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2017 年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选
项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）在2，﹣3，0，﹣1这四个数中，最小的数是（ ）
A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣1
2．（4分）如右图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠1=∠2+∠3 D．∠3=∠1+∠2
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
1 1
A．√2+√3=√5 B．(- x y2 ) 3=- x3y6
2 6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2=x3 D．√18+√3 -64=3√2-4
4．（4分）指出下列事件中是随机事件的个数（ ）
①投掷一枚硬币正面朝上；②明天太阳从东方升起；③五边形的内角和是
560°；④购买一张彩票中奖．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（4分）一列数4，5，6，4，4，7，x的平均数是5，则中位数和众数分别
是（ ）
A．4，4 B．5，4 C．5，6 D．6，7
6．（4分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x为64时，输出的y是（
）
A．2√2B．3√2C．2√3 D．8
7．（4分）小明和哥哥从家里出发去买书，从家出发走了 20分钟到一个离家
第1页（共32页）1000米的书店．小明买了书后随即按原路返回；哥哥看了 20分钟书后，用15
分钟返家．下面的图象中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（ ）
3 2 2 3
A． ，﹣2 B． ，﹣2 C．- ，2 D．- ，2
2 3 3 2
2 1
9．（4分）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与 = 有一个解相同，则a的值为
x+3 x-a
（ ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
10．（4分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A．2√13π B．10π C．20π D．4√13π
m
11．（4分）已知抛物线y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，则函数y= 的大致图
x
象是（ ）
第2页（共32页）A． B．
C． D．
12．（4分）如图，一个半径为1的⊙O 经过一个半径为√2的⊙O的圆心，则
1
图中阴影部分的面积为（ ）
1 √2
A．1 B． C．√2 D．
2 2
二、填空题：（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）2017年端午节全国景区接待游客总人数 8260万人，这个数用科学
记数法可表示为 人．
14．（4 分）如图，P、Q 分别是⊙O 的内接正五边形的边 AB、BC 上的点，
BP=CQ，则∠POQ= ．
1
15．（4分）若﹣ xm+3y与2x4yn+3是同类项，则（m+n）2017= ．
2
第3页（共32页）√x+3
16．（4分）函数y= 有意义，则x的取值范围是 ．
x-2
17．（4 分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点 D、E 分别是
BC、AD 的中点，AF∥BC 交 CE 的延长线于 F．则四边形 AFBD 的面积为
．
三、解答题：（共2小题，每小题6芬，共12分）
1
18．（6分）计算：（﹣ ）﹣2+（2017﹣π）0﹣√ (1-√2) 2+2cos45°．
2
a2+4ab+4b2 a+2b
19．（6分）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中a、b满足（a﹣
a2-ab a-b
√2）2+√b+1=0．
四、解答题：（共3小题，每小题8分，共24分）
20．（8 分）如右图，在 ▱ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 延长线上的点，且
BE=DF，连接EF交AD、BC于点G、H．求证：FG=EH．
第4页（共32页）21．（8 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知
△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位
2 2 2 2 2 2
似，且位似比为2，并求出△A B C 的面积．
2 2 2
22．（8分）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯
臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与
灯臂 BC垂直，当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此
时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
第5页（共32页）五、解答题：（共2小题，每小题8芬，共16分）
23．（8分）某校为了推进学校均衡发展，计划再购进一批图书，丰富学生的
课外阅读．为了解学生对课外阅读的需求情况，学校对学生所喜爱的读物：A．
文学，B．艺术，C．科普，D．生活，E．其他，进行了随机抽样调查（规定每
名学生只能选其中一类读物），并将调查结果绘制成以下不完整的统计图表．
（1）a= ，b= ，请补全条形统计图；
（2）如果全校有2500名学生，请你估计全校有多少名学生喜爱科普读物；
（3）学校从喜爱科普读物的学生中选拔出2名男生和3名女生，并从中随机抽
取2名学生参加科普知识竞赛，请你用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生
第6页（共32页）和一名女生的概率．
24．（8分）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子
篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购
进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：
篮球 排球
进价 80 50
（元/个）
售价 105 70
（元/个）
（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？
（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为 x（单位：个），
请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不
低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？
第7页（共32页）六、B卷（共30分）填空题：（共2小题，每小题5分，共10分）
25．（5分）如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，
则BD= ．
26．（5分）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1
是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类
推，第100个三角形数是 ．
七、解答题：（共2小题，27题8分，28题12分，共20分）
27．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的
切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
第8页（共32页）28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴
交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，
同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当
其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少
秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在
点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
第9页（共32页）第10页（共32页）2017 年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选
项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）（2017•凉山州）在 2，﹣3，0，﹣1这四个数中，最小的数是（
）
A．2 B．﹣3 C．0 D．﹣1
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大
于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣3＜﹣1＜0＜2，
∴在2，﹣3，0，﹣1这四个数中，最小的数是﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个
负数，绝对值大的其值反而小．
2．（4分）（2017•凉山州）如右图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是（
）
A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠1=∠2+∠3 D．∠3=∠1+∠2
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，即可得到∠DFE=∠3，再根据三角形外角性质可
得∠DEF=∠1+∠2，进而得到∠3=∠1+∠2．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE=∠3，
∵∠DEF=∠1+∠2，
∴∠3=∠1+∠2．
故选D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注
第11页（共32页）意：两直线平行，同位角相等．
3．（4分）（2017•凉山州）下列运算正确的是（ ）
1 1
A．√2+√3=√5 B．(- x y2 ) 3=- x3y6
2 6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2=x3 D．√18+√3 -64=3√2-4
【考点】48：同底数幂的除法；22：算术平方根；24：立方根；47：幂的乘方
与积的乘方．
【分析】根据二次根式的加减，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数
不变指数相减，实数的运算，可得答案．
【解答】解：A、√2、√3不是同类项，不能合并，故选项A错误；
1 1 1
B、(- x y2 ) 3=(- ) 3x3 (y2 ) 3=- x3y6，故选项B错误；
2 2 8
C、（﹣x）5÷（﹣x）2=（﹣x）5﹣2=（﹣x）3=﹣x3，故选项C错误；
D、√18+√3 -64=3√2+(-4)=3√2-4，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4．（4分）（2017•凉山州）指出下列事件中是随机事件的个数（ ）
①投掷一枚硬币正面朝上；②明天太阳从东方升起；③五边形的内角和是
560°；④购买一张彩票中奖．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：掷一枚硬币正面朝上是随机事件；明天太阳从东方升起是必然事
件；五边形的内角和是560°是不可能事件；购买一张彩票中奖是随机事件；
所以随机事件是2个．
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事
件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事
件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定
条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（4分）（2017•凉山州）一列数4，5，6，4，4，7，x的平均数是5，则中
位数和众数分别是（ ）
A．4，4 B．5，4 C．5，6 D．6，7
【考点】W5：众数；W1：算术平均数；W4：中位数．
【分析】先根据平均数的定义求出 x的值，再把这组数据从小到大排列，求出
最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可．
【解答】解：∵数据4，5，6，4，4，7，x的平均数是5，
∴（4+5+6+4+4+7+x）÷7=5，
解得x=5，
按照从小到大的顺序排列为4，4，4，5，5，6，7，排在正中间的是5，故中位
第12页（共32页）数是5，
∵在这组数据中4出现了三次，次数最多，
∴众数是4．
故选：B．
【点评】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据
的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（4分）（2017•凉山州）有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x为64
时，输出的y是（ ）
A．2√2B．3√2C．2√3 D．8
【考点】27：实数．
【分析】把x=64代入数值转换器中计算确定出y即可．
【解答】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，
∵8是有理数，
∴结果√8为无理数，
∴y=√8=2√2．
故选：A．
【点评】此题考查了实数，弄清数值转换器中的运算是解本题的关键．
7．（4分）（2017•凉山州）小明和哥哥从家里出发去买书，从家出发走了20
分钟到一个离家1000米的书店．小明买了书后随即按原路返回；哥哥看了 20
分钟书后，用15分钟返家．下面的图象中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间
的关系（ ）
A． B． C ．
D．
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据哥哥看了20分钟书后，用15分钟返家即可判断哥哥的离家时间
第13页（共32页）与距离之间的关系．
【解答】解：根据题意，从 20分钟到40分钟哥哥在书店里看书，离家距离没
有变化，是一条平行于x轴的线段．
故选D．
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确将文字语言转化为图形语
言，本题属于基础题型．
8．（4分）（2017•凉山州）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是
（ ）
3 2 2 3
A． ，﹣2 B． ，﹣2 C．- ，2 D．- ，2
2 3 3 2
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】设这个一元二次方程的两个根分为 x 、x ，然后把方程化为一般形
1 2
式，然后根据根与系数的关系进行判断．
【解答】解：设这个一元二次方程的两个根分为x 、x ，
1 2
方程3x2﹣1=2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6=0，
2 -6
所以x +x = ，x x = =﹣2．
1 2 3 1 2 3
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c=0
1 2
b c
（a≠0）的两根时，x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
2 1
9．（4分）（2017•凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与 = 有一个解
x+3 x-a
相同，则a的值为（ ）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；B2：分式方程的解．
【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入
第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．
【解答】解：解方程x2+2x﹣3=0，得
x =1，x =﹣3，
1 2
2 1
∵x=﹣3是方程 = 的增根，
x+3 x-a
2 1
∴当x=1时，代入方程 = ，得
x+3 x-a
2 1
= ，
1+3 1-a
解得a=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于
易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．
10．（4分）（2017•凉山州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面
第14页（共32页）积是（ ）
A．2√13π B．10π C．20π D．4√13π
【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．
【分析】根据三视图可以判断该几何体是圆锥，然后根据图形中的数据和圆锥
的侧面积公式即可解答本题．
【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥，
∴d=4，h=3，
∴圆锥的母线长为：√32+22=√13，
1
∴圆锥的侧面积为： ×4π×√13=2√13π，
2
故选A．
【点评】本题考查由三视图判断几何体、圆锥的计算，解答本题的关键是明确
题意，可以判断原来的几何体，利用圆锥的侧面积计算公式解答．
11．（4分）（2017•凉山州）已知抛物线 y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，则
m
函数y= 的大致图象是（ ）
x
A． B． C． D ．
【考点】G2：反比例函数的图象；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，得方程x2+2x﹣m﹣2=0没
m
有实数根求得m＜﹣5，再判断函数y= 的图象在哪个象限即可．
x
【解答】解：∵抛物线y=x2+2x﹣m﹣2与x轴没有交点，
第15页（共32页）∴方程x2+2x﹣m﹣2=0没有实数根，
∴△=4﹣4×1×（﹣m﹣2）=4m+12＜0，
∴m＜﹣3，
m
∴函数y= 的图象在二、四象限．
x
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及抛物线与 x轴的交点问题，掌握反
比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
12．（4分）（2017•凉山州）如图，一个半径为1的⊙O 经过一个半径为√2的
1
⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）
1 √2
A．1 B． C．√2 D．
2 2
【考点】ML：相交两圆的性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】连接OA，OB，OO ，求出∠AOB=90°，进而利用S =S ﹣S
1 阴影部分 半圆AB 弓形
=S ﹣（S ﹣S ）=S ﹣S +S 求出答案即可．
AB 半圆AB 扇形OAB △OAB 半圆AB 扇形OAB △OAB
【解答】解：如图，⊙O的半径为√2，⊙O 的半径为1，点O在⊙O 上，连接
1 1
OA，OB，OO ，
1
∵OA=√2，O A=O O=1，则有（√2）2=12+12，
1 1
∴OA2=O A2+O O2，
1 1
∴△OO A为直角三角形，
1
∴∠AOO =45°，同理可得∠BOO =45°，
1 1
∴∠AOB=90°，
∴AB为⊙O 的直径．
1
1
∴S =S ﹣S =S ﹣（S ﹣S ）=S ﹣S +S =
阴影部分 半圆AB 弓形AB 半圆AB 扇形OAB △OAB 半圆AB 扇形OAB △OAB
2
90π×2 1
π×12﹣ + ×√2×√2=1．
360 2
故选A．
【点评】本题主要考查了相交两圆的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是
正确作出辅助线，此题有一定的难度．
第16页（共32页）二、填空题：（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2017•凉山州）2017年端午节全国景区接待游客总人数 8260万
人，这个数用科学记数法可表示为 8.26 × 1 0 7 人．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
【解答】解：8260万=8.26×10000000=8.26×107．
故答案为：8.26×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值．
14．（4 分）（2017•凉山州）如图，P、Q 分别是⊙O 的内接正五边形的边
AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= 72 ° ．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到
∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
{
&OB=OC
&∠OBP=∠OCQ，
&BP=CQ
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
第17页（共32页）【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边
形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．
1
15．（4分）（2017•凉山州）若﹣ xm+3y与2x4yn+3是同类项，则（m+n）2017=
2
﹣ 1 ．
【考点】34：同类项．
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同
类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
1
【解答】解：∵- xm+3y与2x4yn+3是同类项，
2
∴m+3=4，n+3=1，
∴m=1，n=﹣2，
∴（m+n）2017=（1﹣2）2017=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相
同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无
关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
√x+3
16．（4分）（2017•凉山州）函数y= 有意义，则x的取值范围是 x ≥ ﹣
x-2
3 且 x ≠ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0以及分式有意义的
条件：分母不为0进行解答即可．
【解答】解：由x+3≥0且x﹣2≠0，得x≥﹣3且x≠2，
故答案为x≥﹣3且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握二次根式有意义的条
件：被开方数大于等于0以及分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．
17．（4分）（2017•凉山州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的
面积为 1 2 ．
第18页（共32页）【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】由于AF∥BC，从而易证△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，从而可
证四边形 AFBD 是平行四边形，所以 S =2S ，又因为 BD=DC，所以
四边形AFBD △ABD
S =2S ，所以S =S ，从而求出答案．
△ABC △ABD 四边形AFBD △ABC
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
{
&∠AFC=∠FCD
&∠AEF=∠DEC
&AE=DE
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S =2S ，
四边形AFBD △ABD
又∵BD=DC，
∴S =2S ，
△ABC △ABD
∴S =S ，
四边形AFBD △ABC
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
1 1
∴S = AB•AC= ×4×6=12，
△ABC
2 2
∴S =12．
四边形AFBD
故答案为：12
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，
平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
三、解答题：（共2小题，每小题6芬，共12分）
1
18．（6 分）（2017•凉山州）计算：（﹣ ）﹣2+（2017﹣π）0﹣√ (1-√2) 2
2
+2cos45°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的
三角函数值．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函
数值、二次根式的性质分别化简求出答案．
√2
【解答】解：原式=4+1﹣（√2﹣1）+2×
2
=4+1﹣√2+1+√2
第19页（共32页）=6．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的
三角函数值、二次根式的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．
a2+4ab+4b2 a+2b
19．（6分）（2017•凉山州）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其
a2-ab a-b
中a、b满足（a﹣√2）2+√b+1=0．
【考点】6D：分式的化简求值；1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性
质：算术平方根．
a2+4ab+4b2 a+2b
【分析】首先化简1﹣ ÷ ，然后根据a、b满足（a﹣√2）2+
a2-ab a-b
√b+1=0，求出a、b的值各是多少，再把求出的a、b的值代入化简后的算式，
求出算式的值是多少即可．
a2+4ab+4b2 a+2b
【解答】解：1- ÷
a2-ab a-b
(a+2b) 2 a-b
=1﹣ ⋅
a(a-b) a+2b
a+2b
=1﹣
a
a-a-2b
=
a
2b
=-
a
∵a、b满足(a-√2) 2+√b+1=0，
∴a﹣√2=0，b+1=0，
∴a=√2，b=﹣1，
当a=√2，b=﹣1时，
2×(-1)
原式=- =√2．
√2
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化
简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
四、解答题：（共3小题，每小题8分，共24分）
20．（8分）（2017•凉山州）如右图，在 ▱ABCD中，E、F分别是AB、CD延长
线上的点，且BE=DF，连接EF交AD、BC于点G、H．求证：FG=EH．
第20页（共32页）【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】由平行四边形的性质证出∠EBH=∠FDG，由ASA证△EBH≌△FDG，即
可得出FG=EH．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，∠A=∠FDG，∠EBH=∠C，
∴∠EBH=∠FDG，
在△EBH与△FDG中，{∠E=∠F ¿BE=DF ¿∠EBH=∠FDG ¿，
∴△EBH≌△FDG（ASA），
∴FG=EH．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定；熟练掌握平行四
边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（8分）（2017•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角
坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位
2 2 2 2 2 2
似，且位似比为2，并求出△A B C 的面积．
2 2 2
【考点】SD：作图﹣位似变换；P7：作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A 、B 、C 即可解决问题；
1 1 1
（2）连接OB延长OB到B ，使得OB=BB ，同法可得A 、C ，△A B C 就是所求
2 2 2 2 2 2 2
三角形；
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 就是所求三角形
1 1 1
第21页（共32页）（2）如图所示，△A B C 就是所求三角形
2 2 2
如图，分别过点A 、C 作y轴的平行线，过点B 作x轴的平行线，交点分别为
2 2 2
E、F，
∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A B C 与△ABC位似，且位似比为
2 2 2
2，
∴A （﹣2，4），B （4，2），C （8，10），
2 2 2
1 1 1
∴S =8×10﹣ ×6×2﹣ ×4×8﹣ ×6×10=28．
△A 2 B 2 C 2 2 2 2
【点评】本题考查作图﹣位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理
解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．
22．（8分）（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装
路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，
灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照
明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
【考点】T8：解直角三角形的应用；SA：相似三角形的应用．
【分析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例
相等的性质即可解题．
【解答】解：如图，延长OC，AB交于点P．
第22页（共32页）∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
1
∴OA= AD=10米，
2
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=2√3米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
PC BC
∴ = ，
PA OA
PC⋅OA 2√3×10
∴PA= = =10√3米，
BC 2
∴AB=PA﹣PB=（10√3﹣4）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10√3﹣4）米．
【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形
的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．
五、解答题：（共2小题，每小题8芬，共16分）
23．（8分）（2017•凉山州）某校为了推进学校均衡发展，计划再购进一批图
书，丰富学生的课外阅读．为了解学生对课外阅读的需求情况，学校对学生所
喜爱的读物：A．文学，B．艺术，C．科普，D．生活，E．其他，进行了随机
抽样调查（规定每名学生只能选其中一类读物），并将调查结果绘制成以下不
完 整 的 统 计 图 表 ．
第23页（共32页）（1）a= 8 0 ，b= 6 4 ，请补全条形统计图；
（2）如果全校有2500名学生，请你估计全校有多少名学生喜爱科普读物；
（3）学校从喜爱科普读物的学生中选拔出2名男生和3名女生，并从中随机抽
取2名学生参加科普知识竞赛，请你用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生
和一名女生的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；
VC：条形统计图．
【分析】（1）由E类型的人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 A类型百分
比可得其人数，在用总人数减去其余各组人数得出D类型人数，即可补全条形
图；
（2）用总人数乘以样本中C类型所占比例即可得；
（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生
和一名女生的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵抽查的总人数为：32÷10%=320人，
∴a=320×25%=80人，b=320﹣80﹣48﹣96﹣32=64人；
补全条形统计图如下：
故答案为：80，64；
96
（2）2500× =750人．
320
答：估计全校喜爱科普读物的学生约有750人．
第24页（共32页）（3）列表得：
女 女 女 男 男
女 ﹣ （ （ （ （
﹣ 女 女 男 男
﹣ ， ， ， ，
女 女 女 女
） ） ） ）
女 （ ﹣ （ （ （
女 ﹣ 女 男 男
， ﹣ ， ， ，
女 女 女 女
） ） ） ）
女 （ （ ﹣ （ （
女 女 ﹣ 男 男
， ， ﹣ ， ，
女 女 女 女
） ） ） ）
男 （ （ （ ﹣ （
女 女 女 ﹣ 男
， ， ， ﹣ ，
男 男 男 男
） ） ） ）
男 （ （ （ （ ﹣
女 女 女 男 ﹣
， ， ， ， ﹣
男 男 男 男
） ） ） ）
或画树状图得：
所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，
12 3
所以P（恰好抽到一男一女）= = ．
20 5
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，
读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计
图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比
大小．
24．（8分）（2017•凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川
省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商
店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：
篮 排
第25页（共32页）球 球
进 8 5
价 0 0
（
元
/
个
）
售 1 7
价 0 0
（
5
元
/
个
）
（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？
（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为 x（单位：个），
请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不
低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？
【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不
等式组的应用．
【分析】（1）设购进篮球m个，排球n个，根据购进篮球和排球共60个且共
需4200元，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据
总利润=单个利润×购进数量，即可得出y与x之间的函数关系式；
（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据进货成本在4300元的限
额内且全部销售完后所获利润不低于1400元，即可得出关于x的一元一次不等
式组，解之即可得出 x 的取值范围，取其整数即可得出各购进方案，再结合
（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进篮球m个，排球n个，
{&m+n=60
根据题意得： ，
&80m+50n=4200
{&m=40
解得： ，
&n=20
答：购进篮球40个，排球20个．
（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，
根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，
∴y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．
（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，
{&5x+1200≥1400
根据题意得： ，
&80x+50(60-x)≤4300
130
解得：40≤x≤ ．
3
∵x取整数，
第26页（共32页）∴x=40，41，42，43，共有四种方案，
方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方
案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．
∵在y=5x+1200中，k=5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不
等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；
（2）根据数量关系，找出y与x之间的函数关系式；（3）根据一次函数的性
质解决最值问题．
六、B卷（共30分）填空题：（共2小题，每小题5分，共10分）
25．（5分）（2017•凉山州）如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O
中，且∠C=2∠A，则BD= 4√3 ．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】连接 OD、OB，过点 O 作 OF⊥BD，垂足为 F，由垂径定理可知
DF=BF，∠DOF=∠BOF，再由圆内接四边形的性质求出∠A的度数，故可得出
∠BOD的度数，再由锐角三角函数的定义求出BF的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，
∵OF⊥BD，
∴DF=BF，∠DOF=∠BOF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠C=2∠A，
∴∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOF=60°．
∵OB=4，
∴BF=OB•sin∠BOF=4×sin60°=2√3，
∴BD=2BF=4√3．
故答案为：4√3．
第27页（共32页）【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是
解答此题的关键．
26．（5分）（2017•凉山州）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做
三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形
数，…，依此类推，第100个三角形数是 5050 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】设第n个三角形数为a ，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变
n
n(n+1)
化规律“a =1+2+…+n= ”，依此规律即可得出结论．
n 2
【解答】解：设第n个三角形数为a ，
n
∵a =1，
1
a =3=1+2，
2
a =6=1+2+3，
3
a =10=1+2+3+4，
4
…
n(n+1)
∴a =1+2+…+n= ，
n 2
100(100+1)
将n=100代入a ，得：a = =5050，
n 100 2
故答案为：5050．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律
n(n+1)
“a =1+2+…+n= ”．
n 2
七、解答题：（共2小题，27题8分，28题12分，共20分）
27．（8分）（2017•凉山州）如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的
弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
第28页（共32页）【考点】ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角
形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OE=R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，
求解即可．
【解答】解：（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，
∵CD是⊙O的切线，
第29页（共32页）∴∠EDO=90°，
∴ED2+OD2=OE2，
∴32+R2=（R+1）2，
解得R=4，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题主要考查的是切线的判断、圆周角定理的应用，掌握切线的判定
定理，利用勾股定理列出关于r的方程是解题的关键．
28．（12分）（2017•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c
（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，
同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当
其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少
秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在
点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由线段的长度得出点A、B、C的坐标，然后把A、B、C三点的坐
标分别代入y=ax2+bx+c，解方程组，即可得抛物线的解析式；
3
（2）设运动时间为t秒，则MB=6﹣3t，然后根据△BHN∽△BOC，求得NH= t
5
9 5
，再利用三角形的面积公式列出S 与t的函数关系式S =﹣ （t﹣ ）2+
△MBN △MBN
10 3
5
，利用二次函数的图象性质进行解答；
2
3
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=﹣ x+6．由二次函数图象上点
4
3 9
的坐标特征可设点 P的坐标为（m，﹣ m2+ m+6）．过点 P作PE∥y轴，交
8 4
第30页（共32页）45
BC 于点 E．结合已知条件和（2）中的结果求得 S = ．则根据图形得到
△PBC
2
1 1 3
S =S +S = EP•m+ •EP•（8﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣
△PBC △CEP △BEP
2 2 2
45 45
m2+12m= = ．
2 2
【解答】解：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，
∴根据函数图象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），
3
{&a=-
{ &4a-2b+c=0 8
根据题意得 &64a+8b+c=0，解得 9 ，
&b=
&c=6 4
&c=6
3 9
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+6；
8 4
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=10﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，6）．
在Rt△BOC中，BC=√82+62=10．
如图，过点N作NH⊥AB于点H．
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
HN BN HN t
∴ = ，即 = ，
OC BC 6 10
3
∴HN= t．
5
1 1 3 9 9 5 5
∴S = MB•HN= （10﹣3t）• t=﹣ t2+3t=﹣ （t﹣ ）2+ ，
△MBN
2 2 5 10 10 3 2
10
当△MBN存在时，0＜t＜ ，
3
5
∴当t= 时，
3
5
S = ．
△MBN最大
2
5 5
答：运动 秒使△MBN的面积最大，最大面积是 ；
3 2
第31页（共32页）（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
{ 3
{&8k+c=0 &k=-
把B（8，0），C（0，6）代入，得 ，解得 4，
&c=6
&c=6
3
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+6．
4
∵点P在抛物线上．
3 9
∴设点P的坐标为（m，﹣ m2+ m+6），
8 4
3
如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m，﹣ m+6）．
4
3 9 3 3
∴EP=﹣ m2+ m+6﹣（﹣ m+6）=﹣ m2+3m，
8 4 4 8
45
当△MBN的面积最大时，S =9 S = ，
△PBC △MBN
2
1 1 1 3 3
∴S =S +S = EP•m+ •EP•（8﹣m）= ×8•EP=4×（﹣ m2+3m）=﹣
△PBC △CEP △BEP
2 2 2 8 2
3 45 45
m2+12m，即﹣ m2+12m= = ．解得m =3，m =5，
2 2 2 1 2
75 63
∴P（3， ）或（5， ）．
8 8
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系
数法求二次函数、一次函数的解析式、三角形的面积公式，依据题意列出关于
S 与t的函数关系式以及S 的面积与m的函数关系式是解题的关键．
△MBN △PBC
第32页（共32页）
