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第 4 讲 幂函数与二次函数
一、选择题
1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为
R，且为奇函数的所有α的值为( )
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为
{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.
答案 A
2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0
C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0
解析 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x
＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.
答案 A
3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象可能是( )
解析 若a<0，由y＝xa的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋的图象知应选B；
若a>0，y＝xa的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋的图象均不适合，综上选B.
答案 B
4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数
g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )
A.有最小值 B.有最大值
C.是减函数 D.是增函数
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋a在(－∞，1)上有最小值，且f(x)关于x＝a对称，
∴a<1，则g(x)＝x＋－2a(x>1).若a≤0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
若00在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围
是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2) ，
max
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，
所以f(x)>，得>>，即P>R>Q.
答案 P>R>Q
7.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是
________.
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2] [a，＋∞)，∴a≤1.
∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，
⊆
∴由g(x)＝在[1，2]上是减函数可得a>0，
故00时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒
成立，则m－n的最小值为________.
解析 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈，
∴f(x) ＝f(－1)＝0，f(x) ＝f(－2)＝1，
min max
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.
答案 1
三、解答题2 －1
9.已知幂函数f(x)＝x(m ＋m) (m∈N*)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满
足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
解 幂函数f(x)的图象经过点(2，)，
2 －1 2 －1
∴＝2(m ＋m) ，即2＝2(m ＋m) .
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.
由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.∴a的取值范围为.
10.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－∈[－2，3]，
∴f(x) ＝f＝－－3＝－，
min
f(x) ＝f(3)＝15，∴值域为.
max
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x) ＝f(3)＝6a＋3，
max
∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x) ＝f(－1)＝－2a－1，
max
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意.
综上可知，a＝－或－1.
11.(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最
小值相等”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 ∵f(x)＝x2＋bx＝－，当x＝－时，f(x) ＝－.
min
又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝－，当f(x)＝－时，f(f(x)) ＝－，当－≥－时，f(f(x))可
min
以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.
答案 A
9 5
12.(2017·长沙一中期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m －m －1是幂函数，对任意
的x ，x ∈(0，＋∞)，且x ≠x ，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的
1 2 1 2
值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
解析 依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴解得m＝2，则f(x)＝x2 015.
∴函数f(x)＝x2 015在R上是奇函数，且为增函数.
由a＋b>0，得a>－b，
∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
答案 A
13.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值
范围是______.
解析 作出函数 y＝f(x)的图象如图.则当 00，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围.
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0，1]上恒成
立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0].
