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第 4 讲 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1.(2017·保定模拟)有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关
系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.
答案 A
2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n α，则“α∥β”是“m∥β
且n∥β”的( )
⊂
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m，n α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n α，m∥β且n∥β，则α
与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
⊂ ⊂
答案 A
3.(2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A B C 中，过A B
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的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
解析 在三棱柱ABC－A B C 中，AB∥A B ，
1 1 1 1 1
∵AB 平面ABC，A B ⊄平面ABC，
1 1
∴A B ∥平面ABC，
1 ⊂1
∵过A B 的平面与平面ABC交于DE.
1 1
∴DE∥A B ，∴DE∥AB.
1 1
答案 B
4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱
的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
解析 ①中，易知NP∥AA′，
MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，
可得出AB∥平面MNP(如图).
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
答案 B
5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
⊂
解析 若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n α，则
m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，
⊂
m⊥n，则n∥α或n α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也
可能n α，D错.
⊂
答案 B
⊂
二、填空题
6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面
中与MN平行的是________.
解析 如图，取CD的中点E.
连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所
以AE，BE分别过 M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝
1∶2，
所以MN∥AB.
因为AB 平面ABD，MN⊄平面ABD，AB 平面ABC，MN⊄平面ABC，
⊂ ⊂所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案 平面ABD与平面ABC
7.如图所示，正方体ABCD－A B C D 中，AB＝2，点E为AD
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的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB C，则线段EF的长度
1
等于________.
解析 在正方体ABCD－A B C D 中，AB＝2，∴AC＝2.又E
1 1 1 1
为AD中点，EF∥平面AB C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB C＝AC，
1 1
∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
⊂
答案
8.(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD－A B C D 中，
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E，F，G，H分别是棱CC ，C D ，D D，DC的中点，N是BC的
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中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条
件________时，就有MN∥平面B BDD .(注：请填上你认为正
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确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD ，HN∥BD，
1
∴平面FHN∥平面B BDD ，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面
1 1
B BDD .
1 1 ⊂
答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合)
三、解答题
9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
解 (1)点F，G，H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正
方体，
所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边
形，所以BE∥CH.又CH 平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.
⊂又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.
10.(2014·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面
ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求A
到平面PBC的距离.
(1)证明 设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
又因为EO 平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)解 V＝PA·AB·AD＝AB.
⊂
由V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于H.
由题设知 AB⊥BC，PA⊥BC，且PA∩AB＝A，所以
BC⊥平面PAB.又AH 平面PAB，所以BC⊥AH，
又PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC.
⊂
∵PB 平面PBC，∴AH⊥PB，
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，
⊂
所以AH＝＝.
所以A到平面PBC的距离为.
11.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m
为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
⊂ ⊂
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
⊂ ⊂
其中真命题的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中l与m也可能
异面；③中⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确.
答案 C
12.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，
错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMNC.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
解析 因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，又PQ 平面ABC，MN⊄平面
ABC，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，又MN 平面PQMN，
⊂
AC⊄平面PQMN，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则
⊂
AC⊥BD，故A，B正确.
又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，
即为45°，故D正确.
答案 C
13.如图所示，棱柱ABC－A B C 的侧面BCC B 是菱形，设D是A C 上的点且
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A B∥平面B CD，则A D∶DC 的值为________.
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解析 设BC ∩B C＝O，连接OD.
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∵A B∥平面B CD且平面A BC ∩平面B CD＝OD，
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∴A B∥OD，∵四边形BCC B 是菱形，∴O为BC 的中点，
1 1 1 1
∴D为A C 的中点，则A D∶DC ＝1.
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答案 1
14.(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC－A B C 中，已知
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AC⊥BC，BC＝CC .设AB 的中点为D，B C∩BC ＝E.求证：
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(1)DE∥平面AA C C；
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(2)BC ⊥AB .
1 1
证明 (1)由题意知，E为B C的中点，又D为AB 的中点，因
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此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA C C，AC 平面AA C C，
1 1 1 1
所以DE∥平面AA C C.
1 1 ⊂
(2)因为棱柱ABC－A B C 是直三棱柱，
1 1 1
所以CC ⊥平面ABC.因为AC 平面ABC，所以AC⊥CC .
1 1
又因为AC⊥BC，CC 平面BCC B ，
1 ⊂ 1 1
⊂BC 平面BCC B ，BC∩CC ＝C，
1 1 1
所以AC⊥平面BCC B .又因为BC 平面BCC B ，
⊂ 1 1 1 1 1
所以BC ⊥AC.因为BC＝CC ，
1 1 ⊂
所以矩形BCC B 是正方形，因此BC ⊥B C.
1 1 1 1
因为AC，B C 平面B AC，AC∩B C＝C，
1 1 1
所以BC ⊥平面B AC.又因为AB 平面B AC，
1 ⊂ 1 1 1
所以BC ⊥AB .
1 1 ⊂
