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专题28 电磁感应综合问题
目录
题型一 电磁感应中的图像问题.....................................................................................................1
类型1 动生问题的图像..........................................................................................................2
类型2 感生问题的图像..........................................................................................................5
类型3 动力学图像..................................................................................................................7
题型二 电磁感应中的电路问题...................................................................................................10
类型1 动生电动势的电路问题..........................................................................................11
类型2 感生电动势的电路问题..........................................................................................17
类型3 电磁感应中电荷量的计算........................................................................................20
题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题...................................................................................26
题型五 电磁感应中的能量问题...................................................................................................51
题型一 电磁感应中的图像问题
1．两类题型
(1)由给定的电磁感应过程选出正确的图像。
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图像。常
见的图像有B－t图、Φ－t图、E－t图、i－t图、v－t图及F－t图等。
2．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折
点等是解决此类问题的关键。
3．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关
系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
类型1 动生问题的图像
【例1】（2023·河南·校联考二模）如图所示，水平面内边长为 的正方形MNPQ区域内
有磁感强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，O、 分别为MN和PQ的中点。一边长为
l，总电阻为R的正方形线框abcd，沿直线 匀速穿过图示的有界匀强磁场，运动过程中
bc边始终与MN边平行，线框平面始终与磁场垂直，正方形线框关于 直线上下对称。
规定电流沿逆时针方向为正，则线框穿过磁场过程中电流I随时间t变化关系正确的是
（ ）
A． B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
【例2】（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）如图所示，平行虚线
a、b之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，两虚线间的距离为 。现使一粗细均匀、电阻为
的闭合直角三角形导线框 以恒定的速度 沿垂直于磁场边界的方向穿过磁场区域。
已知 边长为 ， 边与磁场边界平行。 时刻， 点到达边界a，取逆时针方向为
感应电流的正方向，则在导线框穿越磁场区域的过程中，感应电流 及安培力的功率 随时
间 变化的图线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t 、t 分别表
1 2
示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设 OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻
力影响，则下列图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律的是( )
类型2 感生问题的图像
【例1】 (多选)(2022·河南六市联合调研)如图甲所示，一正方形金属线圈放置在水平桌面
上，其左半边处于竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度 B随时间t变化的规律
如图乙所示(竖直向下为B的正方向)，而线圈始终保持静止。则下列关于线圈中的感应电
流i(逆时针方向为其正方向)及线圈所受摩擦力F(取水平向右为其正方向)随时间t变化的关
f
系图像中正确的是( )
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【例2】(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，
其变化规律如图乙所示．线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁
场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿 abca方向为
正，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律是( )
类型3 动力学图像
【例1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中放置两平行
且足够长的光滑水平金属导轨，导体棒MN沿轨道向右匀速运动，导轨左侧接有电源和电
容器，不计导体棒以外的电阻。 时将S由a转接到b，MN两端的电势差 、导体棒
的动能 与时间t或位移x的关系图像一定错误的是（ ）
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C． D．
【例2】（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）如图所示，固定在同一水平面
内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d，其左端接有阻值为R的电阻，整个装置处在
竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量m(质量分布均匀)的导体杆在向右
运动，且与两导轨保持良好接触，从某时刻起施加一拉力F，F＝kv(k为大于0的常数)，其
他电阻均不计，则此后导体杆的速度随时间变化图像可能为（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
类型1 动生电动势的电路问题
【例1】（2023春·四川成都·高三校联考期中）水平放置的光滑平行导轨固定，导轨左侧
接有定值电阻R，导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，足够长的金属棒ab置于导
轨上且接触良好。如图甲，当金属棒ab垂直于导轨以速度v向右匀速运动时，金属棒ab
产生的感应电动势为 。如图乙，保持磁感应强度不变，当金属棒ab倾斜放置，与导轨
成 ，仍以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为 。不计导轨和
金属棒ab的电阻，则通过金属棒ab的电流方向及 和 之比分别为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． ， B． ，
C． ， D． ，
【例2】．（2023春·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考期中）如图所示，光滑水平面上
存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m边长为a的正方形线框ABCD斜向穿进磁
场，当AC刚进入磁场时速度为v，方向与磁场边界成 。若线框的总电阻为R，则（
）
A．AC刚进入磁场时，DA两端电势差等于DC两端电势差
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
C．AC刚进入磁场时，线框所受安培力为
D．在以后穿过磁场的过程中，线框的速度不可能减小到零
【例3】（2023春·山东临沂·高三统考期中）如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨
ab、cd与水平面成θ=30°固定，导轨间距离为l＝1m，电阻不计，一个阻值为R 的定值电
0
阻与可变电阻并联接在两金属导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与
导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B＝1T。 现将一质量为m、不计电阻的金属棒MN
从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好，且始终与导轨保持垂直，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司改变可变电阻的阻值R，测定金属棒的最大速度v，得到 的关系如图乙所示，g取
10m／s2。 则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的质量m＝1kg B．金属棒的质量m＝2kg
C．定值电阻R＝2Ω D．定值电阻R＝4Ω
0 0
【例4】．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）半径为a右端开
小口的导体圆环和长为 的导体直杆，单位长度电阻均为 。圆环水平固定放置，整个内
部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径
向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由
确定，如图所示。则（ ）
A． 时，杆产生的电动势为
B． 时，杆产生的电动势为
C． 时，杆受的安培力大小为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D． 时，杆受的安培力大小为
类型2 感生电动势的电路问题
【例1】（2023春·重庆·高三校联考期中）如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的
圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R 连接成闭合回路。线圈的半径为r 在线圈中半径为r
1 1。 2
的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图
线如图（b）所示。图线与横、纵轴的截距分别为t 和B，导线的电阻不计。在0至t 时间
0 0 1
内，下列说法中正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点电势
B．电流的大小为
C．线圈两端的电压大小为
D．通过电阻R 的电荷量
1
【例2】．（2023春·广西来宾·高三校考阶段练习）用电阻为r的硬质细导线，做成半径为
R的圆环，垂直圆环面的磁场充满其内接正方形， 时磁感应强度的方向如图（a）所示，
磁感应强度随时间t的变化关系如图（b）所示，则圆环中产生的感应电动势为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【例3】（2023春·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，边长为 的正方形金属框
由两种材料组成，其中 边电阻为 ，其余3个边总电阻为 ，框内有垂直框面
向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
类型3 电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流
设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律
＝，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝.即q＝n
【例1】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．
轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM
与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.现使
OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则
等于( )
A. B. C. D．2
【例2】如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀
强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B ；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时
0
间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率
为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
0
(1)t＝时，圆环受到的安培力；
(2)在0～t 内，通过圆环的电荷量．
0
【例3】(2020·浙江7月选考·12)如图所示，固定在水平面上的半径为 r的金属圆环内存在
方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，
另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动．在圆环的A点和电刷间接
有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板
间处于静止状态．已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．棒产生的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
【例4】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两轨相距
，导轨的左端与阻值 的电阻相连，导轨电阻不计；导轨在 侧，存在
沿x方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度B随位置x的变化如图
乙所示，现有一根质量 、电阻 的金属棒MN置于导轨上，并与导轨垂直，
棒在外力F作用下，从 处以初速度 沿导轨向右作变速运动，且金属棒MN在
运动过程中受到的安培力大小不变，下列说法中正确的是（ ）
A．金属棒MN向右做匀加速直线运动
B．金属棒MN在 处的速度大小为
C．金属棒MN从 运动到 过程中外力F所做的功为
D．金属棒MN从 运动到 过程中，流过金属棒MN的电荷量为
题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
v 若F ＝0 匀速直线运动
合
↓ v增大，若a恒定，拉力F增大
E＝Blv
a、v同向
v增大，F
安
增大，F
合
减小，a减小，做加速
度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线
↓
运动
若F ≠0
合
I＝
↓
↓
F ＝ma
合
F ＝BIl
v减小，F
安
减小，a减小，当a＝0，静止或
安 a、v反向
匀速直线运动
↓
F
合
【例1】（2023届浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高三下学期6月适应性考试物理试
题）如图所示，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的
质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面
内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁
场的上边界水平。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲产生的焦耳热比乙多 B．甲加速运动，乙减速运动
C．甲和乙都加速运动 D．甲减速运动，乙加速运动
【例2】．（2023春·安徽合肥·高三校联考期中）如图所示，MN和PQ是两根互相平行、
竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终
与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻，开始时，将开关S断开，让杆
ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合。若从S闭合开始计时，金属杆下落的
速度大小可能（ ）
A．始终增加 B．先增加后减小 C．始终不变 D．先减小后增大
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，在水平地面上固定有一光滑的且电阻不计的
平行金属导轨，导轨间距 。导轨左端接入一个 的定值电阻，导轨右端接入
一个阻值为 的小灯泡。在轨道中间CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁
场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，已知CE长 。在 时，一阻值
的金属棒，在垂直于金属棒的恒定外力F作用下从AB位置由静止开始沿导轨向右
运动，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，小灯泡的
亮度一直保持不变，则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．金属棒在未进入磁场时，通过小灯泡的电流
B．金属棒在未进入磁场时，金属棒所受到的恒定外力
C．金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，金属棒的最大速度为
D．金属棒的质量 ，小灯泡的功率为
【例4】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，倾斜放置的平行金属导轨固定在范围足够大，
方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨与水平面夹角为 ，两导轨间距为
L，导轨下端连入一个阻值为R的定值电阻。将一质量为m的导体杆AC水平放置于导轨某
处，并对它施加一瞬时冲量，使其获得一个沿斜面向上的初速度 。一段时间后，观察到
导体杆沿斜面匀速下滑。已知导体杆和斜面间的动摩擦因数为 ，导体杆和导轨电阻不计，
重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．导体杆刚开始上滑时摩擦力最小
B．导体杆刚开始上滑时加速度最小
C．导体杆的最终速度为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．导体杆下滑过程中，电阻R的功率增加的越来越慢，然后保持不变
【例5】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，两足够长的水平光滑导轨置于竖直方向
的匀强磁场中，左端分别连接一定值电阻和电容器，将两导体棒分别垂直放在两导轨上。
给甲图导体棒一水平向右的初速度v，乙图导体棒施加水平向右的恒定拉力F。不计两棒电
阻，两棒向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，导体棒速度的减小量与运动的时间成正比
B．图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比
C．图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比
D．图乙中，导体棒速度的增加量与通过的距离成正比
【例6】(2021·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度
大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与
x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外
力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x 时，电容器极板上的电荷量为BCvxtan θ
0 0
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
【例7】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，一宽度为L的光滑导轨与水平面成α角，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R的电阻，
导轨电阻不计。一质量为m，电阻也为R的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，
重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒将做匀加速运动
B．释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcosα
C．金属棒的最大速度大小为
D．金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量越来越多
【例8】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）如图1所示，水平面上固定有足够长的平行
导轨，导轨间距d=0.4m，虚线OO 垂直于导轨，OO 左侧部分的导轨与电容C=2mF的平
1 2 1 2
行板电容器AB相连，且由不计电阻的光滑金属材料制成，OO 右侧部分的导轨由粗糙的
1 2
绝缘材料制成。将一质量m=0.1kg、电阻不计的金属棒MN通过水平轻绳绕过光滑定滑轮
与质量为2m的小物块相连，OO 左侧处于方向竖直向下的匀强磁场中。t=0时刻，将垂直
1 2
于导轨的金属棒MN由静止释放，金属棒在轻绳的拉动下开始运动，当金属棒MN越过虚
线OO 后，作出金属棒的 图像如图2所示。已知重力加速度取g=10m/s2，整个过程中
1 2
电容器未被击穿，则下列分析正确的是（ ）
A．电容器的A极板带正电
B．金属棒与绝缘材料间的动摩擦因数为0.25
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．金属棒的释放点到虚线OO 的距离为2m
1 2
D．匀强磁场的磁感应强度大小为2.5T
【例9】（2023·江西宜春·校联考二模）两足够长的平行金属直导轨与水平面间的夹角为
，间距 ，导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中 ，两根相同的质量
均为 金属棒 垂直地放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数0.75，且最大静摩
擦力等于滑动摩擦力。一根轻质细绳跨过如图所示光滑的轻质定滑轮，一端悬吊一重物
，另一端连接金属棒Q，定滑轮右侧的细绳和导轨平行，将两金属棒同时由静止
释放，经过一段时间后，系统处于稳定的运动状态。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直
并接触良好，闭合回路中除两金属棒以外电阻均不计，已知每根金属棒在两导轨间电阻均
为 ，重力加速度大小 ，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒 的最大速度为 B．金属棒 的最大加速度为
C．最终金属棒 的加速度都是0 D．金属棒 先加速后匀速
【例10】（2023·河南·校联考模拟预测）如图甲所示，间距L=1m的长直平行导轨固定在
水平面上，虚线MN与导轨垂直，在其右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度
大小B=1T；质量均为m=2kg的金属棒P、Q垂直放在导轨上，P、Q与导轨间的动摩擦因
数均为μ且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，P棒到MN存在一段距离；t=0时刻起，P棒始
终受到一方向水平向右、大小为F=8N的恒定拉力作用，其运动的v-t图像如图乙所示，其
中t=0到t=4s的图像为直线，已知P、Q棒接入电路的总电阻R =1Ω，运动过程中两棒未
总
发生碰撞，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．金属棒与导轨间的动摩擦因数大小为μ=0.1
B．P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小为2m/s2
C．电路稳定时，P棒的速度大小为4m/s
D．电路稳定时，Q棒的速度大小为2m/s
【例11】（2023·天津河北·统考二模）如图所示，一倾角为 的光滑固定斜面的顶端放有
质量 的 型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻 的金属棒 的两
端置于导体框上，与导体框构成矩形回路 ； 与斜面底边平行，长度 。初
始时 与 相距 ，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离
后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平
行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框
的 边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始
终接触良好，磁场的磁㤪应强度大小 ，重力加速度大小取 ， 。
求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【例12】．（2023春·福建泉州·高三校考期中）如下图所示，在距离水平地面h=0.8m的
虚线的上方有一个方向垂直于纸面水平向内的匀强磁场。正方形线框abcd的边长l=0.2m，
质量m=0.1kg，电阻R=0.08Ω。某时刻对线框施加竖直向上的恒力F=2N，且ab边进入磁
场时线框以v=2m/s的速度恰好做匀速运动。当线框全部进入磁场后，立即撤去外力F，线
0
框继续上升一段时间后开始下落，最后落至地面。整个过程线框没有转动，线框平面始终
处于纸面内，g取10m/s2。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）线框从开始进入磁场运动到最高点所用的时间；
（3）线框落地时的速度的大小。
【例13】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图甲所示，空间存在方向竖直向下、磁
感应强度大小 的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，
间距 ，左端连接阻值 的电阻。质量 的导体棒ab垂直跨放在导轨
上，与导轨间的动摩擦因数 ，从 时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水
平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂
直且接触良好，除R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度g取
（1）若电动机保持恒定功率输出，棒的 图象如图乙所示（其中OA是曲线，AB是直
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司线），已知 内电阻R上产生的热量 ，求：导体棒达到最大速度 时牵引力
大小及导体棒从静止开始达到最大速度 时的位移大小；
（2）若电动机保持恒定牵引力 ，且将电阻换为 的电容器（耐压值足够
大），如图丙所示，证明导体棒做匀加速运动，并求出加速度。
题型五 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
――――――→―――→
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两根间距为 、电阻不计的足够
长光滑平行金属导轨与水平面夹角 ，导轨底端接入一阻值为 的定值电阻，
所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂
直于导轨放置一质量为 、电阻为 的金属杆，开始时使金属杆保持静止，
某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上 的恒力，金属杆由静止开始运动，图乙为运
动过程的 图像，重力加速度 。则在金属杆向上运动的过程中，下列说法中
正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度
B．前2s内通过电阻R的电荷量为1.4C
C．前2s内金属杆通过的位移为4m
D．前4s内电阻R产生的热量为6.2J
【例2】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角
为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁
场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂
直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不
正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【例3】（2023春·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角
坐标系 中， 竖直向下， 水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的
磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照 （ 且为已知常
数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重
合，一边与y轴重合。将导线框以速度 沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两
邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落
高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直
B．导线框下落高度为h时的速度小于
C．整个过程中导线框中产生的热量为
D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
【例4】．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平
行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为 ，导轨间距为L，O、M间接
有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，
其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应
强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为 ，加速度大小为 、方向沿导轨向上。自闭合电键
到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。
金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
A． B．
C． D．
【例5】．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，两平行光滑长直金属
导轨水平放置，间距为L，两导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。
一质量为m、电阻为R、长度恰好等于导轨间宽度的导体棒ab垂直于导轨放置。闭合关
S，导体棒ab由静止开始运动，经过一段时间后达到最大速度。已知电源电动势为E、内
阻为 R，不计金属轨道的电阻，则（ ）
A．导体棒的最大速度为
B．开关S闭合瞬间，导体棒的加速度大小为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，通过导体棒的电荷量为
D．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，导体棒产生的焦耳热为
【例6】（2023春·江西上饶·高三校联考阶段练习）如图甲所示，两电阻不计，且足够长
的平行光滑导轨与水平面的夹角 ，导轨下端接一阻值 的定值电阻。空间中
存在垂直导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场。导体棒ab的长度和导
轨间距均为 ，导体棒电阻 、质量 。在导体棒ab上施加一沿导轨
平面向上的作用力F，使导体棒ab沿导轨由静止开始运动。已知重力加速度为 ，
，导轨足够长，导体棒沿导轨运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若F为恒力，大小为1.6N，求导体棒最终匀速运动的速度；
（2）若作用力F的大小随时间变化的关系图像如图乙所示，力F作用过程中导体棒ab的
速度大小与时间的关系图像如图丙所示，则图中F 和v 的大小分别为多少；
m 1
（3）在上述题设（2）的作用力下，已知0~4s内导体棒克服外力F做功为4.4J，求0~4s内
电路产生的焦耳热。
【例7】．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图甲所示，光滑的金属
导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B
＝2.0T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6Ω的电阻，质量m＝0.5kg，电
阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆
ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8m时达到稳定状态，对应过程的v-t
图像如图乙所示。取g＝10m/s2，导轨足够长（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：
（1）运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）由图中信息计算0~1s内，通过电阻R的电量q和导体棒滑过的位移x。
【例8】（2023·河北·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平
面夹角为 ，间距为 ，在导轨之间接有阻值为 的定值电阻，质量为
，电阻为 的金属杆ab由跨过光滑定滑轮的轻绳与质量为 的重物
P相连，磁感应强度为 的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆ab置于导轨下
端靠近电阻R处，将重物P和金属杆ab由静止释放，当金属杆ab运动到Q点（图中未画
出）时，通过R的电量为 ，此时重物P已经开始匀速下降，运动过程中金属杆ab始
终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速度g取 ，求：
（1）重物P匀速下降的速度v；
（2）金属杆ab从释放到Q点的过程中，定值电阻R中产生的焦耳热 ；
（3）若金属杆到达Q点后，磁感应强度开始发生变化，致使金属杆开始向上以 的加
速度向上加速运动。试写出磁感应强度B随时间t变化的关系式。
【例9】（2023·湖北·模拟预测）如图，两条足够长的平行金属导轨间距L＝0.5m，与水平
面的夹角θ＝30°，处于磁感应强度B＝0.2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司上的a、b两根导体棒质量分别为m＝0.3kg、m＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω。现将a、b棒
由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略
不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度g＝10m/s2.已知当a棒中
产生的焦耳热Q＝0.12J时，其速度v＝1.0m/s，求：
（1）此时b棒的速度大小；
（2）此时b棒的加速度大小；
（3）a棒从静止释放到速度达到1.0m/s所用的时间。
【例10】（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图所示，弯折成 角的两根足够长金属导轨平行
放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成 ，右导轨平面与水平面成
，两导轨相距 ，电阻不计 质量均为 ，电阻均为 的金属
杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为 ，整个
装置处于方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中，现让cd固定不动，
将金属棒b由静止释放，当b沿导轨下滑 时，速度刚好达到稳定，此时，整个回路
消耗的电功率为 ，g取 ，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑 的过程中b棒上产生的焦耳热Q。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【例11】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内的虚线
下方存在范围足够大、方向水平的匀强磁场，同一高度处磁感应强度大小相等，竖直方向
上磁感应强度随距离关系满足B=kh，k为常量，将一竖直放置、边长为L的单匝正方形金
属线框abcd从图示位置由静止释放，线圈质量为m、电阻为R，不计空气阻力，重力加速
度g。求：
（1）线圈中的最大电流I 和电流的方向；
m
（2）线圈下落高度h（已达最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热Q。
【例12】．（2023春·广东潮州·高三潮州市金山中学校考阶段练习）如图所示，倾角为
的光滑固定斜面，斜面上相隔为 的平行虚线 与 间有大小为
的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量 ，电阻 ，边长 的正方向
单匝纯电阻金属线圈，线圈 边从距 上方 处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，
且 边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动。重力加速度 。求：
（1） 边刚进入磁场时线圈的速度 和加速度 ；
（2）线圈进入磁场的过程中，通过 边的电量q；
（3）线圈通过磁场的过程中产生的热量Q。
【例13】．（2023春·湖北·高三校联考期中）如图甲所示，游乐园中的过山车虽然惊险刺
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司激，但也有多种措施保证了它的安全运行。其中磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的
安全商设计的一种刹车形式，磁场很强的钕磁铁安装在轨道上，刹车金属框安装在过山车
底部。其简化模型如图所示，将刹车金属框看作为一个边长为L，总电阻为R的单匝正方
形线框，则过山车返回水平站台前的运动可以简化如下：线框沿着光滑斜面下滑s后，下
边框进入匀强磁场时线框开始减速，下边框出磁场，线框刚好开始做匀速直线运动。已知
斜面与水平面的夹角为θ，过山车的总质量为m，磁场区上下边界间的距离也为L，磁感应
强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g，求：
（1）线框刚进入磁场上边界时，从斜面上方俯视线框求感应电流的方向和此时感应电流的
大小？
（2）线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热？
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