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第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离
为1，则a＝( )
A.－ B.－
C. D.2
解析 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的
距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案 A
2.(2017·长春模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线
的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析 ∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x
－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.
答案 B
3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a
的值是( )
A.－2 B.－4
C.－6 D.－8
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，
1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝
4，所以a＝－4，故选B.
答案 B
4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半
径是2，结合图形可知有3个符合条件的点.答案 C
5.(2017·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别
为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A.y＝－ B.y＝－
C.y＝－ D.y＝－
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的
方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－. 故选B.
答案 B
二、填空题
6.(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过
A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，由
1 1 2 2
得y2－3y＋6＝0，解得y ＝，y ＝2，
1 2
∴A(－3，)，B(0，2).
过A，B作l的垂线方程分别为
y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，
得x ＝－2，x ＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
C D
答案 4
7.(2017·兰州月考)点P在圆C ：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C ：x2＋y2
1 2
＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________.
解析 把圆C 、圆C 的方程都化成标准形式，得
1 2
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C 的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C 的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
1 2
圆心距d＝＝3.
所以，|PQ|的最小值是3－5.
答案 3－5
8.(2017·贵阳一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线
长的最小值为________.
解析 设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的
半径，长度为1，|PQ|＝＝.
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|
＝≥＝.
答案
三、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2
＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.
(2)解 设直线与圆交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，
1 1 2 2
则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x －x |
1 2＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
法二 (1)证明 因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，
所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定
点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.
(2)解 由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直
时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，即直线
l被圆C截得的最短弦长为2.
11.(2017·衡水中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0
恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为( )
A.1 B.3 C. D.
解析 x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2
＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，
则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，
所以＋＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝±b时取等号.
答案 A
12.(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－
2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.－或－ B.－或－
C.－或－ D.－或－
解析 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射
光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，
则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线
与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.
答案 D
13.已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的
点Q使得AP＋AQ＝0，则m的取值范围为________.
解析 曲线C：x＝－，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x ∈[－2，0]，对
P
于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得AP＋AQ＝0，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，
∴m＝∈[2，3].
答案 [2，3]
14.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l
相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上
是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在
请说明理由.
解 (1)设圆心C(a，0)，则＝2 a＝0或a＝－5(舍).
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
⇒
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )，
2 2
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
若x轴平分∠ANB，则k ＝－k ＋＝0 ＋＝0 2x x －(t＋1)(x ＋x )＋2t＝
AN BN 1 2 1 2
0 －＋2t＝0 t＝4，所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
