（4分）（2014•凉山州）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5 或
．
考点： 勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨
论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两
种情况下，第三边的长．
解答： 解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为： = ；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为： =5；
故第三边的长为：5或 ．
点评： 此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是
斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
17．（4分）（2014•凉山州）“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，
来自九年级的5名同学（三男两女）成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两
名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 ．
考点： 列表法与树状图法
分析： 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
解答： 解：根据题意画出树状图如下：
一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，
所以，P（恰好是一男一女）= = ．
故答案为： ．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
三、解答题
18．（6分）（2014•凉山州）计算：（ ）﹣2﹣6sin30°﹣（ ）0+ +| ﹣ |
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
分析： 先算负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，再算乘法，最后算加
减，由此顺序计算即可．
解答：
解：原式=4﹣6× ﹣1+ ﹣ +
=4﹣3﹣1+= ．
点评： 此题考查负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，二次根式的混
合运算，按照运算顺序，正确判定符号计算即可．
19．（6分）（2014•凉山州）先化简，再求值： ÷（a+2﹣ ），其中a2+3a﹣1=0．
考点： 分式的化简求值
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．
解答：
解：原式= ÷ • =
，
当a2+3a﹣1=0，即a2+3a=1时，原式= ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题
20．（8分）（2014•凉山州）州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽
查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据检测了两幅
统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a= 10 %，并写出该扇形所对圆心角的度数为 3 6 ° ，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有
多少人？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数
专题： 图表型．
分析： （1）根据各部分所占的百分比等于1列式计算即可求出a，再用360°乘以所占
的百分比求出所对的圆心角的度数，然后求出8天的人数，补全条形统计图
即可；
（2）众数和中位数的定义解答；
（3）用总人数乘以“活动时间不少于7天”的百分比，计算即可得解．
解答： 解：（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%，
所对的圆心角度数=360°×10%=36°，
被抽查的学生人数：240÷40%=600，8天的人数：600×10%=60人，
补全统计图如图所示：
故答案为：10，36°；
（2）参加社会实践活动5天的最多，
所以，众数是5天，
600人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第300人和301人都
是6天，
所以，中位数是6天；
（3）2000×（25%+10%+5%）=2000×40%=800人．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的
统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每
个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本
题也考查了中位数、众数的认识．
21．（8分）（2014•凉山州）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边
△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
专题： 证明题；压轴题．
分析： （1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等
边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明
△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且
AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即
可证明四边形ADFE是平行四边形．
解答： 证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
点评： 此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的
性质和等边三角形的性质证明平行四边形．
22．（8分）（2014•凉山州）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n
行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…
+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中
前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n +[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1
]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小
] ]
括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n= n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是 n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有 n（n+1）
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n =24，n =25
1 2
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方
程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的
点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出
n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．考点： 一元二次方程的应用；规律型：图形的变化类
分析： （1）由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有
（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有 个点，则
=600，然后解方程得到n的值；
（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2× 个进而得出即可；根据规律可
得n（n+1）=600，求n的值即可．
解答：
解：（1）由题意可得： =600，
整理得n2+n﹣1200=0，
（n+25）（n﹣24）=0，
此方程无正整数解，
所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；
（2）由题意可得：
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2× =n（n+1）；
依题意，得n（n+1）=600，
整理得n2+n﹣600=0，
（n+25）（n﹣24）=0，
∴n =﹣25，n =24，
1 2
∵n为正整数，
∴n=24．
故n的值是24．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律
的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生
了变化，是按照什么规律变化的．
五、解答题
23．（8分）（2014•凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点
都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A ，在网格中画出平移后得到的△A B C ；
1 1 1 1
（2）把△A B C 绕点A 按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A B C ；
1 1 1 1 1 2 2
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．考点： 弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换
专题： 网格型．
分析： （1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离；
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．然后利用弧长公式求点B经
过（1）、（2）变换的路径总长．
解答： 解：（1）连接AA ，然后从C点作AA 的平行线且A C =AC．
1 1 1 1
同理找到点B．
（2）画图正确．
（3） ；
弧B B 的长= ．
1 2
点B所走的路径总长= ．
点评： 本题主要考查了平移变换、旋转变换的相关知识，做这类题时，理解平移旋转的性
质是关键．
24．（8分）（2014•凉山州）我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种
树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲，乙两种树苗成活率分别是90%和
95%．
（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
分析： （1）设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，根据购买两种树苗的总价为28000
元建立方程组求出其解即可；
（2）购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗（1000﹣a）株，由这批树苗的总成
活率不低于92%建立不等式求出其解即可；（3）设购买树苗的总费用为W元，根据总费用=两种树苗的费用之和建立
解析式，由一次函数的性质求出结论．
解答： 解：（1）设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，由题意，得
，
解得： ．
答：购甲种树苗400株，乙种树苗600株；
（2）购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗（1000﹣a）株，由题意，得
90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，
解得：a≤600．
答：甲种树苗最多购买600株；
（3）设购买树苗的总费用为W元，由题意，得
W=25a+30（1000﹣a）=﹣5a+30000．
∴k=﹣5＜0，
∴W随a的增大而减小，
∵0＜a≤600，
∴a=600时，W最小=27000元．
∴购买家中树苗600株．乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27000
元．
点评： 本题考查了总价=单价×数量的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，
一元一次不等式的解法的运用，一次函数的运用，解答时求出一次函数的
解析式是关键．
六、填空题
25．（5分）（2014•凉山州）关于x的方程 =﹣1的解是正数，则a的取值范围是 a ＞﹣ 1
．
考点： 分式方程的解
分析： 根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得
答案．
解答：
解： =﹣1，解得x= ，
=﹣1的解是正数，
0
a＞﹣1，
故答案为：a＞﹣1．
点评： 本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出a的取值范围．
26．（5分）（2014•凉山州）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底
4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处
则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 2 0 cm．考点： 平面展开-最短路径问题
分析： 将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知
A′B的长度即为所求．
解答： 解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B= = =20（cm）．
故答案为：20．
点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质
和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能
力．
七、解答题
27．（8分）（2014•凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和
割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．
（1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质
分析： （1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是
⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据
三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知
∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应
边成比例即可得出结论．
解答： （1）证明：连结OC，OA，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=2∠PBC，
∴2∠ACO+2∠PBC=180°，
∴∠ACO+∠PBC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCA=∠PBC；
（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
∴ = ，
∴PC2=PA•PB，
∵PA=3，PB=5，
∴PC= = ．
点评： 本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的
关键．
28．（12分）（2014•凉山州）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标
为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l ．
1
（1）平移抛物线l ，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
1
①满足此条件的函数解析式有 无数 个．
②写出向下平移且经点A的解析式 y= ﹣ x 2 ﹣ 1 ．
（2）平移抛物线l ，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l ，如图②，求抛物线l
1 2 2
的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC =S△ABP ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．考点： 二次函数综合题
分析： （1）①根据实际情况可以直接写出结果；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入即可求得c的
值，得到函数的解析式；
（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、EE、F，求得△ABC的
面积，然后分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行讨论求解．
解答： 解：（1）①满足此条件的函数解析式有无数个；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入得：﹣1+c=﹣2，
解得：c=﹣1，
则函数的解析式是：y=﹣x2﹣1；
（2）设l 的解析式是y=x2+bx+c，
2
∵l 经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），
2
根据题意得： ，
解得： ，
则l 的解析式是：y=﹣x2+ x﹣ ，
2
则顶点C的坐标是（ ，﹣ ）．
（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=
，BE=1，DE=2，DF= ，FE= ．
得：S△ABC =S梯形ABED ﹣S梯形BCFE ﹣S梯形ACFD = ．
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y= x﹣ ，则点G的坐标为（0，﹣
），设点P的坐标为（0，h）
①当点P位于点G的下方时，PG=﹣ ﹣h，连结AP、BP，则S△AEF =S△EFG ﹣
S△AFG =﹣ ﹣h，又∵S△ABC =S△ABP = ，得h=﹣ ，点P的坐标为（0，﹣ ）．
②当点P位于点G的上方时，PG= +h，同理h=﹣ ，点PP的坐标为（0，﹣
）．
综上所述所求点P的坐标为（0，﹣ ）或（0，﹣ ）
点评： 本题是待定系数法求函数的解析式，以及函数的平移的综合题，正确理解平移
时，函数解析式的变化规律是关键．
