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2019年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是
（ ）
A．1.533×109 B．1.533×1010 C．1.533×1011 D．1.533×1012
3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
4．（4分）下列各式正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．a2•a＝a3
C．（a2）3＝a5 D． ＝a
5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
人数（人） 3 17 13 7
时间（小时） 7 8 9 10
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间
线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ 的图象相交于A、C两点，过点A作x轴
1的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝ ，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC
于E，则BE：EC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
11．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到
△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
2A． B．2π C． π D． π
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣
4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）方程组 的解是 ．
14．（4分）方程 + ＝1的解是 ．
15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2 ，则⊙O的半径是
．
16．（4分）在 ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于
▱
F，则S ：S 是 ．
△AEF △CBF
17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移 个单位后经过点A（2，2）．
3三、解答题（共5小题，共32分）
18．（5分）计算：tan45°+（ ﹣ ）0﹣（﹣ ）﹣2+| ﹣2|．
19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣ ．
20．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作
AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如
下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有 来自七年级， 来自九年级，其余的来自八年级，学校决
定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方
法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点
C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
4四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是
．
24．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点
P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x，0）、B（x，0）两点，且 +
1 2
＝1，求a的值．
26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或 ＞0），则 或 ；
②若ab＜0（或 ＜0），则 或 ．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：原不等式可化为：（1） 或（2） ．
由（1）得，x＞2，
由（2）得，x＜﹣3，
5∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为 ．
（2）求不等式 ＜0的解集（要求写出解答过程）
27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM
交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的
坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S ＝
△PAM
S ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
△PAC
62019年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是
0．
2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是
（ ）
A．1.533×109 B．1.533×1010 C．1.533×1011 D．1.533×1012
【分析】利用科学记数法表示即可
【解答】解：
科学记数法表示：153 300 000 000＝1.533×1011
故选：C．
【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式
（1≤a＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
3．（4分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
7∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题
关键．
4．（4分）下列各式正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．a2•a＝a3
C．（a2）3＝a5 D． ＝a
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式
的性质解答即可．
【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，故选项A不合题意；
B、a2•a＝a3，故选项B符合题意；
C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；
D、 ＝|a|，故选项D不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算法则以及二次根式的性质，熟练掌
握相关运算性质是解答本题的关键．
5．（4分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．
【解答】解：1﹣x≥x﹣1，
﹣2x≥﹣2
∴x≤1．
故选：C．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改
变符号这一点而出错．
6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
人数（人） 3 17 13 7
时间（小时） 7 8 9 10
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
8【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，
∴这组数据的中位数为 ＝8.5；
故选：D．
【点评】本题考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位
数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的
平均数），叫做这组数据的中位数．
7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间
线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断
即可．
【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ 的图象相交于A、C两点，过点A作x轴
的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
9A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S ＝S ，再根据反比
△OBA △OBC
例函数系数k的几何意义作答即可．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成
的直角三角形面积S是个定值，
即S＝ |k|．
所以△ABC的面积等于2× |k|＝|k|＝4．
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数y＝ 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y
轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做
此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴
作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝ |k|．
9．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝ ，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用
勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
10【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA•cosC＝1，
∴AD＝ ＝ ；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝ ，
∴AB＝ ＝2 ，
∴sinB＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，
AB的长是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC
于E，则BE：EC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出AD：DC＝1：2，根据已知和平
行线分线段成比例得出AD＝DG＝GC，AG：GC＝2：1，AO：OF＝2：1，再由同高不同底的三角
形中底与三角形面积的关系可求出BF：FC的比．
【解答】解：如图，过O作OG∥BC，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又AD：DC＝1：2，
∴AD＝DG＝GC，
11∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，
∴S ：S ＝2
△AOB △BOE
设S ＝S，S ＝2S，又BO＝OD，
△BOE △AOB
∴S ＝2S，S ＝4S，
△AOD △ABD
∵AD：DC＝1：2，
∴S ＝2S ＝8S，S ＝7S，
△BDC △ABD 四边形CDOE
∴S ＝9S，S ＝3S，
△AEC △ABE
∴
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运
用中位线定理和三角形面积公式．
11．（4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到
△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C． π D． π
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，
利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵△AOC≌△BOD，
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝ ﹣ ＝
122π，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形
OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣
4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①对称轴为x＝﹣ ，得b＝3a；
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；
③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；
④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，
4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；
【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣ ，
∴x＝﹣ ＝﹣ ，
∴b＝3a，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，
∴10a﹣4b+2c＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，
13③正确；
由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，
∴当x＝1时a+b+c＜0，
∵b＝3a，
∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，
∴4b+3c＜0，
④错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数
解析式相结合解题是关键．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）方程组 的解是 ．
【分析】利用加减消元法解之即可．
【解答】解： ，
②﹣①得：
x＝6，
把x＝6代入①得：
6+y＝10，
解得：y＝4，
方程组的解为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键．
14．（4分）方程 + ＝1的解是 x ＝﹣ 2 ．
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．
【解答】解：
去分母，得（2x﹣1）（x+1）﹣2＝（x+1）（x﹣1）
去括号，得2x2+x﹣3＝x2﹣1
移项并整理，得x2+x﹣2＝0
14所以（x+2）（x﹣1）＝0
解得x＝﹣2或x＝1
经检验，x＝﹣2是原方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程的解法．掌握分式方程的解法是解决本题的
关键．注意验根．
15．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2 ，则⊙O的半径是
2 ．
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝ CD＝ ，由直角
三角形的性质得出AC＝2CH＝2 ，AC＝ BC＝2 ，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出
OA＝2即可．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝ CD＝ ，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2 ，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝ BC＝2 ，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2．
15【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等
知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
16．（4分）在 ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于
▱
F，则S ：S 是 4 ： 2 5 或 9 ： 2 5 ．
△AEF △CBF
【分析】分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：①当AE：ED＝2：3时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，
∴△AEF∽△CBF，
∴S ：S ＝（ ）2＝4：25；
△AEF △CBF
②当AE：ED＝3：2时，
同理可得，S ：S ＝（ ）2＝9：25，
△AEF △CBF
故答案为：4：25或9：25．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的
面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17．（4分）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移 3 个单位后经过点A（2，2）．
【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【解答】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），
∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，
则2＝（2﹣3+a）2﹣2，
解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），
故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．
16故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
三、解答题（共5小题，共32分）
18．（5分）计算：tan45°+（ ﹣ ）0﹣（﹣ ）﹣2+| ﹣2|．
【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂
以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果．
【解答】解：原式＝1+1﹣2+（2﹣ ）＝ ．
【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握负整数指
数幂、特殊角的三角函数值等知识．
19．（5分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣ ．
【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a﹣1）利润平方差公式可
化为（a2﹣1），则将各项合并即可化简，最后代入a＝ 进行计算．
【解答】解：
原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8
＝2a+2
将a＝﹣ 代入原式＝2×（﹣ ）+2＝1
【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差
公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，
括号里面的符号要改变
20．（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作
AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出
17∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
∴△BOE≌△AOF（AAS）．
∴OE＝OF．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的
判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如
下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 4 0 人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 90° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有 来自七年级， 来自九年级，其余的来自八年级，学校决
定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方
法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；
（2）用360°乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；
（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；
（4）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能
的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公
式求解．
18【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有18÷45%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°× ＝90°，
故答案为：90°．
（3）获二等奖的人数＝40×20%＝8，一等奖的人数为40﹣8﹣10﹣18＝4（人），
条形统计图为：
（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为
4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考
查了统计图．
22．（8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点
C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
19【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD
＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝ EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，
根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝ BOD＝30°，根据等腰三角形的
性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝ EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
20∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝ BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是
﹣ 3 ≤ a ≤ 1 ．
【分析】直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判
别式进行计算．
【解答】解：
法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点
则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0
∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0
解得a≥﹣3，
∵0≤x≤3，对称轴x＝1
∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1
∴a≤1
法二：由题意可知，
∵抛物线的 顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1
∵y＝a，则直线y与x轴平行，
∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，
21∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，
∴﹣3≤a≤1
故答案为：﹣3≤a≤1
【点评】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二
次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．
24．（5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点
P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 4 ．
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，
代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴ ．
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．
∴ ，化简得y＝﹣ （x2﹣12x），
整理得y＝﹣ （x﹣6）2+4，
所以当x＝6时，y有最大值为4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问
题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x，0）、B（x，0）两点，且 +
1 2
22＝1，求a的值．
【分析】有韦达定理得x+x＝﹣1，x•x＝a，将式子 + ＝1化简代入即可；
1 2 1 2
【解答】解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x，0）、B（x，0）两点，
1 2
∴x+x＝﹣1，x•x＝a，
1 2 1 2
∵ + ＝ ＝ ＝1，
∴a＝﹣1+ 或a＝﹣1﹣ ；
【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题
的关键．
26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或 ＞0），则 或 ；
②若ab＜0（或 ＜0），则 或 ．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：原不等式可化为：（1） 或（2） ．
由（1）得，x＞2，
由（2）得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为 ﹣ 1 ＜ x ＜ 3 ．
（2）求不等式 ＜0的解集（要求写出解答过程）
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个
不等式组，分别求解可得．
（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，
分别求解可得．
23【解答】解：（1）原不等式可化为：① 或② ．
由①得，空集，
由②得，﹣1＜x＜3，
∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
（2）由 ＜0知① 或② ，
解不等式组①，得：x＞1；
解不等式组②，得：x＜﹣4；
所以不等式 ＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．
【点评】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解
题的关键．
27．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM
交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得 ，可得结论；
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定
理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得 ，即可求MN的长．
【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
24∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD•CD
（2）∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28
∴MC＝2
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴ ，且MC＝2
∴MN＝
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长
度是本题的关键．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的
坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
25（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S ＝
△PAM
S ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
△PAC
【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），故可设交点式y＝a
（x+1）（x﹣3），把点C代入即求得a的值，减小计算量．
（2）由于点A、B关于对称轴：直线x＝1对称，故有PA＝PB，则C ＝AC+PC+PA＝
△PAC
AC+PC+PB，所以当C、P、B在同一直线上时，C ＝AC+CB最小．利用点A、B、C的坐标求
△PAC
AC、CB的长，求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点P纵坐标．
（3）由S ＝S 可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相
△PAM △PAC
等．又因为M在x轴上方，故有CM∥PA．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解
析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）
∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3）
把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3
∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称
∴PA＝PB
∴C ＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB
△PAC
∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）
26∴AC＝ ，BC＝
∴C ＝AC+CB＝ 最小
△PAC
设直线BC解析式为y＝kx+3
把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1
∴直线BC：y＝﹣x+3
∴y＝﹣1+3＝2
P
∴点P（1，2）使△PAC的周长最小，最小值为 ．
（3）存在满足条件的点M，使得S ＝S ．
△PAM △PAC
∵S ＝S
△PAM △PAC
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方
∴CM∥PA
∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d
∴ 解得：
∴直线AP：y＝x+1
∴直线CM解析式为：y＝x+3
∵ 解得： （即点C），
∴点M坐标为（1，4）
27【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径
问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点
M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．
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