文档内容
扬州市 2025 年初中毕业升学考试
数学注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9
题～第88题，其20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试
结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写
在试卷及答题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是
否相符．
4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改
动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色
墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四
个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡
相应位置上）
1．下列温度中，比 低的温度是（ ）
A． B． C． D．
2．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之
美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页3．下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据更稳定
4．关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
5．如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．在如图的房屋人字梁架中， ，点 在 上，下列条件不能说明
的是（ ）
A． B． C． D． 平分
7．如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凸透镜折射后，折射光线 ，
交于主光轴上一点 ，若 ， ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共3页8．已知 ，则一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，
请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心
广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．
将数据30000用科学记数法表示为 ．
10．分解因式： ．
11．计算： ．
12．若 ，则代数式 的值是 ．
13．若多边形的每个内角都是 ，则这个多边形的边数为 ．
14．如图，点 ， ， 在 上， ，则 ．
15．如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 在线段 的
延长线上，且 ，若 ， ，则 的长是 ．
16．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗
士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统
试卷第3页，共3页数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，
12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数
为 ．
17．如图1，棱长为 的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高
度 ．将此正方体放在坡角为 的斜坡上，此时水面 恰好与点 齐平，
其主视图如图2所示，则 ．
18．如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上的动点，将
沿直线 翻折得到 ，过点 作 ，垂足为 ，点 是线段
上一点，且 ．当点 从点 运动到点 时，点 运动的路径长是 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1) ；
(2) ．
试卷第4页，共3页20．解不等式组 ，并写出它的所有负整数解．
21．为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评
委的评分情况如下（单位：分）．
表1评委评分数据
评委 评委评分
小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9
小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8
表2评委评分数据分析
选手 平均数 中位数 众数
小红 7
小丽 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表2中 ______， ______， ______；
(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．
22．为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类
活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学
生只能选择其中一种体育活动．
(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的
概率．
23．某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书
签价格是乙款书签价格的 倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购
买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
试卷第5页，共3页24．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数
的图象交于点 ， ．
(1)求反比例函数、一次函数的表达式；
(2)求 的面积．
25．如图，在 中，对角线 的垂直平分线与边 ， 分别相交于点
， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ， 平分 ，求 的长．
26．材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴
来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材
料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
试卷第6页，共3页材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成
球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相
接触点（点 或点 ）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的
就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字
母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变
弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度 和底面圆的半径 ，
求出 的度数，进而求出接触角 的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角 与 之间的数量关系（用等式表示），并
说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与 相关的量描述外，还可以
用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而
如何变化．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象（记为 ）与
轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，二次函数 的图象（记为 ）经
过点 ， ．直线 与两个图象 ， 分别交于点 ， ，与 轴交于点 ．
试卷第7页，共3页(1)求 ， 的值．
(2)当点 在线段 上时，求 的最大值．
(3)设点 ， 到直线 的距离分别为 ， ．当 时，对应的 值有
______个；当 时，对应的 值有______个；当 时，对应的 值有
______个；当 时，对应的 值有______个．
28．问题：如图1，点 为正方形 内一个动点，过点 作 ，
，矩形 的面积是矩形 面积的2倍，探索 的度数随点
运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅
用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中 ______ ；
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中 ，
， ，求此图形中 的度数；
【一般化探索】
（3）利用图1，探索上述问题中 的度数随点 运动的变化情况，并说明
理由．
试卷第8页，共3页试卷第9页，共3页1．A
【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比 小的数即可．
【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知 ，
所以比 低的温度是 ．
故选： ．
2．C
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平
面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
3．B
【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．
根据相关知识点进行判断即可．
【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；
B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；
C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题
意；
D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当 时，
方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式 ，即可判断方程根的情况．
【详解】解： ，
答案第1页，共2页∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点 表示的数为 ，根据点在数轴上的
位置，判断出 的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点 表示的数为 ，由图可知： ，
∵ ，即： ，故选项A不符合题意；
∵ ，即： ，故选项B不符合题意；
∵ ，即： ，故选项C符合题意；
∵ ，即： ，故选项D不符合题意；
故选C．
6．B
【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可．
【详解】解：当 时，
∵点 在 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故选项A不符合题意；
∵ ，
∴ ，不能得到 ；故选项B符合题意；
∵ ，
∴当 或 平分 时， ；故选项C，D均不符合题意；
故选B
7．C
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出 的度数，
再根据角的和差关系和对顶角相等，求出 的度数即可．
答案第2页，共2页【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C
8．D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先
根据 可得 ，从而可得 ，再可得 ，
然后根据一次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
9．
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成 的形式，其中 ， 为
整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定 的
值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
根据科学记数法的定义即可得．
答案第3页，共2页【详解】解： ，
故答案为： ．
10．
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十
字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11． ##
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号
内的分式减法，再计算分式的除法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
12．1
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将 变形
为 ，再将 变形为 ，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
13．9
【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于
是解题关键．先求出这个多边形的每个外角都是 ，再根据多边形的外角和等于 求
解即可得．
答案第4页，共2页【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是 ，
∴这个多边形的每个外角都是 ，
∴这个多边形的边数为 ，
故答案为：9．
14．40
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
先根据圆周角定理可得 ，再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：∵点 在 上， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：40．
15．6
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟
练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得 ，
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，然后根据
求解即可得．
【详解】解：∵在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
16．
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇
数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为
答案第5页，共2页，则第3个数为 ，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为 ，则第3个数为
，
由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ；
∴第⑤组勾股数为 ；
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等
知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长 ，交直线 于点 ，设 ，则
，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得 的值，再根据平
行线的性质可得 ，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长 ，交直线 于点 ，
由题意得： ，
设 ，则 ，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为 的斜坡上，容器里水的体积不变；
且放在坡角为 的斜坡上时，水的体积等于长为 、宽为 、高为 的长方体
的体积与长为 、宽为 、高为 的长方体的体积的一半之和，
∴ ，
解得 ，
答案第6页，共2页即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．
【分析】分点 在矩形内部和点 在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点 在矩形内
部时，作 ，交 于点 ，证明 ，进而得到 ，进而
得到点 在以 为直径的圆上运动，得到当点 从点 开始运动直至点 落在 上时，
点 的运动轨迹为半圆 ，当点 在矩形外部时，同法可得，点 在以 为直径的圆上，
得到当点 运动到点 时，点 的运动轨迹是圆心角为 的 ，求出两段路径的和即可
得出结果．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
当点 在矩形内部时，作 ，交 于点 ，则： ，
答案第7页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上运动，
∴当点 从点 开始运动直至点 落在 上时，点 的运动轨迹为半圆 ，
∴点 的运动路径长为： ；
当点 在矩形 的外部时，作 ，交 的延长线于点 ，
同法可得： ， ，
∴ ，点 在以 为直径的 上运动，连接 ，
当点 运动到点 时，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
答案第8页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹为圆心角为 的 ，路径长为 ，
∴点 的运动路径总长为： ；
故答案为：
【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，
求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点 的运动轨迹，是解
题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌
握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根
式的混合运算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
20．不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别
答案第9页，共2页求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有
负整数解即可得．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为 ．
21．(1) ；7；8
(2)小丽的成绩较好，理由见解析
【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，熟知平均数，中位数和众数的定义是解
题的关键．
（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可；
（2）两人平均成绩相同，而小丽的中位数和众数大，据此可得结论．
【详解】（1）解：由题意得， ；
把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，
∴小红的10位评委的评分的中位数为 分，即 ；
∵小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多，
∴小丽的10位评委的评分的众数为8，即 ；
（2）解：小丽的成绩较好，理由如下：
从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于
小红的中位数和众数，故小丽的成绩较好．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的
关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概
答案第10页，共2页率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳
绳，D．踢毽子，
∴选中“乒乓球”的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活
动的结果数有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是 ．
23．乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设乙款书签价格为 （元），则甲款书签价格为 （元），根据“用100元购买甲款书签
的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可．
【详解】解：设乙款书签价格为 （元），则甲款书签价格为 （元），
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为 （元）
答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．
24．(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为
(2)8
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的
答案第11页，共2页应用是解题关键．
（1）将点 代入可得反比例函数的解析式，再求出点 的坐标，然后利用待定系数
法求出一次函数的解析式即可得；
（2）设一次函数的图象与 轴的交点为点 ，先求出点 的坐标，再根据 的面积等
于 与 的面积之和即可得．
【详解】（1）解：由题意得：将点 代入 得： ，
所以反比例函数的表达式为 ；
将点 代入 可得： ，
∴ ，
将点 ， 代入 得： ，解得 ，
所以一次函数的表达式为 ．
（2）解：如图，设一次函数的图象与 轴的交点为点 ，
将 代入一次函数 得： ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）已得： ， ，
∴ 的 边上的高为 ， 的 边上的高为 ，
答案第12页，共2页∴ 的面积为 ．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明 得到 ，根据 得到 ，
那么可得四边形 是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到 ，即可证
明其为菱形；
（2）根据菱形的性质结合已知条件证明 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵对角线 的垂直平分线是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ，
答案第13页，共2页∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运
用是解题的关键．
26．（1）图见解析（2）变强（3） ，理由见解析（4）见解析（答案不唯
一）
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判
定和性质，是解题的关键．
（1）圆弧上取一点 ，交界面与圆弧的交点为 ，连接 ，分别作 的中
垂线，交于点 ，则点 为圆弧的圆心，连接 ，过点 作 ，则 为圆
的切线， 即为所求；
（2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
（3）连接 ，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，
得到 ，进而得到 即可；
（4）可以根据 ，进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作
答即可．
【详解】解：（1）①圆弧上取一点 ，交界面与圆弧的交点为 ，连接 ；
②分别作 的中垂线，交于点 ，则点 为圆弧的圆心；
③连接 ，过点 作 ，则 为圆 的切线，故 即为所求；
答案第14页，共2页（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；
故答案为：变强；
（3） ，理由如下：
连接 ，则： ，
∴ ，
∵ 为切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（4）∵水滴弧的长度为： ，
∴ ，
∴可以根据 的大小，进行判断， 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯
一）．
答案第15页，共2页27．(1) ，
(2)
(3)2，0，4，无数
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解
析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先求出抛物线 与坐标轴的交点坐标，再将 代入 ，解
方程组即可求解；
（2）表示出 ， ，则
，再利用二次函数的性质求解
最值即可；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，即直线 与直线 交
于点 ，可求直线 表达式为 ，则 ，表示出 ，
，可得 均为等腰直角三角形，则 ，
，然后分别计算每一种情况即可．
【详解】（1）解：对于二次函数 ，当 时， ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵二次函数 的图象（记为 ）经过点 ，
答案第16页，共2页∴ ，
解得：
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴二次函数 解析式为 ，
∵直线 与 轴垂直，
∴ ， ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值为 ；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，即直线 与
直线 交于点 ，
∵ ，
设直线 表达式为： ，
答案第17页，共2页代入点 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 表达式为 ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 均为等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
同理可得 ，
∴当 时， ，
整理得： ，
答案第18页，共2页∴ 或 ，
对于 ， ；
对于 ， ，
∴当 时，对应的t值有2个；
当 时， ，方程无解，
∴对应的t值有0个；
当 时，
整理得： ，
∴ 或 ，
对于方程 ， ，
对于方程 ， ，
∴当 时，对应的t值有4个；
当 时，
∵ ， ，
∴ 始终成立，
∴当 且 时， 始终成立，
∴当 时，对应的t值有无数个，
故答案为：2，0，4，无数．
28．（1）作图见解析，45；（2） ；（3）随点 的运动， 的度数不变，
且为
【分析】（1）连接 与格线的交点记为 ，先确定点 为格点，然后由勾股
定理以及逆定理证明 为等腰直角三角形，即可求解 的度数；
答案第19页，共2页（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，先证明 ，则
， ，那么 ，可得四边形 是矩
形，四边形 为矩形，求出 ，由勾股定理得 ，
则 ，那么 ，则 ，即可求解 ；
（3）延长 至点 ，使得 ，连接 ，同理 ，同（2）
可得四边形 是矩形，四边形 为矩形，设正方形的边长为 ，
，则 ， ，
由 ，得到 ，在 中，由勾股定理得
，求出 ，则 ，再同（2）
即可．
【详解】解：（1）如图， 即为所求：
连接 与格线的交点记为 ，
由网格可得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
答案第20页，共2页∴ 为格点，同理 为格点，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ；
故答案为：45；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
同理可得四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 和 中，
答案第21页，共2页，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）随点 的运动， 的度数不变，且为 ，理由如下：
延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
同（2）可得四边形 是矩形，四边形 为矩形，
设正方形的边长为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答案第22页，共2页∴ ，
整理得 ，
∵在 中， ，
∴
，
∴ （舍负），
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，
正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题
的关键．
答案第23页，共2页
