文档内容
2025 年陕西省初中学业水平考试数学试卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总
分120分，考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡
上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点
（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题
意的）
1．计算： （ ）
A．1 B． C．9 D．
2．上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的
俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点 在直线 上， 平分 ．若 ，则 的度数为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
4．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ， ， 为 边上的中线， ，则
图中与 互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．在平面直角坐标系中，过点 ， 的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线
经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上， ，则
的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
8．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴有两个交点，
且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当 时， 的值随 值的增大而增大
试卷第2页，共3页C．函数的最小值小于 D．当 时，
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．满足 的整数 可以是 （写出一个符合题意的数即可）．
10．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，
如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，
……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
11．草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时
长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多 ．已知小康平均每小时采摘 ，小
悦平均每小时采摘 ，小康采摘的时长是 小时．
12．如图， 为 的直径， ， ，则 的度数为 ．
13．如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两
点，则 的值为 ．
14．如图，在 中， ， ， ．动点 ， 分别在边 ，
上，且 ，以 为边作等边 ，使点 始终在 的内部或边上．当
的面积最大时， 的长为 ．
试卷第3页，共3页三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15．计算： ．
16．解不等式组：
17．化简： ．
18．如图，已知 ，点 在边 上．请用尺规作图法，在 的内部求作一
点 ，使得 ，且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，点 是 的边 延长线上一点， ， ， ．求证：
．
20．某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”
“文学”“艺术”“科技”（分别记作 ， ， ， ， ）共五个研究方向，并采取小
组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，
卡片背面保持完全相同．
试卷第4页，共3页(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率
为______；
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡
片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗
匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组
研究方向不同的概率．
21．小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具
前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面 上的点 处安装测角仪 ，测得信号杆
顶端 的仰角 为 ， 与坡面的夹角 为 ，又测得点 与信号杆底端 之间的
距离 为 ．已知 ，点 ， ， 在同一条直线上， ， 均与水平线
垂直．求信号杆的高 ．（参考数据： ， ，
）
22．研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积 与气体温度
成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得
的部分数据如下表：
气体温度
… 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
试卷第5页，共3页(1)求 与 的函数关系式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 时停止加热．求停止加热
时的气体温度．
23．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”
当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从
竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，
并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，
81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)B组15个成绩的平均数为______分；
(2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分；
(3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，
请估计本次竞赛的获奖人数．
24．如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交
于点 ， 为⊙ 的直径， 与 相交于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
试卷第6页，共3页25．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 ，左、右门洞 ， 均呈抛物线
型，水平横梁 ， 的最高点 到 的距离 ， ， 关于 所在直线
对称． ， ， 为框架，点 ， 在 上，点 ， 分别在 ， 上，
， ， ．以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直
线为 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)已知抛物线 的函数表达式为 ， ，求 的长．
26．问题探究
（1）如图①，在 中，请画出一个 ，使得点 ， ， 分别在边 ， ，
上；
（2）如图②，在矩形 中， ， ， 为矩形 内一点，且满足
， 周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间
的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示， 区域为草地，线段
为花海边沿，点 为游客服务中心，线段 为步道，点 和点 为步道口，点 为观
景台．按照设计要求，点 ， 分别在边 ， 上，且满足 ， 为 的
中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使 最大．已知 ，
，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），
试卷第7页，共3页并计算此时步道口 与游客服务中心 之间的距离 ．（步道的宽及步道口、观景台、游
客服务中心的大小均忽略不计）
试卷第8页，共3页1．B
【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答．
【详解】解： ，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据
俯视图是从上方看到的解答即可．
【详解】解：该几何体的俯视图为：
，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据 平分 ，得 ，故
，即可作答．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行
计算，即可作答．
【详解】解： ，
故选：D．
5．C
【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰
三角形的性质，根据三角形内角和定理求出 ，根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半得出 ，根据等边对等角得出 ，
再结合 根据三角形内角和定理求出 ，最后根据余角的性
质求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
答案第1页，共2页∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴图中与 互余的角是 ，共有4个，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点 ， ，
求出这条直线的解析式为 ，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为
，再将每个选项进行验证，即可作答．
【详解】解：设过点 ， 的直线解析式为 ，
把点 ， 分别代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 ， 的直线向上平移3个单位长度，
∴平移后的直线解析式为 ，
当 时，则 ，
即 在直线 上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意；
答案第2页，共2页当 时，则 ，
即 在直线 上，故D选项不符合题意；
当 时，则 ，
即 在直线 上，故C选项不符合题意；
故选：B
7．C
【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相
似是解题的关键．
根据四边形 为正方形，得出 ， ，勾股
定理求出 ，证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，即可求出 的面
积．
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∵ 为 的中点，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y
答案第3页，共2页轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶
点坐标及特定点函数值分析选项即可.
【详解】解：由题意可得：方程 的两根异号，
∴ ，
解得 ，
∴二次项系数 ，开口向上，故A不符合题意；
∵ 的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当 时， ，
∴最小值为 ，故C不符合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴此时 ，故D符合题意；
故选：D
9．3（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得 ，结合 ，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴整数 可以是 ，
故答案为：3（答案不唯一）
10．21
【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变
化规律．根据第1个图案中矩形的个数： ；第2个图案中矩形的个数： ；
第3个图案中矩形的个数： ；…第n个图案中矩形的个数： ，算出第10
个图案中矩形个数即可．
【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数： ；
答案第4页，共2页第2个图案中矩形的个数： ；
第3个图案中矩形的个数： ；
…
第n个图案中矩形的个数： ，
∴则第10个图案中矩形的个数为： ，
故答案为：21．
11．
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利
用小康采摘的草莓比小悦多 得出等式求出答案．
【详解】解：设两小组采摘了 小时，
依题意： ，
解得： ，
因此，两小组采摘了 小时．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．先根据 为 的直径， ，则 ，再根
据 ，即 ，代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
13．9
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原
点对称的点的性质，先根据题意得出 ， ，解得 ， ，即
答案第5页，共2页，再把 代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ，
两点，
∴ ， 两点关于原点 对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
故答案为：9．
14．5
【分析】如图，在 中，得出 ，根据 是等边三角形，得出
，连接 ，证明 ，得出
，则 ，作 的平分线交 于点 ，证明
是等边三角形，得出 ，根据 ，得出直线 和直线 重合，
确定点 在 上运动，根据 的面积 ，得出 最大时， 的面积
最大，当点 与点 重合时， 的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得
，则 ，得出 ．
【详解】解：如图，在 中， ， ， ，
则 ，
答案第6页，共2页∵ 是等边三角形，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 的平分线交 于点 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴直线 和直线 重合，
即点 在 上运动，
∵ 的面积 ，
则 最大时， 的面积最大，
根据题意可得当点 与点 重合时， 最大，即 的面积最大，
此时，如图，
则 ，
答案第7页，共2页∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的
性质，解直角三角形等知识点，确定点 的轨迹是解题的关键．
15．7
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可．
【详解】解：
．
16．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大
取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
由①得， ；
由②得， ，
∴原不等式组的解集为： ．
17．
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算．
【详解】解：
答案第8页，共2页．
18．作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟
练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作 的平分线 ，再在 同侧作 ，
使 ， 交 于P即可．
【详解】解：如图，点 即为所求；
理由如下：
由作图可知： 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 即为所求．
19．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题
的关键．
先根据平行得到 ，再证明 即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
20．(1)
(2)
答案第9页，共2页【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计
算，即可作答．
（2）先理解题意，再画树状图，得到一共有 种等可能的结果，其中这两个小组研究方
向不同的等可能结果有 种，运用概率公式进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，
∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率
为 ，
故答案为： ．
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有 种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有 种，
∴这两个小组研究方向不同的概率 ．
21．信号杆的高 为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角
对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出 ，
再在 中，运用 ， ，代入数值进行计算，得
出 的值，然后证明四边形 是矩形，故 ，根据 ，
，得 ， ，把数值代入 进行计算，
即可作答．
【详解】解：过点E作 于点 ，过点D作 于点 ，如图所示：
答案第10页，共2页∵ ， 均与水平线 垂直．
∴
∴ ，
∵
∴
在 中， ，
则 ，
在 中， ，
则 ，
∵过点E作 于点 ，过点D作 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
信号杆的高 为 ．
22．(1)
(2)
答案第11页，共2页【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）令 ，求解即可．
【详解】（1）解：设 与 的函数关系式为 ，
则 ，解得 ，
故 与 的函数关系式为 ．
（2）解：令 ，
则 ，解得： ，
答：停止加热时的气体温度为 ．
23．(1)
(2) ，
(3) 人
【分析】本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数的含义．
（1）直接利用平均数公式计算即可；
（2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即
可；
（3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案.
【详解】（1）解：B组15个成绩的平均数为：
；
（2）解：∵ ，
∴本次被抽取的所有成绩的个数为 ，
∵ ，而 ，
所抽取的50个成绩分数排序后排在第 个，第 个分数落在B组，
而B组成绩排序后为：
从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
答案第12页，共2页∴第 个，第 个分数 ，
本次被抽取的所有成绩的中位数为 分；
（3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参
加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为 （人）.
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ， ，即 ，可得
，进一步证明 ，可得 ；
（2）求解 ，设 的半径为 ，结合 ，可得 ，可得： ，
，求解 ，证明 ，可得
，进一步可得答案.
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
答案第13页，共2页（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，
∴ ， ，而 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ， ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似
三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适
的辅助线是解本题的关键.
25．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线 的函数表达式为 ，结合二次函数的对称性
得 ，再代入 进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出 ，再结合抛物线 ， 的函数表达式分别为
答案第14页，共2页， ，代入 ，整理得 ，
再解方程，可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线 的顶点 坐标为 ，
设抛物线 的函数表达式为 ，
∵ ，
∴结合二次函数的对称性得 ，
将 代入 ，
得
则 ，
∴ ；
（2）解：由（1）得抛物线 的函数表达式 ，
∵ ， ， ． ，且抛物线 的函数表达式为
，
∴ ，
整理得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
答案第15页，共2页26．（1）见详解（2） （3）
【分析】（1）先作 ， 交 于点 ，得出 ，再以点B为圆心，
以 的长为半径画弧，交线段 于一点 ，连接 ，则 ，故四边形 是
平行四边形，即可作答．
（2）过 点作 于点 ，解得 ，故 在线段 上运动的，整理
，经过分析当 有最小值时，则 的周长有最小值，即作
点关于 的对称点 ，当 三点共线时， 有最小值，即 的长，结合矩
形的性质以及勾股定理列式计算，得 ，即可作答．
（3）取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，得 是 的中位线，再过点
作 ，证明 ，整理 ，故 ，再证明四边
形 是平行四边形，因为 是 的中点，得 ，证明 ，
，理解题意，得 为定值，则点 在 的中位线 上运动，作
的外接圆 ，当且仅当 与 相切时， 的值最大，先得出
， ，运用三角函数得 ，代入数值进行
计算，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，
先作 ， 交 于点 ，得出 ，再以点B为圆心，以 的长为半
径画弧，交线段 于一点 ，连接 ，
则 ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
即 如图所示：
答案第16页，共2页（2）如图2，过 点作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
过点 作 且分别与 ， 交于 ，
即 在线段 上运动的，
则 ，
当 有最小值时，则 的周长有最小值，
作 点关于 的对称点
∴ ， ，
∴ ，
当 三点共线时， 有最小值，即 的长，
即 的周长有最小值，
∵ 四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
答案第17页，共2页此时 的周长 ；
（3）如图3，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，
∴ 是 的中位线，
过点 作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
连接
∵ 是 的中点，且四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 是 的中点
过 点作 于点 ，过点 作 于点 ，
答案第18页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，过 点作 于点 ，
∴ 为定值，
∴ 为定值，
则点 在 的中位线 上运动，
作 的外接圆 ，当且仅当 与 相切时， 的值最大，
，
故 ，
如图4，连接 ，作 于点 ， 于点 ，连接
∵ 与 相切于点
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 三点共线，
∴ ，
则 ，
答案第19页，共2页∴ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点 ， 是 的中点
∴ 是三角形 的中位线，
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，
中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较
大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
答案第20页，共2页
