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荆州中学 2025～2026 学年高一下学期三月月考
数 学 试 题
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．⃗AB−⃗AD+⃗CD化简后等于（ ）
A．⃗BC B．⃗BD C．⃗CB D．⃗DB
2. 已知角 的始边与x轴非负半轴重合，终边经过 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3．在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ）
A． 为锐角三角形 B． 为直角三角形
C． 为钝角三角形 D．以上三个选项都有可能
4．已知 ，且 在 上的投影向量的模为 ，则 与 的夹角为（ ）
|⃗b|=2 ⃗b ⃗a √2 ⃗a ⃗b
A．45° B．60° C．120° D．45°或135°
5．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图
所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的
体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2， )
高一3月月考 数学试卷 第1页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
6．函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
8．若函数 恰有3个零点，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列叙述中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 与 的方向相同或相反
C．若 ， ，则 D．对任一非零向量 ， 是一个单位向量
10．已知扇形的半径为 ，弧长为 ，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．若该扇形的半径为1，则其面积为2
B．该扇形面积的最大值为1
C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2
D． 的最小值为
11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．
已知 的外心为 ，重心为 ，垂心为 ，且 ， ，以下结论正确的是
（ ）
A． B．
高一3月月考 数学试卷 第2页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．若 ，则 D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．一质点在力 ， 的共同作用下，由点 移动到 ，
⃗F =(−3,5) ⃗F =(2,−3) A(10,−5) B(4,0)
1 2
则 ， 的合力 对该质点所做的功为 .
⃗F ⃗F ⃗F
1 2
13．如图所示，已知 中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若 ，
，则 __________.
14．在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点， ，
，则 ____________； 为线段 上的动点， 为 中点，
则 的最小值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．直角坐标系中，已知向量 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 和 的夹角为锐角，求 的取值范围.
高一3月月考 数学试卷 第3页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16. 已知向量 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 在区间 上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
(1)求A；
(2)点 是边 上一点， ，且 ，若 ，求 的值．
18．在直角梯形 中，已知 ， ， ， ， ，动点 、
分别在线段 和 上， 和 交于点 ，且 ， ， ．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的值；
(3)求 的取值范围．
高一3月月考 数学试卷 第4页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．如图， ， 是单位圆上的相异两定点 为圆心 ，且 为锐角 点 为单
位圆上的动点，线段 交线段 于点 .
(1)求 结果用 表示 ；
(2)若 .
①求 的取值范围；
②设 ，记 ，求函数 的值域.
荆州中学 2025～2026 学年高一下学期三月月考
数 学 试 题 答 案
1.C 2.C 3. C 4. D 5.B 6.C 7.C 8.A 9.ABC 10.BCD 11．ACD
12．16 13．8 14. ,
14.因为 ，即 ，则 ，
又因为 ，可得 ， ，所以 ；
因为正方形 的边长为1，可得 ，且 ，
高一3月月考 数学试卷 第5页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又因为 为线段 上的动点，设 ，且 ，
则 ，
因为 为 中点，则 ，
可得
又因为 ，所以当 时， 取到最小值 ．故答案为： ； ．
15.（1）因为 ， ，且 ，所以 .
因为 ，所以 ，故 .
（2）因为 ，所以 ，又 ，
所以 ， .因为 和 的夹角为锐角，
所以 且 与 不共线，
则 ，解得 .
又 ，即 ，所以 的取值范围是 .
高一3月月考 数学试卷 第6页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16.(1)由题可得，
(2)由题意，函数 在 有两个不同的零点，
令 ，则 在 有两个不同的解，
故 与 的图象在 上有两个不同的交点，
而 在 为增函数，在 为减函数，
且 ，故 ，则 ，即 .
17.（1）由 和余弦定理，
可得： ，
展开得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，即 ，
由余弦定理， ，因为 ，所以 ；
（2）由 ，可得 ，即 ，
高一3月月考 数学试卷 第7页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司两边取平方： ，即 ，
依题意， ，即 ，
两边同时除以 可得： ， 或 ， 因 ，则 ．
18．（1）在直角梯形 中，易得 ， ，
∵ ，∴ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ，故 ；
（2）
，当 时， ，
设 ， ，则 ，
，
∵ 不共线，∴ ，解得 ，即 ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
＝ ，由题意知， ，
高一3月月考 数学试卷 第8页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴当 时， 取到最小值 ＝ ，
当 时， 取到最大值 ，∴ 的取值范围是 ．
19．（1）因为 ， ，所以
.
（2）① .
设 ，又 ，所以 ，
则
所以
，
因为 ，则 ，
所以 ，则 故 ；
②设 ，
则 ，
所以 ，由 得 ，
高一3月月考 数学试卷 第9页，共4页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即 ，整理得 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
令 ， ，
，令 ，
则 ，
因为 ，
则 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 的取值范围是 .
高一3月月考 数学试卷 第10页，共4页
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