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第 4 讲 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1.某射手射击所得环数X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51
解析 P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)
＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案 C
2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P 2－3q q2
则q的值为( )
A.1 B.±
C.－ D.＋
解析 由分布列的性质知
解得q＝－.
答案 C
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功
次数，则P(X＝0)等于( )
A.0 B. C. D.
解析 由已知得X的所有可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，
得P(X＝0)＝.
答案 C
4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1
个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红
球”事件的是( )
A.ξ＝4 B.ξ＝5
C.ξ＝6 D.ξ≤5
解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.答案 C
5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1
个红球的概率是( )
A. B. C. D.
解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问
题，故所求概率为P＝＝.
答案 C
二、填空题
6.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 M
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.
解析 由分布列的性质，知
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
答案 0.5
7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只
黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.
解析 P(X≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.
答案
8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，
再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.
解析 η的所有可能值为0，1，2.
P(η＝0)＝＝，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝.
∴η的分布列为
η 0 1 2
P答案
η 0 1 2
P
三、解答题
9.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学
生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：
由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语
言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.
(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名
逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维
能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列.
解 (1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达
能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，
∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，
∴P(A)＝＝，解得n＝2，∴m＝4，
用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少
有一名逻辑思维能力优秀的学生”，
∴P(B)＝1－＝.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2.
∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2P
10.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得
一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客
不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全
部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不
奖励.
(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.
解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，
则P(A)＝＝，
故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为.
(2)随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20.
P(X＝0)＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝10)＝＋＝，P(X＝15)＝＝，
P(X＝20)＝＝.
所以，随机变量X的分布列为
X 0 5 10 15 20
P
11.随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
A. B. C. D.
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a
＋c＝.
答案 D
12.若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X
