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2022年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）（2022•凉山州）﹣2022的相反数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
2．（4分）（2022•凉山州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2022•凉山州）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人
数为80917人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．8.0917×106 B．8.0917×105 C．8.0917×104 D．8.0917×103
4．（4分）（2022•凉山州）如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．（4分）（2022•凉山州）化简： ＝（ ）
A．±2 B．﹣2 C．4 D．2
6．（4分）（2022•凉山州）分式 有意义的条件是（ ）
A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠0
7．（4分）（2022•凉山州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
8．（4分）（2022•凉山州）一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
第1页（共31页）9．（4分）（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部
件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
A． 米2 B． 米2 C． 米2 D． 米2
10．（4分）（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（4分）（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，
，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
12．（4分）（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y
轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a+b＝3
C．抛物线经过点（﹣1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2022•凉山州）计算：﹣12+|﹣2023|＝ ．
14．（4分）（2022•凉山州）分解因式：ab2﹣a＝ ．
15．（4分）（2022•凉山州）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x
第2页（共31页）轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝ ．
16．（4分）（2022•凉山州）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到
B点，若入射角为 ，反射角为 （反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，
且AC＝3，BD＝6α，CD＝12，β则tan 的值为 ．
α
17．（4分）（2022•凉山州）如图， O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD
⊙
＝5，则 O的半径为 ．
⊙
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
19．（5分）（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+ ）• ，其中m为满足﹣1＜m＜4
的整数．
20．（7分）（2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．
某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自
己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参
加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信
第3页（共31页）息完成下列各题：
（1）该班的总人数为 人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如
果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选
出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
21．（7分）（2022•凉山州）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰
雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电
线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基
A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高
度（结果保留根号）．
22．（8分）（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过
点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
第4页（共31页）四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
23．（5分）（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是
．
24．（5分）（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中， O是△ABC的外接圆，点A，
B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 ． ⊙
五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（8分）（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管
理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生
每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A
型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍
共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型
羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
26．（10分）（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，
1 2 1 2
x x ＝ ．
1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
第5页（共31页）∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ．x x ＝
1 2 1 2 1 2
．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求 的值．
27．（10分）（2022•凉山州）如图，已知半径为5的 M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两
点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝⊙6．
（1）判断 M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB⊙的长；
（3）连接BM并延长交 M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
⊙
28．（12分）（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A
（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点
D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点
M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共31页）第7页（共31页）2022年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）（2022•凉山州）﹣2022的相反数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．（4分）（2022•凉山州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状
是正确判断的前提．
3．（4分）（2022•凉山州）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人
数为80917人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．8.0917×106 B．8.0917×105 C．8.0917×104 D．8.0917×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：80917＝8.0917×104．
故选：C．
第8页（共31页）【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
4．（4分）（2022•凉山州）如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据两直线平行，得到∠3＝∠2，根据对顶角相等得到∠1＝∠3，从而得到∠2＝
∠1＝50°．
【解答】解：如图，∵a∥b，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠1＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等时解题的关键．
5．（4分）（2022•凉山州）化简： ＝（ ）
A．±2 B．﹣2 C．4 D．2
【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．
【解答】解：
＝
＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
6．（4分）（2022•凉山州）分式 有意义的条件是（ ）
第9页（共31页）A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3+x≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3+x≠0，
∴x≠﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
7．（4分）（2022•凉山州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A.3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；
B.5+6＝11，不能组成三角形，不符合题意；
C.5+6＞10，能组成三角形，符合题意；
D.5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判
断两个较小的数的和＞最大的数就可以．
8．（4分）（2022•凉山州）一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】首先求得a、b的和，再求出a、b的平均数即可．
【解答】解：∵一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，
∴4+5+6+a+b＝5×5，
∴a+b＝10，
∴a、b的平均数为10÷2＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平均数的计算方法，牢记公式是解题的关键．
9．（4分）（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部
件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
第10页（共31页）A． 米2 B． 米2 C． 米2 D． 米2
【分析】连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据 O的直径为1米，得到AO＝BO＝ 米，
⊙
根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．
【解答】解：连结BC，AO，如图所示，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是 O的直径，
∵ O的⊙直径为1米，
⊙
∴AO＝BO＝ （米），
∴AB＝ ＝ （米），
∴扇形部件的面积＝ ×（ ）2＝ （米2），
π
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，
则S扇形 ＝ R2是解题的关键．
π
10．（4分）（2022•凉山州）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
第11页（共31页）【解答】解：∵函数y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，
∴当b＝0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限；
当b＞0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
则一定不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当
k＞0，b≥0时函数的图象在一、二、三象限是解答此题的关键．
11．（4分）（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，
，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【分析】根据 ＝ ，得到 ＝ ，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到
△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BC＝15（cm），
故选：C．
第12页（共31页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，得到相似三角形的对应边的比 ＝ 是解
题的关键．
12．（4分）（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y
轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a+b＝3
C．抛物线经过点（﹣1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
【分析】根据题意做出抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，根据图象的性质做出解答即可．
【解答】解：由题意作图如下：
由图知，a＞0，
故A选项说法正确，不符合题意，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），
∴a+b+c＝0，c＝﹣3，
∴a+b＝3，
故B选项说法正确，不符合题意，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴抛物线不经过（﹣1，0），
故C选项说法错误，符合题意，
由图知，抛物线 y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于 x的一元二次方程
ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，
第13页（共31页）故D选项说法正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2022•凉山州）计算：﹣12+|﹣2023|＝ 202 2 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
【解答】解：﹣12+|﹣2023|
＝﹣1+2023
＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
14．（4分）（2022•凉山州）分解因式：ab2﹣a＝ a （ b + 1 ）（ b ﹣ 1 ） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
15．（4分）（2022•凉山州）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x
轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝ 6 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出结论即可．
【解答】解：由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴ OB•AB＝3，
第14页（共31页）即OB•AB＝6，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质
及反比例函数系数k的性质是解题的关键．
16．（4分）（2022•凉山州）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到
B点，若入射角为 ，反射角为 （反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，
α β
且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan 的值为 ．
α
【分析】先根据平行线的判定与性质可得∠A＝ ，∠B＝ ，从而可得∠A＝∠B，再根据相
似三角形的判定证出△AOC∽△BOD，根据相似α三角形的β性质可得OC的长，然后根据正
切的定义即可得．
【解答】解：如图，
由题意得：OE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴AC∥OE，
∴∠A＝ ，
同理可得α：∠B＝ ，
∵ ＝ ， β
∴α∠Aβ＝∠B，
在△AOC和△BOD中 ，
第15页（共31页）∴△AOC∽△BOD，
∴ ，
∴ ，
解得：OC＝4，
∴tan ＝tanA＝ ＝ ，
α
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，掌握相似三角形的判定和
性质是解题关键．
17．（4分）（2022•凉山州）如图， O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝ ，BD
⊙
＝5，则 O的半径为 ．
⊙
【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出DH＝4，由勾股定理得出BH
＝3，设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OD，如图所示
∵AB是 O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥C⊙D，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵cos∠CDB＝ ＝ ，BD＝5，
∴DH＝4，
∴BH＝3，
设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，
第16页（共31页）在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x＝ ，
∴OB＝OH+BH＝3+ ＝ ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想
的应用．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两
个的和应等于一次项系数．
19．（5分）（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+ ）• ，其中m为满足﹣1＜m＜4
的整数．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+ ）•
＝ •
＝ •
第17页（共31页）＝ •
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
∵m≠2，m≠3，
∴当m＝1时，原式＝﹣2×1﹣6
＝﹣2﹣6
＝﹣8．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（7分）（2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．
某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自
己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参
加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信
息完成下列各题：
（1）该班的总人数为 5 0 人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如
果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选
出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【分析】（1）由选择“声乐”社团人数及其所占百分比可得该班总人数，用该班总人数乘
以选择“演讲”人数所占比例即可得出其人数，据此可补全图形；
（2）设美术社团为A，演讲社团为B，声乐社团为C．画树状图列出所有等可能结果，从中
找到恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的结果数，再根据概率公式求解即可得
出答案．
第18页（共31页）【解答】解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人），
则选择“演讲”人数为50×16%＝8（人），
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）设美术社团为A，演讲社团为B，声乐社团为C．画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1
人参加演讲社团的有4种结果，
所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（7分）（2022•凉山州）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰
雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电
线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基
A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高
度（结果保留根号）．
第19页（共31页）【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得AD、CD和BC长，然后将它们相加，
即可得到压折前该输电铁塔的高度．
【解答】解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD＝ ＝ ＝8 （米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8 米，
∴BC＝ ＝ ＝8 （米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8 +8 ）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8 +8 ）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求
出AD、CD和BC长．
22．（8分）（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过
点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
第20页（共31页）（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可
得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据
D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角
形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，
可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后
利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝ BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
第21页（共31页）∴ AB•AC＝40，
∴ ×8•AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与
性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
23．（5分）（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是
6 ．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的
性质即可得到答案．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方
法，从而完成求解．
24．（5分）（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中， O是△ABC的外接圆，点A，
⊙
第22页（共31页）B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 ．
【分析】先连接AD，BD，然后根据题意，可以求得cos∠ADB的值，再根据圆周角定理可以
得到∠ACB＝∠ADB，从而可以得到cos∠ACB的值．
【解答】解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD⊙＝90°，
∵AB＝6，BD＝4，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
∴cos∠ADB＝ ＝ ＝ ，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴cos∠ACB的值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是
求出∠ADB的余弦值．
五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（8分）（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管
第23页（共31页）理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生
每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A
型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍
共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型
羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【分析】（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解
方程组即可；
（2）设购买B型球拍a副，根据题意列出不等式，解不等式求出a的范围，根据题意列出费
用关于a的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，
，
解得 ，
答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；
（2）设购买B型球拍a副，总费用w元，
依题意得30﹣a≥2a，
解得a≤10，
w＝40（30﹣a）+32a＝﹣8a+1200，
∵﹣8＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w最小，w最小 ＝﹣8×10+1200＝1120（元），
此时30﹣10＝20（副），
答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．
【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一
次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．
26．（10分）（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，
1 2 1 2
第24页（共31页）x x ＝ ．
1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ．x x ＝
1 2 1 2 1 2
﹣ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求 的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：m+n＝ ，mn＝﹣ ，再利用分式的化简求值的方法进行
运算即可；
（3）可把s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则有s+t＝ ，st＝﹣ ，再利用
分式的化简求值的方法进行运算即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝ ＝ ，x x ＝ ＝﹣ ，
1 2 1 2
故答案为： ，﹣ ；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝ ，mn＝﹣ ，
∴
＝
第25页（共31页）＝
＝
＝ ；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s，与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝ ，st＝﹣ ，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（ ）2﹣4×（﹣ ），
（s﹣t）2＝ ，
∴s﹣t＝ ，
∴
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把s，t看作是相应
的方程的两个实数根．
27．（10分）（2022•凉山州）如图，已知半径为5的 M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两
点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝⊙6．
（1）判断 M与x轴的位置关系，并说明理由；
⊙
第26页（共31页）（2）求AB的长；
（3）连接BM并延长交 M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
⊙
【分析】（1）连接OM，由AC平分∠OAM可得∠OAC＝∠CAM，又MC＝AM，所以∠CAM
＝∠ACM，进而可得∠OAC＝∠ACM，所以OA∥MC，可得MC⊥x轴，进而可得结论；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N，则AN＝BN，且四边形MNOC是矩形，设AO＝m，可分别
表达MN和ON，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；
（3）连接AD，可得AD⊥MC，根据勾股定理可求出AD的长，进而可得出点D的坐标，利
用待定系数法可得出结论．
【解答】解：（1）猜测 M与x轴相切，理由如下：
如图，连接OM， ⊙
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC＝∠CAM，
又∵MC＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴∠OAC＝∠ACM，
∴OA∥MC，
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴，
∵CM是半径，
∴ M与x轴相切．
（2⊙）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
∴AN＝BN＝ AB，
∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，
∴四边形MNOC是矩形，
第27页（共31页）∴NM＝OC，MC＝ON＝5，
设AO＝m，则OC＝6﹣m，
∴AN＝5﹣m，
在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，
∴52＝（5﹣m）2+（6﹣m）2，
解得m＝2或m＝9（舍去），
∴AN＝3，
∴AB＝6．
（3）如图，连接AD与CM交于点E，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴AD∥x轴，
∴AD⊥MC，
由勾股定理可得AD＝8，
∴D（8，﹣2）．
由（2）可得C（4，0），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，解得 ．
∴直线CD的解析式为：y＝﹣ x+2．
【点评】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法
求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．
28．（12分）（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A
第28页（共31页）（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点
D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点
M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的
对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝
DC＝t，则P（1+t，4﹣t），然后把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得到关于t的方程，从而
解方程求出t，即可得到点P的坐标；
（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，
﹣1），找出点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），连接PF交y轴于M，则MP+ME＝
MP+MF＝PF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐
标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），
第29页（共31页）∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（1+t，4﹣t），
把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得：
﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，
解得：t ＝0（舍去），t ＝1，
1 2
∴P（2，3）；
（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这
时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，﹣1），
∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，
设直线PF的解析式为y＝kx+n，
∴ ，
第30页（共31页）解得： ，
∴直线PF的解析式为y＝ x+ ，
∴点M的坐标为（0， ）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性
质和旋转的性质，轴对称确定最短路线问题，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标
与图形性质；会运用轴对称求最短路线是解题的关键．
第31页（共31页）
