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第 4 讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后
图象的对称轴为( )
A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z)
C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z)
解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解
析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.
答案 B
2.(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ |<)在
区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A.ω＝2，φ＝ B.ω＝2，φ＝－
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－
解析 由图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ
＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故 选A.
答案 A
3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)＝sin x－cos x的图象沿着x轴向右平
移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意得f(x)＝2sin，因为函数f(x－a)＝2sin的图象关于y轴对称，所以
sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，
因此正数a的最小值是，选B.
答案 B
4.(2016·长沙模拟)函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x
＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)
易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.答案 D
5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)
的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象( )
A.向右平移个单位得到的
B.向右平移个单位得到的
C.向右平移个单位得到的
D.向右平移个单位得到的
解析 由函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，可得g(x)的图象位于y轴右
侧的第一个最高点的横坐标为m，则有－m＝－，解得m＝，故把函数f(x)＝sin
2x的图象向右平移－＝个单位，即可得到函数g(x)的图象，故选B.
答案 B
二、填空题
6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中 12个月的平均气温与月份的关系可近似地用
函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为
28 ℃，12 月份的月平均气温最低为 18 ℃，则 10 月份的平均气温为
________℃.
解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案 20.5
7.(2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图
象至少向右平移________个单位长度得到.
解析 y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移个单
位长度得到.
答案
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________.
解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，
即f(x)＝sin.又函数图象过点，
故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，
又－≤φ≤，
解得φ＝，故f(x)＝sin.
答案 f(x)＝sin
三、解答题
9.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值.
解 (1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos
＝＋0＝.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos
＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.
由x∈，得2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x) ＝1.
max
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的
距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调
递减区间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，
从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以
k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到
f的图象，所以g(x)＝f＝sin
＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
11.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x＝对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
D.把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象
解析 对于函数f(x)＝sin，当x＝时，
f＝sin ＝，故A错；当x＝时，
f＝sin ＝1，故不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝＝π，当
x∈时，
2x＋∈，此时函数为增函数，故C正确；
把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin 2x，函数是奇函数，故D错.
答案 C
12.(2017·承德一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取
值范围是( )
A.∪[6，＋∞) B.∪
C.(－∞，－2]∪[6，＋∞) D.(－∞，－2]∪
解析 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，
ω≤ωx≤－ω，由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
答案 D
13.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交
点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________.
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
由2sin＝1得sin＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z).
令k＝0，得ωx ＋＝，ωx ＋＝π，
1 2
∴x ＝0，x ＝.
1 2由|x －x |＝，得＝，∴ω＝2.
1 2
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案 π
14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周
期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象.若关于x的方
程g(x)－(2m＋1)＝0在区间上有两个不同的解，求实数m的取值范围.
解 (1)根据表中已知数据，
解得A＝5，ω＝2，φ＝－.
数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)通过平移，g(x)＝5sin，
方程g(x)－(2m＋1)＝0可看成函数y＝g(x)和函数y＝2m＋1的图象在上有两
个交点，
当x∈时，2x＋∈，为使直线y＝2m＋1与函数y＝g(x)的图象在上有两个交点
结合函数y＝g(x)在[0，]上的图象，
只需≤2m＋1<5，解得≤m<2.
即实数m的取值范围为.
