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数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合要求的．
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
2．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种
文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容
圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
3．若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
4．福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大绕，如图1．云纹青铜大绕是西周
乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜
文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在分别写有 ，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好
互为相反数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中
点A，E，C，F在同一条直线上， ．当
时， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的
直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边
长为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共3页9．如图， 与 相切于点A， 的延长线交 于点C． ，且交 于点
B．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，
他将体重增加 记作 ，那么体重减少 应记作 ．
12．某房梁如图所示，立柱 ，E，F分别是斜梁 ， 的中点．若
，则 的长为 m．
13．若反比例函数 的图象过点 ，则常数 ．
14．如图，菱形 的对角线相交于点O， 过点O且与边 分别相交于点E，
F．若 ，则 与 的面积之和为 ．
15．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项
试卷第3页，共3页成绩（百分制）按 的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、
读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
项目
听 说 读 写 最终成绩
员工
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A B．（填“>”“=”或“<”）
16．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限
度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即 ，其中k为常
数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为 ，其中g为常数．如图，一把弹簧秤
在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，
弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．计算：
18．如图，点E，F分别在 的延长线上， ．求证：
．
试卷第4页，共3页19．先化简，再求值： ，其中 ．
20．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备
队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
3 4 5
2月 2月 3月 3月 4月 4月 5月
日期 月 月 月
10 21 14 25 17 27 20
队员 5 7 8
日 日 日 日 日 日 日
日 日 日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 ；方差分别是 ．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高
中数学联赛，选谁更合适；
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为
什么？
21．如图， 是等边三角形，D是 的中点， ，垂足为C， 是由 沿
方向平移得到的．已知 过点A， 交 于点G．
(1)求 的大小；
试卷第5页，共3页(2)求证： 是等边三角形．
22．如图，矩形 中， ．
(1)求作正方形 ，使得点E，G分别落在边 上，点F，H落在 上；（要求：
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，求（1）中所作的正方形的边长．
23．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点 ．
(1)求 的值；
(2)已知二次函数 的最大值为 ．
①求该二次函数的表达式；
②若 为该二次函数图象上的不同两点，且 ，求证：
．
24．阅读材料，回答问题．
主
两个正数的积与商的位数探究
题
提 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“
出
”，猜想：m位的正整数与
问
n位的正整数的乘积是一个 位的正整数．
题
分
析
问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
探
究
推
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘
广
法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，
延
规定：如果一个正数用科学记数法表示为 ，则称这个数的位数是 ，数字
伸
试卷第6页，共3页是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且
，则必有 且 ，或 且 ．并且，当 且 时， ；
当 且 时， ．
证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 ，
其中a，b，c均为正数．
由 ，得 ，
即 ．（*）
当 且 时，“ ，所以 ，又 ，所以
．由（*）知， ，所以 ；
当 且 时， ，所以 所以 ，
与（*）矛盾，不合题意；
当 且 时， ① ；
当 且 时， ② ．
综上所述，命题成立．
拓
展
问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少？证明你的结论．
迁
移
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
25．如图，四边形ABCD内接于 ，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点
F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且 ．
试卷第7页，共3页(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的周长．
试卷第8页，共3页1．A
【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的
顺序比较大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数为 ；
故选：A
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平
面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须
非负，即 ，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．
【详解】解：要使 在实数范围内有意义，
需满足被开方数 ，
解得 ．
∴ 符合．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是
俯视图，从左边看到的图形是左视图．根据主视图是从前面看到的图形解答即可．
【详解】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．
故选A．
5．C
答案第1页，共2页【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，
定方向，表示出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
，
∴ ；
在数轴上表示如图：
故选C．
6．B
【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
1 2
1
2
共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有 ， 两种，
∴ ；
故选：B．
7．B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到
，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，
是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
答案第2页，共2页∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：B．
8．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形
的面积公式，列出方程即可．
【详解】解：设设矩形的一边长为x米，则另一边长为 米，由题意，得：
；
故选：C．
9．C
【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接 ， ，切线得到
，求出 ，平行，得到 ，进而得到
为等边三角形，推出 为等边三角形，即可得出结果．
【详解】连接 ， ，则： ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
答案第3页，共2页∴ ，
故选C．
10．A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解
题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线过点 ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，小于 到对称轴的距离，
∴ ；
故选：A．
11．
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少
为负，进行作答即可．
【详解】解：体重增加 记作 ，那么体重减少 应记作 ；
故答案为： ．
12．4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的
一半，是解题的关键．根据 ，得出 为直角三角形，根据直角三角形的性质
得出 ．
【详解】解：∵ ，
答案第4页，共2页∴ 为直角三角形，
∵E是斜梁 的中点，
∴ ．
故答案为：4．
13．
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出 值即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ；
故答案为： ．
14．1
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出
， ，然后证明 即可求解．
【详解】解：∵菱形 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
15．>
【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．
利用加权平均数的计算公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
答案第5页，共2页∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为； ．
16．0.8
【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律 （其中 为弹力，
为劲度系数， 为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系 是解题的关键．先根
据已知条件求出弹簧的劲度系数 ，再利用胡克定律求出弹簧长度为 厘米时所挂物体的
质量．
【详解】解：不挂物体时弹簧长度 厘米，挂质量 千克物体时，弹簧长度
厘米，则弹簧伸长量 (厘米)．
物体重力 （ 为常量），根据胡克定律 ，可得 ，即 ，
解得 ．
当弹簧长度 厘米时，弹簧伸长量 (厘米)．
设此时所挂物体质量为 千克，则 ，因为 ，所以 ，两边同时
除以 ，得 ．
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，
是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝
对值的代数意义计算即可得到结果．
【详解】解：
答案第6页，共2页．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几
何直观等．先证明 ， 证明 ，即可得出结论．
【详解】证明： ，
．
在 和 中，
，
，
．
19． ，
【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化
为乘法，然后约分化简，再把 代入即可即可．
【详解】解：
．
当 时，
原式 ．
20．(1) ，见解析
答案第7页，共2页(2)甲，见解析
(3)选甲更合适．理由见解析
【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键．
（1）先求出乙的方差，然后比较即可；
（2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判
断即可；
（3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可．
【详解】（1） ，即 ．
因为 ，
所以 ，
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．
（2）由已知得，获奖分数线的平均数为 ，
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，
而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
（3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在
原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．
21．(1)
(2)见解析
【分析】（1）等边三角形的性质推出 ，垂直，得到 ，角的和差关
系求出 的大小即可；
（2）平移得到 ，进而得到 ，角的和差关系推出
，进而得到 ，根据 ，推出 垂直平分 ，
进而得到 ，推出 ，进而得到 是等边
三角形即可．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
．
D是 的中点，
答案第8页，共2页．
，
，
．
（2）由平移可知： ，
，
又 ，
，
∴ ，
又 ，
垂直平分 ，
，
由（1）知， ，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与
性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与
推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 的中垂线交 于点 ，交 于点 ，以 为直径画圆，交 于
点 ，即可得到正方形 ；
（2）勾股定理求出 的长，进而求出 的长，证明 ，求出 的长，
再根据正方形的性质，结合勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：如图，四边形 就是所求作的正方形．
答案第9页，共2页由作图可知， ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知， ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形；
（2）由（1）知： ， ，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
．
，
．
又 ，
，
，即 ，
答案第10页，共2页．
在 中， ，
，
∴正方形EFGH的边长为 ．
【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、
勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空
间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
23．(1)
(2)① ；②见解析
【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为 列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出 ，然后把 通分后代入即可求解．
【详解】（1）解：二次函数 的图象的对称轴为 ．
因为点 在该函数的图象上，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2）①由（1）可得， ，
所以该函数的表达式为 ，
答案第11页，共2页函数图象的顶点坐标为 ．
因为函数的最大值为 ，
所以 ，且 ，
解得 ，或 （舍去）．
所以该二次函数的表达式为 ．
②因为点 在函数 的图象上，
所以 ．
由①知，点 关于直线 对称，不妨设 ，
则 ，即 ．
所以
，
所以 ．
24．(1)小明的猜想不正确，反例：
答案第12页，共2页(2)见解析
(3)当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是 ；当A的数字小于B的数字时，
的位数是
【分析】（1）举反例即可；
（2）①当 且 时，可得 ，得 ，不合题意；
②当 且 时，可得 ，可得 ，得 ，即得 ．
（3）设 ，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则 ．当 时，
必有 ， ，即 ；当 时，必有 ， ，即 ．
【详解】（1）解：小明的猜想不正确．
反例： ．
（2）证明：① ，所以 ，所以 ，与（*）矛盾，不合题意；
② ，所以 ，又 ，所以 ，
由（*）知 ，所以 ．
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是 ；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是 ．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设 ，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则 ．
由小华的命题知，当 时，必有 ，
此时， ，所以 ；
当 时，必有 ，
答案第13页，共2页此时， ，所以 ．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是 ；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是 ，
【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基
本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用 得 ，结合同弧 所对圆周角
，再根据三角形外角性质 ，完成证明 ．
（2）先证 得 ，再通过角的等量代换证 ，推
出 ，从而得 ．
（3）利用（2）结论将 周长转化为 ，通过相似三角形 及三角函数、
勾股定理求出 的长，即 周长为 ．
【详解】（1）证明： ，
．
，
，
．
，
．
答案第14页，共2页（2）证明： ，
．
，
，
又 ，
，
，
．
由（1）知， ，
又 ，
，
．
，
．
∵ ，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知， ，
的周长为 ．
设 ，则 ．
由（2）可知， ．
答案第15页，共2页又 ，
，
，
，
．
又 ，
，
．
过点C作 ，垂足为P，则 ．
四边形 是圆内接四边形，
，
又 ，
，
．
在 中， ，即 ．
，
，
，
．
在 中， ，
，
解得 ，或 （舍去）．
．
的周长为 ．
答案第16页，共2页【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与
边的转化、相似三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系
推导．
答案第17页，共2页
