文档内容
2025 年烟台市初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和
答题卡一并交回．
2．答题前，务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填
写在试卷和答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域
内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使
用涂改液、胶带纸、修正带．
5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标
号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1． 的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从
纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
试卷第1页，共3页D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是社团小组运用 打印技术制作的模型，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一款儿童小推车的示意图，若 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
6．求一组数据方差的算式为： ．由
算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A． 的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
7．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的
试卷第2页，共3页九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元 B．320元 C．270元 D．220元
8．如图，菱形 的顶点 在 轴正半轴上， ，反比例函数 的图象
过点 和菱形的对称中心 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．如图，二次函数 的部分图象与 轴的一个交点 位于 和 之
间，顶点 的坐标为 ．下列结论：① ；②对于任意实数 ，都有
；③ ；④若该二次函数的图象与 轴的另一个交点为 ，且
是等边三角形，则 ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
10．如图，在 中， ， ， 是角平分线．点 从点 出发，沿
方向向点 运动，连接 ，点 在 上，且 ．设 ， ，若y
关于x的函数图象过点 ，则该图象上最低点的坐标为（ ）
试卷第3页，共3页A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草
局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000
用科学记数法表示为 ．
12．实数 的整数部分为 ．
13．因式分解： ．
14．如图，正六边形 的边长为4，中心为点 ，以点 为圆心，以 长为半径
作圆心角为 的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 的顶点 的坐标为 ．
以点 为位似中心作 与 位似，相似比为2，且与 位于点 同侧；以点
为位似中心作 与 位似，相似比为2，且与 位于点 同侧……按
照以上规律作图，点 的坐标为 ．
试卷第4页，共3页16．如图，在菱形 中， ，对角线 ．点M从点A出发，沿
方向以 的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿 方向以 的速度向
点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 ， 交于点P．在此过
程中，点P的运动路径长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．先化简，再求值： ，其中 ．
18．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发
展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次
满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如
下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，
9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为 （分）．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
试卷第5页，共3页根据以上信息，解决下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
(3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨
学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
19．如图， 是矩形 的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作 ，使 与 关于直线 成轴对称（不写作法，保留作图痕
迹）；
(2)在（1）的条件下，若 交 于点 ， ， ，求 的长．
20．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、
乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯
和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 ，
请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
21．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了
解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时 海里的速度向码头 航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西 方向
试卷第6页，共3页14：30时，渔船航行至灯塔 北偏东 方向的 处
15：00时，渔船航行至灯塔 东北方向的 处
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 附近海域将出现浓雾天气．
天气预警
请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔 的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头 （参考数据：
， ， ， ， ，
）．
22．如图， 内接于 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，
连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 ， 时，求 的长及 的半径．
23．【问题呈现】
如图1，已知 是正方形 外一点，且满足 ，探究 ， ，
三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
试卷第7页，共3页思路一：如图2，构造 与 全等，从而得出 与 的数量关系；
思路二：如图3，构造 与 全等，从而得出 与 的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出 与 的数量关系______________；
【类比探究】
（2）如图4，若 是正五边形 外一点，且满足 ，
， ，求 的长度（结果精确到 ，参考数据： ，
， ， ）；
【拓展延伸】
（3）如图5，若 是正十边形 外一点，且满足 ，则 ，
， 三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
24．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C， ， ，D是直线 上方抛物线上一动点，作 交 于点E，垂
试卷第8页，共3页足为点F，连接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为 ，
①用含有 的代数式表示线段 的长度；
②是否存在点D，使 是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若
不存在，请说明理由；
(3)连接 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，请直接写
出线段 长度的最小值．
试卷第9页，共3页1．B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
【详解】解：∵ ，
∴3的倒数是 ，
∴ 的倒数是 ，
故选：B
2．D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定
义判断即可．
【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证
各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可．
【详解】解：选项A： ．合并同类项需满足相同次数，但 与 次数不同，无法
合并，结果应为 ，故A错误．
选项B： ．单项式乘法中，系数相乘（ ），变量部分指数相加（ ），
结果为 ，故B正确．
选项C： ．单项式除法中，系数相除（ ），变量部分指数相减（
），结果为 ，但选项写为 ，符号错误，故C错误．
答案第1页，共2页选项D： ．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为 ，变量为 ，结
果应为 ，但选项写为 ，系数错误，故D错误．
故选：B．
4．C
【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可．
【详解】解：如图是社团小组运用 打印技术制作的模型，它的左视图是：
；
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练
掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出 ，再根据三角形的外角性质即可
求出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特
征，逐一分析选项的正误．
【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数 ，正确．
选项B、平均数 ，正确．
选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误．
选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由 减小为 ，正确．
综上，错误的说法是C．
答案第2页，共2页故选C
7．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为 元，根据
按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为 元，根据按标价的
九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为 元，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这款风扇每台的标价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
∴这款风扇每台的标价为350元，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明
， ，设 ，可得 ， ，求解
，过 作 于 ，再进一步求解即可．
【详解】解：∵菱形 的顶点 在 轴正半轴上， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
过 作 于 ，
答案第3页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D
9．D
【分析】由二次函数 的图象的开口向下，与 轴交于正半轴，对称轴在 轴
的右侧， ， ， ，可得①符合题意；结合当 时， 最大，当
时， ，可得②不符合题意；由 ， ，可得 ，
可得③符合题意；由 ，记 的横坐标分别为 ，可得
，结合 ，可得
，可得④符合题意.
【详解】解：∵二次函数 的图象的开口向下，与 轴交于正半轴，对称轴在
轴的右侧，
∴ ， ， ，
∴ ，故①符合题意；
答案第4页，共2页∵顶点 的坐标为 ，
∴当 时， 最大，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，故②不符合题意；
∵二次函数 的部分图象与 轴的一个交点 位于 和 之间，对称
轴为直线 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故③符合题意；
如图， 为等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
记 的横坐标分别为 ，
∴ ，
∴ ，
当 ，则 ， ，
∴ ，
答案第5页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，
熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键.
10．B
【分析】证明 ，设 ，可得 ，如
图，在 上取点 ，使 ，求解： ，证明 ，可
得 ， ，结合y
关于x的函数图象过点 ，求解： ，再进一步利用二次函数的性质解题即可.
【详解】解：∵ ， ， 是角平分线．
∴ ， ，设 ，
∴ ，
如图，在 上取点 ，使 ，
∴ ，
∴ ，
答案第6页，共2页∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵y关于x的函数图象过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴该图象上最低点的坐标为 ；
答案第7页，共2页故选：B
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性
质，二次函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键.
11．
【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于 的数写成科学记
数法 的形式时，将小数点放到左边第一个不为 的数位后作为 ，把整数位数减 作
为 ，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表
示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，
小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案．
【详解】解： ；
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由 ，
，从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴实数 的整数部分为 ，
故答案为：
13．
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
答案第8页，共2页14．
【分析】连接 、 、 ，过点O作 于点M，根据正六边形的性质得出
， ， ，证明 和 为等
边三角形，求出 ，证明 ，得出
，得出 ，根据 求
出结果即可．
【详解】解：连接 、 、 ，过点O作 于点M，如图所示：
∵六边形 为正六边形，
∴ ， ， ，
∴ 和 为等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第9页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面
积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
15． ##
【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，
根据两点距离得出 进而得出 ，求得直线 的解析式，
根据 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
答案第10页，共2页解得：
∴
设
∴
解得： （舍去）
∴
故答案为： ．
16．
【分析】如图，连接 交 于 ．求解 ， ，
， ，设运动时间为 ，则 ，
，证明 ，可得 ，作等边三角形 ，以
为圆心， 为半径作圆，取点 ，连接 ， ，证明 在 上，且在弧 上，
再利用弧长公式计算即可.
【详解】解：如图，∵在菱形 中， ，对角线 ，连接 交
于 ．
∴ ， ， ，
，
答案第11页，共2页∵设运动时间为 ，则 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作等边三角形 ，以 为圆心， 为半径作圆，取点 ，连接 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 在 上，且在弧 上，
∴在此过程中，点P的运动路径长为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧
长的计算，证明 在 上，且在弧 上是解本题的关键.
17． ，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运
算，最后把 代入计算即可.
答案第12页，共2页【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 .
18．(1)补全图形见解析
(2)成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前
(3)
【分析】（1）先分别求解甲社团满分 分有3人；乙社团 分有 人；补全图形即可；
（2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为 （分）；乙社团的成绩的中位数为
（分），再进一步求解即可；
（3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取
两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵由统计数据可得：甲社团满分 分有3人；乙社团 分有 人；补
全图形如下：
；
（2）解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，
答案第13页，共2页9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10．
∴排在第 ， 位的数据为 ，
∴甲社团的成绩的中位数为 （分）；
∵乙社团排在第 ， 位的数据为 ， ，
∴乙社团的成绩的中位数为 （分）；
∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前；
（3）解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，
∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做
决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键．
19．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）以 为圆心， 为半径画弧，以 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点
，连接 ， 即可；
（2）如图，证明 ， ， ， ，可得
，证明 ，设 ，则 ，可得 ，再解
方程即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形；
答案第14页，共2页由作图可得： ， ， ，
∴ ，
∴ 即为所求作的三角形；
（2）解：如图，∵矩形 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ；
∴ ．
【点睛】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理
的应用，熟练的作图是解本题的关键．
20．(1)甲、乙两种路灯的单价分别为 元， 元
(2)购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列
出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键；
（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为 元，根据题意列出方程组，即可求解；
答案第15页，共2页（2）设购买甲种路灯 盏，则购买乙种路灯 盏，列出不等式，求得 ，设购
买费用为 元，得出 ，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为 元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为 ， 元
（2）解：设购买甲种路灯 盏，则购买乙种路灯 盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为 元，根据题意得，
∵
∴当 取得最大值时， 取得最小值，
∴ 时， （盏） ，
即购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少，
答：购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少．
21．(1)渔船在航行过程中到灯塔 的最短距离为 海里
(2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点 作 于点 ，设 ，根据题意得出 ，解
，得出 ，建立方程，即可求解；
（2）求得 的距离，计算 的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即
可求解．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ，
答案第16页，共2页设 ，
依题意， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴渔船在航行过程中到灯塔 的最短距离为 海里；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
小时 分钟，
从14：30，经过 分钟是 ，在 之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 ．
22．(1)见解析
(2) ； 的半径为
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以
上知识是解题的关键；
（1）连接 并延长交 于点 ，连接 ，根据已知得出 ，根据圆周角定
理得出 ，进而等量代换可得 即 ，
即可得证；
（2）证明 ，即可得出 ，过点 作 于点 ，得出
答案第17页，共2页，进而求得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∵ 是直径
∴
∴ 即
∴ 是 的切线；
（2）∵
∴
∴
∵
∴ ，
又∵ ，
∴
答案第18页，共2页解得：
如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴ 的半径为
23．（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和
问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据思路一：构造 与 全等，从而得出 是等腰直角三角形，即
可 与 的数量关系；
（2）在射线 上截取 ，连接 ，过点 作 于点 ，同（1）得
，则 ， ，可得 ，
根据 ，即可求解；
答案第19页，共2页（3）同（2）的方法，即可求解．
【详解】（1）
如图2，在射线 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴
又∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵四边形 是正方形，
∴
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
故答案为： ．
答案第20页，共2页（2）解：正五边形的一个内角为
如图4，在射线 上截取 ，连接 ，过点 作 于点
同理可得 ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴ ；
（3）如图，在射线 上截取 ，连接 ，过点 作 于点
答案第21页，共2页同理可得
∴
∴
∵
∴
∴ 即
故答案为： ．
24．(1)
(2)① ；②存在， 或 或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线 ： ，则 ， ，即可用 的代
数式表示 ；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在 轴负半轴取点 ，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ，证明
，则 ，确定点 在线段 上运动（不包括端点），
故当 时， 最小，可证明 ，求得
，而当 时， ，即可由面
积法求最小值．
答案第22页，共2页【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与
y轴交于点C， ， ，
∴ ，
∴
解得： ，
∴抛物线表达式为 ；
（2）解：①对于抛物线表达式 ，
当 ，
∴ ，
设直线 表达式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 ： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
答案第23页，共2页②存在，
，而
当 时， ，
解得： 或 （舍），
，
∴ ；
当 时，
整理得： ，
解得： 或 （舍），
，
∴ ；
当 时，
整理得： ，
解得： 或 （舍）或 （舍），
，
∴ ，
综上： 是等腰三角形时， 或 或 ；
（3）解：在 轴负半轴取点 ，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ，
答案第24页，共2页由旋转得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在线段 上运动（不包括端点），
∴当 时， 最小，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
∴ ，
∴ ，
∴线段 长度的最小值 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图
象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线
答案第25页，共2页段最短等知识点，难度较大，综合性强．
答案第26页，共2页
