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第 4 讲 数列求和
一、选择题
1.等差数列{a }的通项公式为a ＝2n＋1，其前n项和为S ，则数列的前10项的
n n n
和为( )
A.120 B.70 C.75 D.100
解析 因为＝n＋2，所以的前10项和为10×3＋＝75.
答案 C
2.数列{a }的前n项和为S ，已知S ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S ＝(
n n n 17
)
A.9 B.8 C.17 D.16
解析 S ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋
17
(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
答案 A
3.数列{a }的通项公式为a ＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S 等于(
n n 100
)
A.200 B.－200 C.400 D.－400
解析 S ＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)
100
＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
答案 B
4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，
每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 等于( )
16
A.5 B.6 C.7 D.16
解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从
第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋
6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S ＝2×0＋7＝7.故选C.
16
答案 C
5.已知数列{a }满足a ＝1，a ·a ＝2n(n∈N*)，则S ＝( )
n 1 n＋1 n 2 016
A.22 016－1 B.3·21 008－3
C.3·21 008－1 D.3·21 007－2
解析 a ＝1，a ＝＝2，又＝＝2.∴＝2.∴a ，a ，a ，…成等比数列；a ，a ，a ，…
1 2 1 3 5 2 4 6
成等比数列，∴S ＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a
2 016 1 2 3 4 5 6 2 015 2 016
＝(a ＋a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋a ＋…＋a )
1 3 5 2 015 2 4 6 2 016
＝＋＝3·21 008－3.故选B.
答案 B
二、填空题
6.(2017·保定模拟)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的
和为________.
解析 由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和
公式可得和为－n＝2n＋1－2－n.
答案 2n＋1－2－n
7.(2016·宝鸡模拟)数列{a }满足a ＋a ＝(n∈N*)，且a ＝1，S 是数列{a }的前
n n n＋1 1 n n
n项和，则S ＝________.
21
解析 由a ＋a ＝＝a ＋a ，∴a ＝a ，
n n＋1 n＋1 n＋2 n＋2 n
则a ＝a ＝a ＝…＝a ，a ＝a ＝a ＝…＝a ，
1 3 5 21 2 4 6 20
∴S ＝a ＋(a ＋a )＋(a ＋a )＋…＋(a ＋a )
21 1 2 3 4 5 20 21
＝1＋10×＝6.
答案 6
8.(2017·安阳二模)已知数列{a }中，a ＝－4n＋5，等比数列{b }的公比q满足q
n n n
＝a －a (n≥2)且b ＝a ，则|b |＋|b |＋|b |＋…＋|b |＝________.
n n－1 1 2 1 2 3 n
解析 由已知得b ＝a ＝－3，q＝－4，∴b ＝(－3)×(－4)n－1，∴|b |＝3×4n－1，
1 2 n n
即{|b |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b |＋|b |＋…＋|b |＝＝4n－1.
n 1 2 n
答案 4n－1
三、解答题
9.(2016·北京卷)已知{a }是等差数列，{b }是等比数列，且b ＝3，b ＝9，a ＝b ，
n n 2 3 1 1
a ＝b .
14 4
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设c ＝a ＋b ，求数列{c }的前n项和.
n n n n
解 (1)设等差数列{a }的公差为d，等比数列{b }的公比为q，
n n
由得
∴b ＝b qn－1＝3n－1，
n 1
又a ＝b ＝1，a ＝b ＝34－1＝27，
1 1 14 4
∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴a ＝a ＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).
n 1
(2)由(1)知a ＝2n－1，b ＝3n－1，因此c ＝a ＋b ＝2n－1＋3n－1.
n n n n n
从而数列{c }的前n项和
n
S ＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
n
＝＋＝n2＋.
10.(2017·贵阳一模)已知数列{a }的前n项和是S ，且S ＋a ＝1(n∈N*).
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝log(1－S )(n∈N*)，令T ＝＋＋…＋，求T .
n n＋1 n n
解 (1)当n＝1时，a ＝S ，
1 1
由S ＋a ＝1，得a ＝，
1 1 1
当n≥2时，S ＝1－a ，S ＝1－a ，
n n n－1 n－1
则S －S ＝(a －a )，即a ＝(a －a )，
n n－1 n－1 n n n－1 n
所以a ＝a (n≥2).
n n－1
故数列{a }是以为首项，为公比的等比数列.
n
故a ＝·＝2·(n∈N*).
n
(2)因为1－S ＝a ＝.
n n
所以b ＝log(1－S )＝log＝n＋1，
n n＋1
因为＝＝－，
所以T ＝＋＋…＋
n
＝＋＋…＋＝－＝.
11.(2016·郑州模拟)已知数列{a }的通项公式为a ＝(n∈N*)，其前n项和为S ，
n n n
则在数列S ，S ，…，S 中，有理数项的项数为( )
1 2 2 016
A.42 B.43
C.44 D.45
解析 a ＝
n
＝
＝－.
所以S ＝1－＋＋＋…＋＝1－，
n
因此S ，S ，S …为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n2－1(n≥2)，所以
3 8 15
n2－1≤2 016，且n≥2，
所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43.
答案 B12.(2017·济南模拟)在数列{a }中，a ＋(－1)na ＝2n－1，则数列{a }的前12项
n n＋1 n n
和等于( )
A.76 B.78
C.80 D.82
解析 因为a ＋(－1)na ＝2n－1，所以a －a ＝1，
n＋1 n 2 1
a ＋a ＝3，a －a ＝5，a ＋a ＝7，a －a ＝9，a ＋a ＝11，…，a ＋a ＝19，a －
3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 11 10 12
a ＝21，所以a ＋a ＝2，a ＋a ＝8，…，a ＋a ＝40，
11 1 3 4 2 12 10
所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次
取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加
可得，S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a )＋(a ＋a )＋(a ＋a )＋(a ＋a )＋(a ＋
12 1 2 3 12 1 3 5 7 9 11 2 4 6
a )＋(a ＋a )＝3×2＋8＋24＋40＝78.
8 10 12
答案 B
13.设f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，则S＝________.
解析 ∵f(x)＝，
∴f(1－x)＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.
S＝f＋f＋…＋f，①
S＝f＋f＋…＋f，②
①＋②得，
2S＝＋＋…＋＝2 014，
∴S＝＝1 007.
答案 1 007
14.(2015·山东卷)已知数列{a }是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝(a ＋1)·2a ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n n
解 (1)设数列{a }的公差为d，
n
令n＝1，得＝，
所以a a ＝3.①
1 2
令n＝2，得＋＝，
所以a a ＝15.②
2 3
解①②得a ＝1，d＝2，所以a ＝2n－1.
1 n
(2)由(1)知b ＝2n·22n－1＝n·4n，
n所以T ＝1×41＋2×42＋…＋n×4n，
n
所以4T ＝1×42＋2×43＋…＋n×4n＋1，
n
两式相减，得－3T ＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1
n
＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.
所以T ＝×4n＋1＋＝.
n
