文档内容
2015 年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（4分）（2015•凉山州）（π﹣3.14）0的相反数是（ ）
A．3.14﹣π B．0 C．1 D．﹣1
2．（4分）（2015•凉山州）如图是由四个相同小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2015•凉山州）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×104人，对于这个用科学
记数法表示的近似数，下列说法正确的是（ ）
A． 精确到百分位，有3个有效数字
B． 精确到百分位，有5个有效数字
C． 精确到百位，有3个有效数字
D． 精确到百位，有5个有效数字
4．（4分）（2015•凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，
∠1=（ ）
A．52° B．38° C．42° D．60°
5．（4分）（2015•凉山州）下列根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）（2015•凉山州）某班45名同学某天每人的生活费用统计如表：
生活费（元） 10 15 20 25 30
学生人数（人） 4 10 15 10 6
对于这45名同学这天每人的生活费用，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是20 B．众数是20 C．中位数是20 D．极差是207．（4分）（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范
围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
8．（4分）（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围
成的圆锥的底面半径为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．（4分）（2015•凉山州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（
）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
10．（4分）（2015•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．130°
11．（4分）（2015•凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示
的平面直角坐标系，双曲线y= 经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
12．（4分）（2015•凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x ，y ）、（x ，y ）在函数图象上，当x ＜x 时，y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）（2015•凉山州） 的平方根是 ．
14．（4分）（2015•凉山州）已知函数y=2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a= ，b= ．
15．（4分）（2015•凉山州）小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，已知
A型血的有20人，则O型血的有 人．
16．（4分）（2015•凉山州）分式方程 的解是 ．
17．（4分）（2015•凉山州）在 ▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于
O点，则S ：S = ．
△MOD △COB
三、解答题（共2小题，满分12分）
18．（6分）（2015•凉山州）计算：﹣32÷ × +| ﹣3|19．（6分）（2015•凉山州）先化简：（ +1）+ + ，然后从﹣2≤x≤2的范围
内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
四、解答题（共3小题，满分24分）
20．（8分）（2015•凉山州）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶
E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰
好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）
21．（8分）（2015•凉山州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG
于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
22．（8分）（2015•凉山州）2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与
多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆
地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、
小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m3，每辆小车每天运送沙石120m3，
大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，
问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？
五、解答题（共2小题，满分16分）
23．（8分）（2015•凉山州）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分
别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋
中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字
为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
24．（8分）（2015•凉山州）阅读理解
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，
不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的
中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中点
∴EF∥AD∥BC
EF= （AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3 ，OC=5，求MN的长．
六、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
25．（5分）（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 =
．26．（5分）（2015•凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），
∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为
．
七、解答题（共2小题，满分20分）
27．（8分）（2015•凉山州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC
交⊙O于D、C两点．
（1）求证：PA•PB=PD•PC；
（2）若PA= ，AB= ，PD=DC+2，求点O到PC的距离．
28．（12分）（2015•凉山州）如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一
次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．
（1）求m的值．
（2）求A、B两点的坐标．（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，
b的值．2015 年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（4分）（2015•凉山州）（π﹣3.14）0的相反数是（ ）
A．3.14﹣π B．0 C．1 D．﹣1
考点：零指数幂；相反数．
.
分析：首先利用零指数幂的性质得出（π﹣3.14）0的值，再利用相反数的定义进行解答，即只
有符号不同的两个数交互为相反数．
解答： 解：（π﹣3.14）0的相反数是：﹣1．
故选：D．
点评：本题考查的是相反数的定义以及零指数幂的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（4分）（2015•凉山州）如图是由四个相同小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
.
分析：根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
解答： 解：从上边看第一层是一个小正方形，第二层在第一层的上面一个小正方形，右边
一个小正方形，
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
3．（4分）（2015•凉山州）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×104人，对于这个用科学
记数法表示的近似数，下列说法正确的是（ ）
A． 精确到百分位，有3个有效数字
B． 精确到百分位，有5个有效数字
C． 精确到百位，有3个有效数字
D． 精确到百位，有5个有效数字
考点：科学记数法与有效数字．
.
分析：近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
解答： 解：5.08×104精确到了百位，有三个有效数字，
故选C．点评：此题考查科学记数法和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法
以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
4．（4分）（2015•凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，
∠1=（ ）
A．52° B．38° C．42° D．60°
考点：平行线的性质．
.
分析：先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．
解答： 解：如图：
∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），
∴∠1=90°﹣∠3=52°，
故选A．
点评：本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同位角相等．
5．（4分）（2015•凉山州）下列根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
考点：同类二次根式．
.
分析：将各式化为最简二次根式即可得到结果．
解答： 解：A、 ，本选项不合题意；
B、 ，本选项不合题意；
C、 ，本选项合题意；
D、 ，本选项不合题意；
故选C．
点评：此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
6．（4分）（2015•凉山州）某班45名同学某天每人的生活费用统计如表：
生活费（元） 10 15 20 25 30
学生人数（人） 4 10 15 10 6
对于这45名同学这天每人的生活费用，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是20 B．众数是20 C．中位数是20 D．极差是20
考点：众数；加权平均数；中位数；极差．
.分析：根据众数、中位数、极差、平均数的概念求解．
解答： 解：这组数据中位数是20，
则众数为：20，
平均数为：20.4，
极差为：30﹣10=20．
故选A．
点评：本题考查了众数、极差、中位数和平均数的概念，掌握各知识点的概念是解答本题的关
键．
7．（4分）（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范
围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
.
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且
△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．（4分）（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围
成的圆锥的底面半径为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
考点：圆锥的计算．
.
专题：计算题．
分析：设扇形的半径为R，根据扇形面积公式得 =4π，解得R=4；设圆锥的底面圆
的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到 •2π•r•4=4π，然后解方程即可．
解答： 解：设扇形的半径为R，根据题意得 =4π，解得R=4，
设圆锥的底面圆的半径为r，则 •2π•r•4=4π，解得r=1，
即所围成的圆锥的底面半径为1cm．
故选A．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．（4分）（2015•凉山州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（
）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
考点：坐标与图形变化-对称．
.
分析：根据直线y=x是第一、三象限的角平分线，和点P的坐标结合图形得到答案．
解答： 解：点P关于直线y=x对称点为点Q，
作AP∥x轴交y=x于A，
∵y=x是第一、三象限的角平分线，
∴点A的坐标为（2，2），
∵AP=AQ，
∴点Q的坐标为（2，﹣3）
故选：C．
点评：本题考查的是坐标与图形的变换，掌握轴对称的性质是解题的关键，注意角平分线的
性质的应用．
10．（4分）（2015•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．130°
考点：圆周角定理．
.
分析：连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理
可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A
的度数．
解答： 解：连接OC，如图所示，∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∵∠1+∠BOC=360°，
∴∠1=260°，
∵∠A= ∠1，
∴∠A=130°．
故选：D．
点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：
熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．（4分）（2015•凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示
的平面直角坐标系，双曲线y= 经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
考点：反比例函数系数k的几何意义．
.
分析：根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可
求解．
解答： 解：∵双曲线y= 经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4=12．
故选：C．
点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作
垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
12．（4分）（2015•凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x ，y ）、（x ，y ）在函数图象上，当x ＜x 时，y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
.
分析： ①函数图象的对称轴为：x=﹣ = =1，所以b=﹣2a，即2a+b=0；
②由抛物线的开口方向可以确定a的符号，再利用图象与x轴的交点坐标以及数形结合思想
得出当﹣1≤x≤3时，y≤0；
③由图象可以得到抛物线对称轴为x=1，由此即可确定抛物线的增减性；
④由图象过点（3，0），即可得出9a+3b+c=0．
解答： 解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣ = =1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口方向朝上，
∴a＞0，
又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），
∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴若（x ，y ）、（x ，y ）在函数图象上，当1＜x ＜x 时，y ＜y ；当x ＜x ＜1时，y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（3，0），
∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确．
故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的
性质，抛物线与x轴的交点，难度适中．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．（4分）（2015•凉山州） 的平方根是 ± 3 ．
考点：平方根；算术平方根．
.
分析：首先化简 ，再根据平方根的定义计算平方根．
解答： 解： =9，
9的平方根是±3，故答案为：±3．
点评：此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反
数．
14．（4分）（2015•凉山州）已知函数y=2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a= ，b= ﹣ ．
考点：正比例函数的定义；解二元一次方程组．
.
分析：根据正比例函数的定义可得关于a和b的方程，解出即可．
解答： 解：根据题意可得：2a+b=1，a+2b=0，
解得：a= ，b=﹣ ．
故答案为： ；﹣ ．
点评：此题考查正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数
y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
15．（4分）（2015•凉山州）小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，已知
A型血的有20人，则O型血的有 1 0 人．
考点：扇形统计图．
.
分析：根据A型血的有20人，所占的百分比是40%即可求得班级总人数，根据AB型所对应
的扇形圆心角的度数求得对应的百分比，则用总人数乘以O型血所对应的百分比即可求解．
解答： 解：全班的人数是：20÷40%=50（人），
AB型的所占的百分比是： =10%，
则O型血的人数是：50（1﹣40%﹣30%﹣10%）=10（人）．
故答案为：10．
点评：本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16．（4分）（2015•凉山州）分式方程 的解是 x= 9 ．
考点：解分式方程．
.
专题：计算题．
分析：观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整
式方程求解．解答： 解：方程的两边同乘x（x﹣3），得
3x﹣9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
点评： 本题考查了解分式方程，注：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
17．（4分）（2015•凉山州）在 ▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于
O点，则S ：S = 或 ．
△MOD △COB
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
.
分析：首先根据M，N是AD边上的三等分点，判断出 或 ；然后根据四边形
ABCD是平行四边形，判断出AD∥BC，△DMO∽△BC0，据此求出 ；从而可得S
△MOD
：
S ．
△COD
解答： 解：如图，
∵M，N是AD边上的三等分点，
当 时，如图1，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DMO∽△BC0，
∴S ：S =（ ）2= ．
△MOD △COB
当 时，如图1，
同理可得S ：S = ．
△MOD △COB
故答案为： 或 ．点评： （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形
进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时
需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确平行四
边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四
边形的对角线互相平分．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的高
一定时，三角形的面积和底成正比．
三、解答题（共2小题，满分12分）
18．（6分）（2015•凉山州）计算：﹣32÷ × +| ﹣3|
考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．
.
分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．
解答： 解：﹣32÷ × +| ﹣3|
=﹣9× × +3﹣
=﹣ ．
点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，
正确化简各数是解题关键．
19．（6分）（2015•凉山州）先化简：（ +1）+ + ，然后从﹣2≤x≤2的范围
内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
考点：分式的化简求值．
.
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约
分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值．
解答： 解：（ +1）+ +
==
=
=
= ，
把x=0代入得：原式=﹣2．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（共3小题，满分24分）
20．（8分）（2015•凉山州）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶
E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰
好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
.
分析：根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在
Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求
出CG的长度．
解答： 解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，
∴FD=EF=6米，
在Rt△PEH中，∵tanβ= = ，
∴BF= =5 ，
∴PG=BD=BF+FD=5 +6，
在RT△PCG中，∵tanβ= ，
∴CG=（5 +6）• =5+2 ，
∴CD=（6+2 ）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数
的知识求解相关线段的长度．
21．（8分）（2015•凉山州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG
于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
.
分析：根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得
∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可
得答案．
解答： 解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．
∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，
∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
在△ABF和△DAE中 ，
∴△ABF≌△DAE （AAS），
∴BF=AE．
∵AF=AE+EF，
AF=BF+EF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形
的判定与性质，等量代换．
22．（8分）（2015•凉山州）2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与
多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆
地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、
小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m3，每辆小车每天运送沙石120m3，
大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，
问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
.
分析： （1）首先根据题意，设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆
地建设费用需y亿元，然后根据“空列”项目总共需要60.8亿元，以及每千米水上建设费用
比陆地建设费用多0.2亿元，列出二元一次方程组，再解方程组，求出每千米“空列”轨道的
水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元即可．
（2）首先根据题意，设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，然后根据每天至少需要运
送沙石1600m3，以及每天租车的总费用不超过9300元，列出一元一次不等式组，判断出施工
方有几种租车方案；最后分别求出每种租车方案的费用是多少，判断出哪种租车方案费用最
低，最低费用是多少即可．
解答： 解：（1）设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用
需y亿元，
则 ，
解得 ．
所以每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．
答：每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．
（2）设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，
则
∴ ，
∴施工方有3种租车方案：
①租5辆大车和5辆小车；
②租6辆大车和4辆小车；
③租7辆大车和3辆小车；
①租5辆大车和5辆小车时，
租车费用为：
1000×5+700×5
=5000+3500
=8500（元）
②租6辆大车和4辆小车时，
租车费用为：1000×6+700×4
=6000+2800
=8800（元）
③租7辆大车和3辆小车时，
租车费用为：
1000×7+700×3
=7000+2100
=9100（元）
∵8500＜8800＜9100，
∴租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8500元．
点评： （1）此题主要考查了一元一次不等式组的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：①分析
题意，找出不等关系；②设未知数，列出不等式组；③解不等式组；④从不等式组解集中找出
符合题意的答案；⑤作答．
（2）此题还考查了二元一次方程组的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确列二元一
次方程组解决实际问题的一般步骤：①审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的
关系．②设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．③列方程组：挖掘题目中
的关系，找出两个等量关系，列出方程组．④求解．⑤检验作答：检验所求解是否符合实际意
义，并作答．
五、解答题（共2小题，满分16分）
23．（8分）（2015•凉山州）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分
别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋
中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字
为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；切线的性质．
.
专题：计算题．
分析： （1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式
计算；
（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可
计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
解答： 解：（1）画树状图：
共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），
（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；
（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率= ；
（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，
所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率= ．
点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特
征和切线的性质．
24．（8分）（2015•凉山州）阅读理解
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，
不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的
中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中点
∴EF∥AD∥BC
EF= （AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3 ，OC=5，求MN的长．
考点：四边形综合题．
.
分析： （1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA= AD，OC=
BC，即可证明；
（2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=
MN，再根据AN= AC=4，得出ON=4﹣3=1，进而得出MN的值．解答： （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA= AD，OC= BC，
∴AC=OA+OC= （AD+BC），
∵EF= （AD+BC），
∴AC=EF；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA= AD，OC= BC，
∵OD=3 ，OC=5，
∴OA=3，
∵AD∥EF，
∴∠ADO=∠OMN=30°，
∴ON= MN，
∵AN= AC= （OA+OC）=4，
∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，
∴MN=2ON=2．
点评：此题主要考查四边形的综合题，关键是根据梯形中位线的性质和直角三角形中30°的
锐角所对的直角边是斜边的一半进行分析．
六、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
25．（5分）（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 =
﹣ ．
考点：根与系数的关系．
.
分析：由m≠n时，得到m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行
求解．
解答： 解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=2，mn=﹣
．
∴原式= = = =﹣ ，故答案为：﹣ ．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x ，x 是一元二次方程
1 2
ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 1 2
26．（5分）（2015•凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），
∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 （
） ．
考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．
.
分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．
解答： 解：连接ED，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴DP=BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（1， ），
∴点C的坐标为（3， ），
∴可得直线OC的解析式为：y= x，
∵点E的坐标为（﹣1，0），
∴可得直线ED的解析式为：y=（1+ ）x﹣1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组 的解，解方程组得： ，
所以点P的坐标为（ ），
故答案为：（ ）．
点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求
出其交点坐标．
七、解答题（共2小题，满分20分）
27．（8分）（2015•凉山州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC
交⊙O于D、C两点．
（1）求证：PA•PB=PD•PC；
（2）若PA= ，AB= ，PD=DC+2，求点O到PC的距离．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
.
分析： （1）先连接AD，BC，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，故
可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由PA•PB=PD•PC，求出CD，根据垂径定理可得点O到PC的距离．
解答： 解：（1）连接AD，BC，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，
∴△PAD∽△PCB，
∴ ，
∴PA•PB=PC•PD；
（2）连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，
∵PA= ，AB= ，PD=DC+2，
∴PB=16，PC=2DC+2
∵PA•PB=PD•PC，
∴ ×16=（DC+2）（2DC+2），
解得：DC=8或DC=﹣11（舍去）
∴DE=4，
∵OD=5，
∴OE=3，即点O到PC的距离为3．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及垂径定理，根据题
意判断出△PAD∽△PCB是解答此题的关键．
28．（12分）（2015•凉山州）如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一
次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．
（1）求m的值．
（2）求A、B两点的坐标．
（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，
b的值．
考点：二次函数综合题．
.
分析： （1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实
数根，根据判别式等于0可求得m的值；
（2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；
（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用
a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物
线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值．
解答： 解：
（1）∵抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，
∴方程x2﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，
∴（m+3）2﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9，
又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，
∴m=3；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣6x+9，联立一次函数y=x+3，可得 ，解得 或 ，
∴A（1，4），B（6，9）；
（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，
∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），
∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，
∴S
△ABC
=S梯形ABSR ﹣S
△ARC
﹣S
△BCS
= ×（4+9）×5﹣ ×2×4﹣ ×3×9=15，
S
△PAB
=S梯形PBST ﹣S梯形ABSR ﹣S梯形ARTP = （9+b）（6﹣a）﹣ （b+4）（1﹣a）﹣ ×（4+9）×5=
（5b﹣5a﹣15 ），
又S =2S ，
△PAB △ABC
∴ （5b﹣5a﹣15）=30，即b﹣a=15，
∴b=15+a，
∵P点在抛物线上，
∴b=a2﹣6a+9，
∴15+a=a2﹣6a+9，解得a= ，
∵﹣3＜a＜1，
∴a= ，
∴b=15+ = ．
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关
系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点．在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转
化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P
点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难
度．
