文档内容
二〇二五年绥化市初中学业水平考试
数学试题
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑
1．下列数学符号是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客 万人次，把 万用科
学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱
4．如图， 是 的平分线， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页5．下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．两个相似三角形的最长边分别是 和 ，并且它们的周长之和为 ，那么较小
三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是： ，工
作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最
高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
8．一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为 ，则这个矩形的面积是
（ ）
A．25 B． C． D．
9．在 中，如果 的圆心角所对的弧长是 ，那么 的半径是（ ）
A． B． C． D．
10．用A， 两种货车运输化工原料，A货车比 货车每小时多运输15吨，A货车运输450
吨所用时间与 货车运输300吨所用时间相等．若设 货车每小时运输化工原料 吨，则
可列方程为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，反比例函数 经过 、 两点，过点 作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ，连接 、 、 ．若 ， ，则 的值是（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
12．如图，二次函数 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点
，其中 ．则下列结论：
① ；②方程 没有实数根；③ ； ④ ．
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13．计算： ．
14．若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
15．分解因式： ．
16．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则
．
17．在平面直角坐标系中，把 以原点 为位似中心放大，得到 ．若点 和它
的对应点 的坐标分别为 ， ，则 与 的相似比为 ．
试卷第3页，共3页18．计算： ．
19．如图，某水库堤坝横断面迎水坡 的斜面坡度 （斜面坡度是指坡面的铅直高
度 与水平宽度 的比），堤坝高 ，则迎水坡面 的长度是 ．
20．如图，在菱形 中， ，对角线 ，点 是边 的中点，点 是
对角线 上的一个动点，连接 、 ．则 的最小值是 ．
21．观察下图，图（1）有2个三角形，记作 ；图（2）有3个三角形，记作 ；
图（3）有6个三角形，记作 ；图（4）有11个三角形，记作 ；按此方法继续
下去，则 （结果用含 的代数式表示）．
22．在边长为7的等边三角形 中，点 在 上， ．点 是直线 上的一个
动点，连接 ，以 为边在 的左侧作等边三角形 ，连接 ，当 为直角
三角形时，则 的长是 ．
三、解答题（本题共6个小题，共64分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
试卷第4页，共3页23．尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线 ，使扇形 的面积被直线
平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形 的圆心角为 ，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点 为圆
心的弧 ，交 于点 ，交 于点 ，使扇形 的面积与扇形 的面积比为
．
24．2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一
致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高 （单位： ）数据分为 、
、 、 、 五组，并制成了如下不完整的统计图表．
组别 身高分组 人数
5
4
12
9
试卷第5页，共3页根据以上信息回答：
(1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中 的圆心角度数是________，请补全
条形统计图．
(2)若 组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画
树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
25．自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司
计划投入一笔资金用来购买 、 两种型号的芯片．已知购买 颗 型芯片和2颗 型芯片
共需要 元，购买 颗 型芯片和 颗 型芯片共得要 元．
(1)求购买 颗 型芯片和 颗 型芯片各需要多少元．
(2)若该公司计划购买 、 两种型号的芯片共 频，其中购买 型芯片的数量不少于
型芯片数量的 倍．当购买 型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从 地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目
的地 ，两车到达 地后均停止行驶．如图， 、 分别是甲、乙两车离
地的距离与甲车行驶的时间 之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是________ ．
②当甲、乙两车相距 时，直接写出 的值________．
26．如图． ， 与 相切于点 、连接 ， 与 相交于点 ，
试卷第6页，共3页过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)当 ， 时，求线段 的长．
27．综合与实践
如图，在边长为8的正方形 中，作射线 ，点 是射线 上的一个动点，连接
，以 为边作正方形 ，连接 交射线 于点 ，连接 ．（提示：依题意
补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断 与 的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若 ，请你用含 的代数式直接写出 的正切值________．
【用数学的语言表达】
（3）设 ，正方形 的面积为 ．请求出 与 的函数解析式．（不要求写出自
变量 的取值范围）
28．综合与探究
如图，抛物线 交 轴于A、 两点，交 轴于点 ．直线 经过 、
两点，若点 ， ．点 是抛物线上的一个动点（不与点A、 重合）．
试卷第7页，共3页(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点 作直线 轴于点 ，交直线 于点 ，当 时，求 点坐标．
(3)若点 是直线 上的一个动点．请判断在点 右侧的抛物线上是否存在点 ，使
是以 为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
试卷第8页，共3页1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键；
根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答.
【详解】
解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是 ，其它的都不是；
故选：D.
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，
n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将 万写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： 万 ．
故选C．
3．A
【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关
键；
由题目给出的三视图可知，这个几何体是圆柱，即得答案.
【详解】解：根据题意可得：这个几何体是圆柱；
故选：A.
4．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性
质成为解题的关键．
由平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得
，最后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
答案第1页，共2页故选C．
5．B
【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题
的关键．
根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
6．B
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为 和 确定相似比，相似三
角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为 即可求解．
【详解】解： 两个相似三角形的最长边分别为 和 ，
相似比为 ，
较大三角形与较小三角形的周长比为： ，
它们的周长之和为 ，
较小三角形的周长为： ，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中
位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不
影响中位数）解答即可．
本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值
后的变化．
【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分 （其中一个）后，剩余数据为
．
答案第2页，共2页原平均数总和为 ，平均数为 ．
去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不
符合题意．
方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，
方差随之改变，故B选项不符合题意．
原众数为 （出现2次）．去掉一个 后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或
变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意．
原数据中位数为第4个数即 ．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第
3个数（仍为 ），故中位数不变．
故选： D．
8．B
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正
确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键．
如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出 ，然后判断出 是等边三角
形，根据等边三角形的性质求出 ，再利用勾股定理列式求出 ，然后根据矩形的面积
公式求解即可．
【详解】解：如图，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴矩形的面积 ．
故选：B．
9．A
答案第3页，共2页【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式： ，其中 ，
代入得：
解得：
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是
解题的关键．
设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输 吨．根据A运输450吨的时间等于
B运输300吨的时间，列方程 ．
【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输 吨．
∵A货车运输450吨的时间为 ，B货车运输300吨的时间为 ，
∴ ，
即 ．
故选：C．
11．D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握 值几何意义
是关键．延长 交于点E，设 ，则 ，求出 ，
，进而得到 ，证明四边形 是矩形，再求出
，得到 ，根据 ，建立
方程求解即可．
答案第4页，共2页【详解】解：延长 交于点E，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵反比例函数 经过 、 两点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第5页，共2页∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．
12．A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的
计算方法是关键．
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为 ， ，则 ，当
时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线 的位置关系可判定②；根据题意得到
，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数 与 轴交于点 、 ，图象开口向上，
∴对称轴直线为 ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为 ，
∴当 时，函数有最小值，最小值 轴的下方，
∴抛物线 与直线 两个不同的交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数 与 轴交于点 ，其中 ，
∴当 ， ，
∴ ，
答案第6页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，故③正确；
当 时，函数有最小值，最小值为 ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A ．
13．0
【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可．
【详解】解：
故答案为：0
14．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条
件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x
的取值范围．
【详解】解：要使式子 有意义，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是
解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
答案第7页，共2页【详解】解： ．
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，
将代数式变形后代入计算即可．
【详解】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，
，
，
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位
似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 是解答此题的关键．
根据坐标与图形的性质进行解答即可．
【详解】解：把 以原点为位似中心缩小得到 ，点 和它的对应点 的坐标
分别为 ， ，
则 与 的相似比为 ，
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子
分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
答案第8页，共2页故答案为： ．
19． ## 米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定
理是解题的关键．
根据坡度的概念求出 ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵坡 的斜坡坡度 ，
∴ ，而 ，
即 ，
解得， ， 经检验符合题意，
由勾股定理得， （米），
故答案为： ．
20．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，
连接 ，根据两点之间线段最短可知 的最小值为 ，再结合菱形的性质得
答案第9页，共2页，然后根据勾股定理得 ，
可得 ，结合等腰三角形的性质得 ， ，接下来根
据勾股定理得 ，此题可解．
【详解】解：如图，连接 ，
作点P关于直线 的对称点 ，则 ，点 是 的中点，
∴ ．
根据两点之间线段最短，可知 的最小值为 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
根据勾股定理，得 ，
∴ ．
∵点 是 的中点，
∴ ， ．
在 中， ．
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
21．
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数
据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形
变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．
答案第10页，共2页【详解】解：第一个图形中有 个三角形；
第二个图形中有 个三角形；
第三个图形中有 个三角形；
第四个图形中有 个三角形；
；
第n个图形中有 个三角形．
故答案为：
22．6或8或9
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含 角的直角
三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作 交 于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答．
【详解】解：过点D作 交 于点E，
①当 时，如图（1），
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，即 是等边三角形，
∴
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
答案第11页，共2页∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
②当 时，如图（2）
同理可得 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
③当 时，如图（3）
同理可证 ，
∴
∴ ．
∴ ．
④当 时，如图（4）
答案第12页，共2页同理可证 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长是6或8或9．
故答案为：6或8或9．
23．[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析
【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是
解题的关键．
[初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形 的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应
弦的垂直平分线；
[拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形
的面积与扇形 半径之比为 ，只要画出 或 的中点即可．方法一：作扇
形 半径 的垂直平分线找到中点 ，然后以 为半径作弧交半径 于点 ．方
法二：扇形 的圆心角为 ，根据含 的直角三角形是斜边的一半，过 点作出
的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以 为圆心画弧即可．
【详解】解：[初步尝试]
作法一：如图所示
答案第13页，共2页①连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点 ，标注出点
②画直线
③直线 即为所求
作法二：如图所示
①以 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，
②分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，标注出点 .
③画直线 ，直线 即为所求
[拓展探究]
扇形 的面积与扇形 的面积比为 ，设扇形 的半径为 ，扇形 的半
径为
扇形 的面积∶扇形 的面积
只要画出 或 的中点即可
作法一：
①作 的垂直平分线交 于点 ，标注出点
②以 为圆心 长为半径画弧，交 于点 ，标注出点
③弧 即为所求．（同理作 的垂直平分线也可得分）
答案第14页，共2页作法二：
过 点作出 的垂线或者过 点作 的垂线，取垂线段的长度为半径，以 为圆心画
弧即可．（依据：含 的直角三角形是斜边的一半）
24．(1)40， ，见解析
(2)见解析，
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确
理解题意是解题的关键．
（1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用 乘以 组的的百分比即
可求出扇形统计图中 的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可；
（2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可．
【详解】（1）解：这次抽查的志愿者共有： （人），
扇形统计图中 的圆心角度数是 ，
C组的人数为 （人），
补全条形统计图如下：
故答案为：40，
（2）解：设2名男志愿者分别记作 、 ，2名女志愿者分别记作 、
根据题意可以画出如下的树状图
答案第15页，共2页列表法如下图
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任
组长的是 和 的情况有两种.
25．(1)购买 颗 型芯片和 颗 型芯片分别需要 元和 元
(2)当该公司购买 型芯片 颗，所需资金最少，最少资金是 元
(3)① ；② 或 或
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题：
（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；
（3） 求出解析式代入计算即可； 求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．
【详解】（1）设：购买 颗 型芯片和 颗 型芯片分别需要 元和 元
由题意得
解得
答案第16页，共2页答：购买 颗 型芯片和 颗 型芯片分别需要 元和 元
（2）设购买 型芯片 颗，则购买 型芯片 颗，所需资金为 元
由题意得：
随 的增大而减小
购买 型芯片的数量不少于 型芯片数量的3倍，
解得
取正整数
当 时， 取最小值， （元）
此时
答：当该公司购买 型芯片 颗，所需资金最少，最少资金是 元
（3）①设 的解析式为
将点 ， 代入
得
解得
所以， 的解析式为 ，
当 时，
所以，甲车的速度为
② 的解析式为
将点 代入
得 ，解得
答案第17页，共2页所以 的解析式为
当函数 的图象在函数 上方时
可列方程
解得
当函数 的图象在函数 下方时
可列方程
解得
当甲车到达 地，乙离目的地 时，
可列方程
解得
综上所述， 的值为： 或 或 ．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）方法一：过点 作 于点 ，证明 ，则
，由 为 的半径得到 为 的半径，由 即可证明 是 的
切线；由角平分线的性质定理得到 ，由 为 的半径得到 为 的半径，
由 即可证明 是 的切线；
（2）证明 ，则 ，求出 ，则 ，在
中，求出 ，得到 ， ，证明 ，则
，设 ，则 ，即可求出答案．
【详解】（1）方法一：
证明：过点 作 于点 ，
答案第18页，共2页，
，
与 相切于点 ，
，
，
， ，
，
，
为 的半径，
为 的半径，
，
是 的切线；
方法二：
证明：过点 作 于点 ，
与 相切于点 ，
，
，
是 的平分线，
，
为 的半径，
为 的半径，
答案第19页，共2页，
是 的切线；
（2） ， 为半径，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
答案第20页，共2页解得 ，
．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、
角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、
切线的判定和性质是关键．
27．（1） ，理由见解析；
（2） ；
（3） 与 的函数解析式为 ．
【分析】（1）由正方形的性质，得出线段之间的数量关系和角之间的数量关系，综合应用
全等三角形的判定和性质即可确定 与 的位置关系；
（2）由正方形的性质，可得线段之间的位置关系，综合应用相似三角形的判定和性质，可
得边之间的比例关系，化简整理即可；
（3）根据点 的位置变化，进行分类讨论，应用勾股定理即可得出每种情况下正方形的面
积，对各种情况所得结果进行整理即可．
【详解】（1）解：
理由：
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第21页，共2页∴ ．
（2）解：连接 交 于点 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形的边长 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
答案第22页，共2页（3）解：当点 在对角线 上时，如图 ，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
当点 在 上，点 在 上时，如图 ，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
当点 在对角线 的延长线上时，如图 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
答案第23页，共2页∴ ，
综上所述， ，
答： 与 的函数解析式为 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形全等和相似的判
定定理，会用分类讨论的思想方法解决问题．
28．(1)
(2) ，
(3)存在，P点坐标为 ，或 ，或
【分析】（1）把 ， 代入 ，解方程组，求出a，b的值，即得；
（2）求出 ，直线 的解析式 ，设 ，则 ，分
， ， 和 ，四种情况解答；
（3）过点F，P作 轴于G， 轴于H，得 ，根据等腰直
角三角形．得 ，得 ，得 ，得
答案第24页，共2页，设 ，分 和 两种情况解答．
【详解】（1）解：∵抛物线 交 轴于 ， 两点，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：∵ 中，当 时， ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
当 时，
， ，
∵ ，
∴ ，
解得 （不合），或 （舍去），
∴点P不存在；
当 时， ，
答案第25页，共2页∴ ，
解得解得 ，或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
当 时， ，点P不存在；
当 时， ， ，
∴ ，
解得 ，或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
故 点坐标为 ，
（3）解： 过点F，P作 轴于G， 轴于H，则 ，
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第26页，共2页∴ ，
设 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
解得 ， ，
∴P坐标为 ，或 ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
解得 ， （舍去），
∴P坐标为 ；
故P坐标为 ，或 ，或 ．
答案第27页，共2页【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次
函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角
形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
答案第28页，共2页
