文档内容
凉山州 2025 年初中学业水平暨高中阶段学校数学招生考试
试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹
签字笔填写在答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘
贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫
米黑色墨迹签字笔书写在答题卡对应题目标号的答题区域内，超出答题区域书
写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，由监考教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回．
本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟，全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ
卷．
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中只
有一项是正确的）
1． 的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．2025年“五一”假期，西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题，推出一系列文化旅游体验活
动．据相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客 万人次，将数据
万用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
试卷第1页，共3页C． D．
4．以下字母是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同
6．如图， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，
若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（
试卷第2页，共3页）条对角线
A．6 B．7 C．8 D．9
9．若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
11．如图， ，点E在 上， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为 ，且图像经过点 ，
则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若 且 ，则
试卷第3页，共3页D．若 两点都在抛物线 的图像上，则
第Ⅱ卷 非选择题（共102分）
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．数据0， ，2， ，2，3的中位数是 ．
14．若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
15．如图，将周长为20的 沿 方向平移2个单位长度得 ，连接 ，则四
边形 的周长为 ．
16．若关于x的分式方程 无解，则 ．
17．如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点O，E是边 的中点，过点E
作 于点 于点G，若 ，则 的长为 ．
18．如图， 内接于 ，若 ，则 的长为 ．
试卷第4页，共3页三、解答题（共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
19．计算：
20．（1）解不等式： ；
（2）先化简，再求值： ，求值时请在 内取一个使原式有意
义的x（x为整数）．
21．某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”
为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其
他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的总人数是_______人；
(2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度；
(3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用
列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
22．某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线
试卷第5页，共3页恰好平行于地面， 米， ．（参考数据：
，
结果精确到1米）
(1)求直吊臂 的长；
(2)如图2，直吊臂 与 的长度保持不变， 绕点O逆时针旋转，当 时，
货物M上升了多少米？
23．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图像，直接写出不等式 的解集为________；
(3)在x轴上找一点C，使 的周长最小，并求出最小值．
24．如图1， 是 的直径， 与 相切于点A，连接 交 于点C，连接 ，
则 ，理由如下：
试卷第6页，共3页是 的直径，
，
，
与 相切于点A，
，
，
，
．
(1)小明根据以上结论，自主探究发现：如图2，当 是非直径的弦，而其他条件不变时，
仍然成立，请说明理由；
(2)小明进一步探究发现：如图3，线段 与线段 存在如下关系： ．
请你替小明证一证；
(3)拓展应用：如图4， 是 的内接三角形， ， ， 的
延长线与过点A的切线相交于P，若 的半径为1，请你利用小明的探究结论求 的长．
25．如图，二次函数 的图像经过 三点．
试卷第7页，共3页(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线 下方的抛物线上运动，求点P到直线 的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线 ，若射线 绕点Q逆时针旋转 与抛物线交
于点D，是否存在点Q使 ？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．
试卷第8页，共3页1．D
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可
得答案．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中
，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的
绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解
即可得到答案．
【详解】解： 万 ，
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计
算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个字母中，只有字母“ ”是轴对称图形，
故选：B．
5．A
答案第1页，共2页【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从
左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此结合图形画出对应的三视图即可得到
答案．
【详解】解：该几何体的三视图如下所示：
∴主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同，
故选：A
6．B
【分析】本题考查平行线的性质，过点 作 ，易得 ，根据平行线
的性质，进行求解即可．过拐点作平行线，是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
7．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产
答案第2页，共2页钢铁 吨，则三月份生产钢铁 吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨
列出方程即可得到答案．
【详解】解：设月平均增长率为x，
由题意得， ，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多
边形的边数为 ， 边形的内角和为 ，外角和为 ，从 边形的一个顶点出
发可以引 条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出
的值即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，
由题意得， ，
解得 ，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引 条对角线，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质
进行化简，先根据非负性，得到关于 的二元一次方程组，两个方程相减后求出 的
值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关
键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，得： ，
答案第3页，共2页∴ 的平方根是 ；
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，
互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当
时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可
判断D．
【详解】解；A、若 ，则 ，原说法错误，不符合题意；
B、若 ，则 ，原说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；
D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
11．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先
证明 ，再利用 可证明 得到 ，利用三角形内
角和定理可证明 ，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出
答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
如图所示，设 交于O，
答案第4页，共2页∵ ， ，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
12．D
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信
息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与 轴交于正半轴，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ， ，故选项A，B正确，不符合题意；
∵ 且 ，
∴ ，
∴ 和 关于对称轴 对称，
∴ ；故选项C正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若 两点都在抛物线 的图像上，
∵ ，
答案第5页，共2页∴ ；故选项D错误，符合题意；
故选D．
13．1
【分析】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数要把数据
按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．牢记找中
位数方法是做出本题的关键．
根据中位数的定义即可求解．
【详解】解：将这一组数据从小到大排列为： ， ，0，2，2，3，
∴中位数为： ，
故答案为：1．
14．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则
被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到 ，再求解即可．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
∴m的取值范围是 ，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键．
根据平移的性质可得 、 ，然后求出四边形 的周长等于
的周长与 、 的和，再求解即可．
【详解】解： 沿 方向平移 个单位长度得到 ，
， ，
四边形 的周长
的周长
答案第6页，共2页．
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本
题的关键．
根据题意，解分式方程，得到 ，由题意得到原方程无解，故 是原方程的
增根，由 ，得到 ，由此得到答案．
【详解】解： ，
去分母：方程两边同时乘以 ，得：
，
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由 ， ，
，
，
故答案为： ．
17．5
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，
连接 ，由菱形对角线互相垂直平分可得 ，则可由勾股定理求
出 ，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，最后证明四边形
是矩形，即可得到 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
答案第7页，共2页∵四边形 是菱形，对角线 相交于点O，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵E是边 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接 ，根据三角形的内角和定
理，求出 的度数，圆周角定理求出 的度数，易得 为等腰直角三角形，进
而求出 的长，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
在 中， ，
答案第8页，共2页∴ ，
∵ 内接于 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故答案为： ．
19．
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，掌握运算法则，正确计算
是解题的关键．
分别计算零指数幂和负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行加减
计算即可．
【详解】解：
．
20．（1） ；（2） ；当 时，值为 ；当 时，值为
【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式
的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解；
（2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到
，再选择合适的整数代入求值即可．
【详解】（1）解： ，
，
答案第9页，共2页，
解得： ，
∴原不等式的解集为： ；
（2）解：
，
∵分式有意义，
∴ ，
∴ 或 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
21．(1)50
(2)图见解析，
(3)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率，求扇形统计图中圆心角
度数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用 类人数除以所占的比例求出总人数即可；
（2）求出 类人数，补全条形图，用360度乘以C类人数所占的比例求出圆心角的度数即
可；
（3）根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
答案第10页，共2页【详解】（1）解： （人）；
故答案为：50；
（2） 类人数为： （人）；补全条形图如图：
C类所对应的扇形的圆心角为 ；
故答案为： ；
（3）由题意，画出树状图如下：
共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴ ．
22．(1)直吊臂 的长为10米
(2)上升了5米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理
解题意，构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据 ，即可解 ，即可求解；
（2）记旋转后的点 的对应点为 ，延长 交 于点 ，过点 作
于点 ，可得四边形 为矩形，则 米，在 中，由
求出 ，再由 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∵ ， 米，
∴在 中， （米），
答案第11页，共2页答：直吊臂 的长为10米；
（2）解：记旋转后的点 的对应点为 ，延长 交 于点 ，过点 作
于点 ，则 ，
由题意得： 米， 米，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ 米，
在 中， 米，
∴ （米），
∴货物 上升了5米．
23．(1) ；
(2)
(3)当点C的坐标为 时， 的周长有最小值，最小值为
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短
路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比
例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函
数解析式即可；
（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即
可得到答案；
（3）作点B关于x轴的对称点D，连接 ，则 ，由轴对称的性
质可得 ；由两点距离计算公式可得 ，则可推出 的周长
答案第12页，共2页，根据 ，可推出当A、C、D三点共线时， 有最
小值，即此时 的周长有最小值，最小值为 ，利用两点距离计算公式可得
，则 的周长的最小值为 ；求出直线 解析式为 ，在
中，当 时， ，则 ．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过 ，
∴ ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
在 中，当 时， ，
∴ ，
∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数 的图象在反比例函数 的
图象上方时自变量的取值范围为 ，
∴不等式 的解集为 ；
答案第13页，共2页（3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接 ，则 ，
由轴对称的性质可得 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴当 有最小值时， 的周长有最小值，
∵ ，
∴当 有最小值时， 的周长有最小值，
∵ ，
∴当A、C、D三点共线时， 有最小值，即此时 的周长有最小值，最小值为
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ；
设直线 解析式为 ，则 ，
∴ ，
答案第14页，共2页∴直线 解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ；
综上所述，当点C的坐标为 时， 的周长有最小值，最小值为 ．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，由切线的性质可推出 ，则
，由等边对等角可得 ，则由三角形内角和定理可得
，则 ，由圆周角定理得到 ，则
；
（2）根据（1）所求可证明 ，由相似三角形的性质可得 ，则
；
（3）由圆周角定理可得 ，由勾股定理得 ；求出 ，
则可证明 是等边三角形，可得 ，由切线的性质可推出
，则可得到 ，由圆周角定理得到 ，则
，进一步可得 ，则 ，即可得到 ；设 ，
则 ，由（2）可得 ，则 ，解方程即可得
到答案．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
答案第15页，共2页∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明；由（1）可得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为1，
∴
在 中，由勾股定理得 ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
答案第16页，共2页∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 的延长线与过点A的切线相交于P，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
由（2）可得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，
等边三角形的性质与判定等等，熟知切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
25．(1)
答案第17页，共2页(2)
(3)存在点Q使 ，此时点Q的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线 的解析式为 ；过点P作 轴交 于E，连接 ，
设 ，则 ，可得 ；根据
，可得 ，则当 有最大值是， 有最大值，可求出
的最大值为 ；求出 ，设点P到直线 的距离为h，根据三角形面积计
算公式可得 ，则当 有最大值时，h有最大值，据此可求出答案；
（3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，
根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D
在抛物线上构造方程求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图像经过 三点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
答案第18页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
如图所示，过点P作 轴交 于E，连接 ，
设 ，则 ，
∴ ；
∵ ，
∴
，
∴当 有最大值是， 有最大值，
答案第19页，共2页∵ ， ，
∴当 ，即 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值为 ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
设点P到直线 的距离为h，
∴ ，
∴ ，
∵当 有最大值时，h有最大值，
∴h的最大值为 ，
∴点P到直线 的最大距离为 ；
（3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作
交直线 于G，
答案第20页，共2页∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
设点Q的坐标为 ，则 ；
由旋转的性质可得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ，
∵点D在抛物线上，
答案第21页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴此时点 的坐标为 ；
如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作 轴，分别过点A，点D作直线 的
垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为 ，
∴ ；
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ，
∵点D在抛物线上，
答案第22页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴此时点 的坐标为 ；
综上所述，存在点Q使 ，此时点Q的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形
的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到 的距离的最大值转换成求 的
面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形．
答案第23页，共2页
