文档内容
二 O 二五年东营市初中学业水平考试
数学试题
(总分120分 考试时间120分钟)
注意事项:
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为选择题,30分;第Ⅱ卷为非选
择题,90分;本试题共7页.
2.数学试题答题卡共4页.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座号
等填写在试题和答题卡上,考试结束,试题和答题卡一并收回.
3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
【ABCD】涂黑.如需改动,先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要
求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上.
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题:本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确
的,请把正确的选项选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超
过一个均记零分.
1.2025的相反数是( ).
A.2025 B. C. D.
2.下列计算正确的是( ).
A. B.
C. D.
3.下图为乒乓球男团颁奖现场,领奖台的示意图如下,则此领奖台的左视图是( ).
A. B.
试卷第1页,共3页C. D.
4.一次函数 的函数值y随x的增大而减小,当 时y的值可以是
( ).
A.3 B.2 C.1 D.
5.2025年是乙巳蛇年,“巳巳如意”将蛇年与如意相结合,表达对新一年事事如意、顺
遂美好的期盼.将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同
的卡片放入盒中,从中随机抽取一张,则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为( ).
A. B. C. D.
6.如图为一节楼梯的示意图, , , 米.现要在楼梯上铺一块
地毯,楼梯宽度为1米,则地毯的长度需要( )米.
A. B. C. D.
7.如图,四边形 内接于 ,若 ,则 的度数是( ).
A. B. C. D.
8.如图,小丽在公园里荡秋千,在起始位置A处摆绳 与地面垂直,摆绳长 ,向前
荡起到最高点B处时距地面高度 ,摆动水平距离 为 ,然后向后摆到最高点C
试卷第2页,共3页处.若前后摆动过程中绳始终拉直,且 与 成 角,则小丽在C处时距离地面的高
度是( ).
A. B. C. D.
9.如图1,在矩形 中, ,E是 边上的一个动点, , 交 于
点F,设 , ,图2是点E从点B运动到点C的过程中,y关于x的函数图象,
则 的长为( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
10.如图,在 中, , ,点D在边 上(与点B,C不重合),
四边形 为正方形,过点F作 ,交 的延长线于点G,连接 ,交 于
点Q.下列结论:① ;② ;③ ;④
.其中结论正确的序号是( ).
A.①②④ B.①②③ C.①②③④ D.②③④
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共8小题,其中11~14题每小题3分,15~18题每小题4
试卷第3页,共3页分,共28分.只要求填写最后结果.
11.2024年国家统计局发布的一份报告中宣布,中国已成为世界上第一个拥有完整高铁网
络并且运行的国家,中国高铁里程达到4.6万公里,居世界首位,将4.6万用科学记数法表
示为 .
12.分解因式: .
13.电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元,前七日综合票房分别是:4.9 4.8 6
.2 7.3 8.1 8.4 8.6(亿元),那么这组数据的中位数是 亿元.
14.若关于 的方程 无实根,则 的取值范围是 .
15.如图,在 中, , ,点D为 中点,点E在 上,当 为
时, 与以点A、D、E为顶点的三角形相似.
16.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,其中《方田》章给出计算弧田面积所
用公式为:弧田面积 (弦 矢+矢 ),弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成,
公式中“弦”指圆弧所对弦长 ,“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差.在如图
所示的弧田中,“弦”为8,“矢”为2,则 的值为 .
17.如图,在 中, , , 的平分线交 于点 , 、
分别是 和 上的动点,则 的最小值是 .
试卷第4页,共3页18.如图所示,正方形 的边长为2,其面积标记为 ,以 为斜边作等腰直角三角
形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为 ,……按照此
规律继续下去,则 的值为 .
三、解答题:本大题共7小题,共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤.
19.(1)计算: ;
(2)先化简,再求值: ,其中a是使不等式 成立的正
整数.
20.劳动教育是新时代党对教育的新要求,是中国特色社会主义教育制度的重要内容,是
全面发展素质教育的重要组成部分,是大中小学必须开展的教育活动.为此,某校拟组建
A(烹饪)、B(种植)、C(陶艺)、D(木雕)4个劳动小组,规定每个学生必须参加且
只能参加一个小组.为了解学生参加劳动小组的意愿,学校随机抽取了部分学生进行调查,
根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图:请根据信息,解决下列问题:
试卷第5页,共3页(1)参加这次调查的学生总人数为多少?将条形统计图补充完整;
(2)请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角;
(3)若该校共有3600名学生,请根据调查结果,估计该校选择D小组的学生人数;
(4)若该校在A,B,C,D四项中任选两项成立课外兴趣小组,请用画树状图或列表的方法
求恰好选中项目A和D的概率.
21.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上异于A、B的点,连接AC、BC,点D在BA的
延长线上,且 ,点E在DC的延长线上,且 .
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若 , ,求DA的长.
22.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 的图象与反比例函数 的图象
相交于点A和 ,点A的横坐标为2.
试卷第6页,共3页(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)观察图象,直接写出当 时x的取值范围;
(3)点C为x轴上一动点,连接 ,若 的面积为18,求点C的坐标.
23.《哪吒2魔童闹海》票房大卖,周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是
2400元,购进B款哪吒玩偶的金额是1600元,购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶
少50个,A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍.
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元?
(2)为满足消费者需求,在A、B两款玩偶单价不变的条件下,该超市准备再次购进A、B两
款玩偶共100个,B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍,且总金额不超过
1100元,问有多少种进货方案?
24.【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以四边形为背景,探究非动点的几何问题.
若四边形 是正方形,M,N分别在边 上,且 ,我们称之为“半
角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.
(1)【初步尝试】如图1,将 绕点A顺时针旋转 ,点D与点B重合,得到 ,
连接 .用等式写出线段 的数量关系______.
(2)【类比探究】小明改变点的位置后,进一步探究:如图2,点M,N分别在正方形
试卷第7页,共3页的边 的延长线上, ,连接 ,用等式写出线段
的数量关系,并说明理由;
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向:如图3,在四边形 中, ,
, ,点N,M分别在边 上, ,用等式写
出线段 的数量关系,并说明理由.
25.已知抛物线与x轴交于 , 两点,与y轴交于点 .
(1)求出抛物线的解析式;
(2)如图1,点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,且点D在第一象限内,过点D作
x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作 轴,垂足为
点F,当四边形 的周长最大时,求点D的坐标;
(3)如图2,点M是抛物线的顶点,将 沿 翻折得到 , 与y轴交于点
Q,在对称轴上找一点P,使得 是以 为直角边的直角三角形,请直接写出点P的
坐标.
试卷第8页,共3页1.B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数,只有符号不同的两个数互为相反数,据此可
得答案.
【详解】解:根据相反数的定义可得: 的相反数是 .
故选:B.
2.D
【分析】本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法法则,同底数幂的除法法则,完全平方
公式,熟记对应法则是解题的关键.根据合并同类项,同底数幂的乘法法则,同底数幂的
除法法则,完全平方公式对每一项判断解答即可.
【详解】解:A. 、 不是同类项不能合并,故原计算错误,不符合题意;
B. ,故原计算错误,不符合题意;
C. ,故原计算错误,不符合题意;
D. ,故原计算正确,符合题意;
故选:D.
3.C
【分析】本题考查了三视图的定义, 理解“从左面看几何体,所看到的视图是左视图.”,
理解画图时是画轮廓线,看见的轮廓线线用实线,看不见的轮廓线用虚线是解题的关键.
【详解】
解:从左面看到的平面图形是 ,
故选:C.
4.A
【分析】本题考查一次函数的性质,不等式的性质,熟悉一次函数的性质是解题的关键.
根据一次函数的增减性可得k的取值范围,再把 代入函数 ,从而判
断函数值y的取值范围,即可得出结果.
【详解】解:∵一次函数 的函数值 随 的增大而减小,
∴ ,
答案第1页,共2页∴当 时, ,
选项中只有3符合要求,
故选:A.
5.D
【详解】本题考查概率的计算,根据成功事件数与总事件数的比值求解.
【分析】∵总共有4张卡片,其中印有“巳”的卡片有2张.
∴抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为 .
故选:D.
6.B
【分析】本题考查解直角三角形的应用,理解题意,得到地毯的长度为 的长,利
用正切定义求得 即可求解.
【详解】解:在 中, , 米,
∴ (米),
∴地毯的长度为 米.
故选:B.
7.C
【分析】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理.先根据圆周角定理得到 ,
然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到 解题即可.
【详解】解:∵ ,
∴ ,
又∵四边形 内接于 ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ,
故选:C.
8.A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,勾股定理,过点 作 于点 ,摆绳
与地面的垂点为 ,由勾股定理得到 ,进而得出 ,证明
答案第2页,共2页,得到 ,进而求出 ,即可得到答案.
【详解】解:如图,过点 作 于点 ,摆绳 与地面的垂点为 ,
由题意可知, , , ,
,
,
,
,
,
,
,
在 和 中,
,
,
,
,
即小丽在 处时距离地面的高度是 ,
故选:A.
9.A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,动点问题的函数图象问题,二次函数的图
象与性质,矩形的性质等知识点,熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.
根据题意求出函数关系式是解题关键.首先推导出 ,利用三角形相似求出
关于 的函数关系式 ,根据函数关系式进行分析求解.
答案第3页,共2页【详解】解: , ,
.
∵矩形 ,
∴ ,
,
.
,
.
,
,
设 ,则 ,
整理得 ,
由图象可知,点 从点 运动到点 的过程中, 关于 的函数图象为抛物线,且顶点坐
标为 ,
设抛物线的解析式为 ,
抛物线过点 ,
,
解得 ,
,
,
.
故选:A.
10.C
【分析】由正方形的性质得出 , ,证出 ,由
答案第4页,共2页证明 ,得出 ,①正确;证明四边形 是矩形,得出
,②正确;由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出
,③正确;证出 ,得出对应边成比例,得出
,④正确.
【详解】解:∵四边形 为正方形,
∴ , ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
在 和 中,
,
∴ ,
∴ ,故①正确;
∵ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴四边形 是矩形,
∴ ,
,即 ,故②正确;
∵ , ,
∴ ,故③正确;
∵ ,
答案第5页,共2页∴ ,
∴ ,
∴ ,故④正确;
∴正确的有①②③④.
故选:C.
【点睛】本题考查正方形的性质,矩形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,三角形
相似的判定和性质等知识.利用数形结合的思想是解答本题的关键.
11.
【分析】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 的形式,其中
为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值,根据科学记数法的表示方
法进行表示即可.
【详解】解:4.6万 ;
故答案为: .
12.
【分析】本题考查了因式分解,先运用提公因式法进行因式分解,再运用完全平方公式进
行因式分解,即可作答.
【详解】解: ,
故答案为: .
13.7.3
【分析】本题考查中位数,将一组数据排序后,位于中间一位或中间两位的平均数为这组
数据的中位数,据此进行求解即可.
【详解】解:将数据排序后,中间一个数据为7.3,
∴中位数为7.3;
故答案为:7.3.
14. ##
答案第6页,共2页【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,分类讨论是解题关键.
分两种情况讨论:当 时,方程为一元一次方程; 当 时,方程是一元二次
方程,分别求出 的取值范围即可.
【详解】解:当 且 时,即 时,原方程化为 ,这是一元一次
方程,有实数根;
当 时,原方程无实数根,
当 且 时,即 时,原方程化为 ,此等式不成立,方程无解,但
这种情况不属于一元二次方程的无实根情况;
当 ,即 时,原方程 是一元二次方程,
因为方程无实根,所以 ,即 ,
解得: ;
综上, 的取值范围是 ,
故答案为: .
15.3或
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是分 或 两
种情况运用相似三角形的判定定理解题即可.
【详解】解:当 时,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
当 时,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
答案第7页,共2页综上, 或 ,
故答案为:3或 .
16. ##
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点.如图,作
交 于 ,交圆弧于 ,利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出 , ,
利用余弦函数定义即可解决问题.
【详解】解:如图,作 交 于 ,交圆弧于 ,
由题意: ,
设 ,由 ,
∴ ,
∵ , 为半径,
∴ ,
在 中,
由勾股定理得 ,
∴ ,
解得 ,
∴ ,
∴ .
故答案为: .
17.3
【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题,直角三角形的性质,角平分线的性质,解
答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线
答案第8页,共2页段和的最小值.作 ,垂足为 ,交 于 点,过 点作 ,垂足为
,则 为所求的最小值,再根据 是 的平分线可知 ,再
含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.
【详解】解:如图,作 ,垂足为 ,交 于 点,过 点作 ,垂
足为 ,则 为所求的最小值.
是 的平分线,
,
是点 到直线 的最短距离(垂线段最短),
,
.
的最小值是 ,
故答案为: .
18.
【分析】本题考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字
的变化类,根据面积的变化找出变化规律“ ”是解题的关键.根据题意求出
面积标记为 的正方形的边长,得到 ,同理求出 ,得到规律,根据规律解答.
【详解】解:
答案第9页,共2页∵ 是等腰直角三角形,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍,
∵正方形 的边长为2,
,
∴面积标记为 的正方形边长为 ,
则 ,
面积标记为 的正方形边长为 ,
则 ,
面积标记为 的正方形的边长为 ,
则 ,
……,
,
则 的值为: ,
故答案为: .
答案第10页,共2页19.(1)
(2) ,
【分析】(1)先把特殊角的三角函数值代入,并计算零指数幂和负整数指数幂,进行开方
运算,再算加减即可;
(2)先根据分式混合运算法则进行化简,然后求出不等式的解集,得出正整数 的值,再
代入数据计算即可.
【详解】解:(1)原式
;
(2)
,
是使不等式 成立的正整数,
且 为正整数,
,2,3,
又 , ,
,3, ,
,
当 时,原式 .
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算,特殊角的三角函数值,分式化简求值,分式有
答案第11页,共2页意义的条件,解不等式,解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则,准确计算.
20.(1)参加调查的总人数为180人,补充条形统计图见解析
(2)
(3)500人
(4)
【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算,利用列表法求概率,掌握由样本百分比估
算总体数量的方法,圆心角的计算方法,列表法是解题的关键.
(1)根据C组的人数与占比计算求解调查总人数,由此得到B组人数,即可补全条形图;
(2)根据圆心角的计算方法求解即可;
(3)根据样本百分比估算总体数量即可求解;
(4)列出表格,利用概率公式进行计算即可.
【详解】(1)解:调查总人数为: (人);
选择B人数为: (人);
答:参加调查的总人数为180人,
补全条形图如下,
(2)解: ,
答:B部分扇形所对应的圆心角为 ;
(3)解: (人),
答:若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人.
(4)由题意,列表如下:
答案第12页,共2页, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
共12种等可能的结果,其中,恰好选中项目A和D的结果有2种,
∴ .
21.(1)见解析
(2)3
【分析】(1)连接 ,先根据等腰三角形的性质可得 ,再根据圆周角定理可得
,从而可得 ,然后根据圆的切线的判定定理即可得证;
(2)设 ,则 , ,再根据相似三角形的判定证
出 ,然后根据相似三角形的性质求出 的值,由此即可得出答案.
【详解】(1)证明:如图,连接 ,
,
,
是 的直径,
,
,
,
,即 ,
,
又 是 的半径,
答案第13页,共2页是 的切线.
(2)解:∵ ,
设 ,则 ,
∴ , ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,即 ,
解得 ,
∴ .
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识
点,熟练掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题关键.
22.(1)一次函数解析式为 ,反比例函数解析式为
(2) 或
(3)点C坐标为 或
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求解析,三角形面积
等.
(1)由待定系数法求解即可;
(2)根据图象即可求得;
(3)设 与 轴交于点 ,得出 ,设 ,则 ,然后根据
三角形面积公式建立方程,解方程,即可求得 的坐标.
【详解】(1)解:一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A和
,点A的横坐标为2
∴将 代入 ,
则 ,
答案第14页,共2页∴反比例函数解析式为: ,
∴将 代入 ,
则 ,
∴ ,
将 , 代入 ,
则 ,
解得:
∴一次函数解析式为: ;
(2)解:∵ ,
∴观察图象,当 时, 的取值范围是 或 ;
(3)解:设 与 轴交于点 ,
当 时,
∴
∴ ,
答案第15页,共2页设 ,
∴
∵ 的面积为18,
∴
∴ ,
∴ ,即
解得: 或
∴点C坐标为 或 .
23.(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元;
(2)4种
【分析】本题考查分式方程的实际应用,一元一次不等式的实际应用,正确的列出分式方
程和一元一次不等式组,是解题的关键:
(1)设B款玩偶的单价是 元,根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个,A
款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍,列出方程进行求解即可;
(2)设购进 款玩偶 个,根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍,且
总金额不超过1100元,列出不等式组,求出整数解,即可.
【详解】(1)解:设B款玩偶的单价是 元,由题意,得:
,
解得: ,
经检验, 是原方程的解,且符合题意;
∴ ;
答:A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元;
(2)设购进 款玩偶 个,则购进 款玩偶 个,由题意,得:
,
答案第16页,共2页解得: ,
∵ 为整数,
∴ ,
∴ ,
故共有4种方案.
24.(1) ;理由见解析
(2) ;理由见解析
(3) ;理由见解析
【分析】本题考查旋转的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练运用“半
角模型”,正确作出辅助线是解题的关键.
(1)由旋转的性质和正方形的性质,先证E,B,C三线共线.再证 ,进
而证明 ,推出 ,可得 .
(2)在 上取 ,连接 .依次证明 ,
,可得 .
(3)将 绕点A逆时针旋转 得 ,先证E,D,C三点共线,由(1)同理可
得 ,进而可得 .
【详解】(1)解: .理由如下:
由旋转的性质,可知 , , , ,
∴ ,
∴E,B,C三线共线.
∵ ,
∴ .
在 和 中, ,
∴ ,
答案第17页,共2页∴ .
∵ ,
∴ .
(2)解: .理由如下:
如图,在 上取 ,连接 .
∵ , ,
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ .
在 和 中, ,
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
(3)解: .理由如下:
如图,将 绕点A逆时针旋转 得 ,
答案第18页,共2页∴ .
∵ ,
∴ ,
∴E,D,C三点共线.
由(1)同理可得 ,
∴ .
25.(1)
(2)
(3) 或
【分析】(1)设抛物线的解析式为 ,把 代入解析式,解方程求出
的值即可;
(2)设 ,则 ,表示出四边形 的周长,根据二
次函数的最值即可求解;
(3)过C作 垂直抛物线对称轴于H,过N作 轴于K,证明
,再求解 ,求出直线 的解析式为 ,得到
,设 ,求出 ,
答案第19页,共2页, ,分两种情况:
①当 时,②当 时,建立方程求解即可.
【详解】(1)解:∵抛物线与x轴交于 , 两点,
设抛物线的解析式为 ,
把 代入解析式,得 ,
解得: ,
∴抛物线的解析式为: ,即 ;
(2)解:∵抛物线的解析式为: ,
∴抛物线图象的对称轴为: ,
设 ,
∵ 轴,
∴ ,
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作
轴,
∴四边形 是矩形,
∴四边形 的周长
,
∵ ,
∴当 时,四边形 的周长最大,则 ,
∴当四边形 的周长最大时,点D的坐标为 ;
(3)解:过C作 垂直抛物线对称轴于H,过N作 轴于K,
答案第20页,共2页∴ ,
由翻折得 ,
∵ .
∴ ,
∴ ,
∵ 对称轴于H,
∴ 轴,
∴ ,
∴ ,
∴ ,即 ,
∴ ,
∴ ,
∵抛物线的解析式为: ,
∴对称轴为 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设直线 的解析式为 ,
答案第21页,共2页∴ ,
解得: ,
∴直线 的解析式为: ,
将 代入 ,则 ,
∴ ,
设 ,
∴ , ,
,
分两种情况:
①当 时, ,
∴ ,
解得: ,
∴ ;
②当 时, ,
∴
解得: ,
答案第22页,共2页∴点 的坐标为 ;
综上,所有符合条件的点P的坐标为 或 .
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式,二次函数与坐标轴的交点
坐标问题,二次函数的性质,对称轴的性质,二次函数与直角三角形,勾股定理的应用,
清晰的分类讨论是解本题的关键.
答案第23页,共2页