文档内容
重庆市 2025 年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成：
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为
．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，
都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题
卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．6的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
2．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
4．如图，点A，B，C在 上， ， 的度数是（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③
个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个
数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
6．反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
7．下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
8．某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游
客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形 的边长为2，点E是 边的中点，连接 ，将 沿直线
翻折到正方形 所在的平面内，得 ，延长 交 于点G． 和
的平分线 相交于点H，连接 ，则 的面积为（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
10．已知整式 ，其中 为自然数， ， ， ，…， 为正
整数，且 ．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当 时，满足条件的所有整式M的和为 ；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3
个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直
接填在答题卡中对应的横线上．
11．不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸
出1个球，则摸出红球的概率是 ．
12．如图， ，直线 分别与 交于点E，F．若 ，则 的度数是
．
13．若 为正整数，且满足 ，则 ．
14．若实数x，y同时满足 ， ，则 的值为 ．
15．如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ．以 为边作菱形 ，
交 于点F， ，垂足为G．连接 ，交 于点H，连接 ．若 ，
，则 的长度为 ， 的长度为 ．
试卷第3页，共3页16．我们规定：一个四位数 ，若满足 ，则称这个四位数为“十全
数”．例如：四位数1928，因为 ，所以1928是“十全数”．按照这个规定，
最小的“十全数”是 ：一个“十全数” ，将其千位数字与个位数字调
换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数 ，记 ，
．若 与 均是整数，则满足条件的M的值是
．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给
出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过
程书写在答题卡中对应的位置上．
17．求不等式组： 的所有整数解．
18．学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种
作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下
作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在 的边 上任取一点E，并过点E作了 的垂线（如图）．请你利用尺规作
试卷第4页，共3页图，在 边上截取 ，过点F作 的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线
即为 的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明： ， ，
．
在 和 中，
，
．
③ ．
平分 ．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须
给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答
过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取 名学生的竞赛成绩
（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于 分，用 表示，共分
四组： ． ； ． ； ． ； ． ），下面给出了
部分信息：
七年级 名学生竞赛成绩在 组中的数据是： ， ， ， ， ， ， ．
八年级 名学生竞赛成绩是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ．
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
七年 八年
年级
级 级
平均
试卷第5页，共3页数
中位
数
众数
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 __________， __________， __________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说
明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有学生 人，八年级有学生 人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛
成绩不低于 分的学生人数共是多少？
20．先化简，再求值： ，其中
．
21．列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的
数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量
多100个．
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的
数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前
每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400
个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
22．如图，点 为矩形 的对角线AC的中点， ， ， ， 是 上的点
（ ， 均不与 ， 重合），且 ，连接 ， ．用 表示线段 的长度，
点 与点 的距离为 ．矩形 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，
．
试卷第6页，共3页(1)请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性
质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不
超过 ）．
23．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，
A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向
10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西 方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处
巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西 方向上．（参考数据： ，
， ， ）
(1)求 的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿 往C处进行巡视，乙无人机速度为甲
无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无
人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
试卷第7页，共3页24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A， 两点，与
轴交于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线 下方抛物线上的一动点，连接 与射线 交于点Q，点D，E为抛物
线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且 ，连接 ， ．当 取得最大
值时，求点P的坐标及 的最小值；
(3)在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移 个
单位长度得到抛物线 ，点M为点P的对应点，点N为抛物线 上的一动点．若
，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的
其中一种情况的过程．
25．在 中， ，点D是 边上一点（不与端点重合），连接 ．将线段
绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图1， ， ，求 的度数；
试卷第8页，共3页(2)如图2， ， ，过点 作 ， 交 的延长线于 ，
连接 ．点 是 的中点，点 是 的中点，连接 ， ．用等式表示线段
与 的数量关系并证明：
(3)如图3， ， ， ，连接 ， ．点 从点 移动到点 过程
中，将 绕点 逆时针旋转 得线段 ，连接 ，作 交 的延长线于点
．当 取最小值时，在直线 上取一点 ，连接 ，将 沿 所在直线翻折到
所在的平面内，得 ，连接 ， ， ，当 取最大值时，请直接写出
的面积．
试卷第9页，共3页1．A
【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可
求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
【详解】解：6的相反数是 ．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个
图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直
线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意
义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合
抽样调查，故本选项不合题意；
B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题
意；
C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题
意；
D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题
意．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，
熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
答案第1页，共2页．
故选：B．
5．C
【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图
案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆
点的个数，代入 计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字
变化规律．
【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第 个图案中有 个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是 个，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即
可．
【详解】解：反比例函数 的 ，
点 所在的反比例函数的 ，
反比例函数 的图象一定经过的点是 ，
故选：D．
7．D
【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再
进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识．
【详解】解： ， ， ，
答案第2页，共2页，
，
，
∴四个数中，最大的是 ，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,
利用该景区2024年接待游客人次数 该景区2022年接待游客人次数 该景区这两年接
待游客的年平均增长率 ，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可
得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设年平均增长率为x，
可得方程 ，
解得 或 （舍去负值），
所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为 ，
故选：B
9．A
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线
的性质，连接 ，证明 ，可得 ，设 ，则
，根据勾股定理可得 ，再利用角平分线的性质得到点 到
的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程
解得 是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
答案第3页，共2页， 四边形 是正方形，
， ，
点E是 边的中点，
,
将 沿直线 翻折得 ，
， ,
，
，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理可得 ,
即 ，
解得 ，
，
和 的平分线 相交于点H，
点 到 的距离相等，
，
故选：A．
10．C
答案第4页，共2页【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对 进行分类讨论，即可求
解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
【详解】解：当 时， ，
当 ， 时，整式M为 ，
当 时，整式M不可能为单项式，
当 时，
， ，…， 为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当 时， ，
当 时， ，
则 中有一个可能为 ，故会有三种情况，对应的整式M为 ， ，
，
当 时， ，
则 故会有一种情况，对应的整式M为 ，
当 时， ，与 ， ，…， 为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为 ，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故 ，
答案第5页，共2页当 时， ，
则有 两种，
， ，
两种都满足条件，
当 时， ，
则有 一种，
，
满足条件，
当 时， ，与 ， ，…， 为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是 个，
故选：C．
11．
【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是 ，其中 表示事件A发生的概
率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：袋子里一共有 个球，红球有1个．
∴摸出红球的概率 ．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可解答，熟知平行线
的性质是解题的关键．
【详解】解： ，
答案第6页，共2页，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算
的取值范围，得出 ，又因为n为正整数，且满足 ，即可得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为正整数，且满足 ，
∴ ，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负
性，得到 ， ，进而得到 ，进而得到关于 的一元一次方程，
求出 的值，进而求出 的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，方程无解，
当 时， ，
∴ ，
答案第7页，共2页∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
15． 3
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，
正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．
由垂径定理以及勾股定理可得 ，即 、 ，由菱形的性质
可得 ，进而得到 、 、 ；如图：连接 ， 由圆
周角定理可得 、 ，再解直角三角形可得 、 ；
由菱形的性质以及平行线的性质可得 ，如图：过H作 于F，解直
角三角形可得 、 ，易得 ，最后运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ， ；
∴
如图：连接 ，
答案第8页，共2页∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ；
，即 ，解得： ；
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ，
如图：过H作 于F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
故答案为：3， ．
16．
【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到 ， ，
然后求出 ， ，即可得到最小的“十全数”是 ；根据题意表示
出 ， ，然后表示出 ，
，然后表示出
答案第9页，共2页， ，然后根据题
意得到 与 均是整数，得到 能被13整除， 能被17整
除，然后由 ， 求出 ，进而求解即可．
【详解】解：设四位数
∵要求最小的“十全数”，
∴ ，
∴ ，
∴最小的“十全数”是 ；
∵一个“十全数” ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵ 与 均是整数
答案第10页，共2页∴ 与 均是整数
∴ 能被13整除， 能被17整除
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 的值可以为13，26，39，52，65
∴依次代入可得，当 ， 时， ， 均是整数，符合题意
∴ ，
∴满足条件的M的值是 ．
故答案为： ， ．
17． ， ，
【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的
关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ；
解不等式②，得： ；
∴不等式组的解集为 ．
所以该不等式组的所有整数解是 ， ， ．
18．第一步：作图见解析；第二步：① ；② ；③
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知
识解决问题．
第一步：根据题意作出图形即可；
第二步：利用 证明 ，得出 即可解答．
【详解】解：第一步：作图如下：
答案第11页，共2页；
第二步：证明： ， ，
．
在 和 中，
，
．
,
平分 ．
19．(1) ， ，
(2)七年级成绩较好，理由见解析（答案不唯一）
(3) 人
【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇
形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．
（1）利用扇形统计图即可求出 组和 组的人数，再利用中位数定义和 组数据即可求出
，再利用众数定义即可求出 ，最后利用扇形和 组人数即可求出 ；
（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；
（3）利用样本估计总体进行求解即可．
【详解】（1）解：七年级 名学生竞赛成绩在 组中的数据有 （人），在
组中的数据有 （人），
∵七年级竞赛成绩的中位数 是数据从小到排列后的第 和 个数据，且数据从小到排列
后的第 和 个数据是 ， ，
∴ ，
∵八年级 名学生竞赛成绩中出现次数最多的是 ，
∴ ，
答案第12页，共2页∵七年级 名学生竞赛成绩在 组中的数据共 个，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天
知识竞赛的成绩的平均数相同都是 ，但七年级竞赛的成绩的中位数 大于八年级竞赛的
成绩的中位数 ，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞
赛的成绩的平均数相同都是 ，但八年级竞赛的成绩的众数 大于七年级竞赛的成绩的众
数 ，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好；
（3）解： （人），
即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于 分的学生人数共是 人．
20． ，原式=
【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项
式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出 的值，再把
的值代入化简后的式子中进行计算即可．
【详解】解：原式
；
∵ ，
∴原式 ．
答案第13页，共2页21．(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为 个，乙文创产品数量是 个
(2)每天乙文创产品增加的数量是 个
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程
是解题的关键．
（1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可；
（2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是 个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400
个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可．
【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为
个．
，
解得： ，
则甲文创产品数量为 个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是 个，则甲文创产品数量为 个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是 个，则甲文创产品增加的数量是 个．
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是 个．
22．(1) ，
(2)作图见解析，性质：当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增
大而增大（不唯一）；当 时， 随 的增大而减小
(3) （或 或 或 或 ）
【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比
例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问
题的相关线段是解题的关键．
答案第14页，共2页（1）利用矩形性质和勾股定理得出 ， ，分两部分：①当
时；②当 时，分别列出 ；过点 作 于点 ，利用等面积法
求出 ，即可表示出 的面积为 ，同理可得
的面积为 ，再结合矩形 的面积为与 ，即可列出 ；
（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；
（3）根据图象写出 的图象在 下方时对应的自变量 的取值范围即可
【详解】（1）解：∵ 为矩形 的对角线AC的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，如图，
∴ ；
当 时， ，如图，
∴ ；
答案第15页，共2页∴ ；
如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
同理可得 的面积为 ，
又∵矩形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作图如下：
性质：当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大（不唯
一）；当 时， 随 的增大而减小；
答案第16页，共2页（3）解：结合函数图象，可得 时 的取值范围为 （或 <或
或 或 ）．
23．(1) 千米
(2) 千米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线
构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点A作 于E，过点B作 于F，由题意得， ，解
得到 千米， 千米，证明四边形 是矩形， 得到
千米， 千米，得到 千米，再利用勾股定理
即可求出 的长；
（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足 千米．过点M作
于T，由题意得， ，解 得到 千米，
千米，则 千米，设 千米，则 千米，
千米，解 得到 千米， 千米，则
千米，由勾股定理得 ，解方程即可得到答
案。
【详解】（1）解：如图所示，过点A作 于E，过点B作 于F，
∴ ，
答案第17页，共2页由题意得， ，
在 中， 千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ 千米，
答： 的长度约为 千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足 千米．
过点M作 于T，
由题意得， ，
在 中， 千米，
千米，
∴ 千米，
设 千米，则 千米， 千米，
在 中， 千米，
答案第18页，共2页千米，
∴ 千米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （此时大于 的长，舍去），
∴ 千米，
答：甲无人机飞离B处 千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
24．(1)
(2)点P的坐标为 ， 的最小值为
(3)点N的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求出直线 的解析式，然后设点P的坐标为 ，过点P作 轴交
于点F，交x轴于点H，点F的坐标为 ，求出 长，再证明 ，
根据对应边成比例求出 的最小值，把点P向上平移 个单位长度得到点 ，点 的坐
标为 ，连接 ，即可得到 ，连接 ，则 ，是最小值，利
用勾股定理计算解题；
（3）根据平移得到抛物线 的解析式，然后过点P作 轴于点Q，过点N作
轴于点K，连接 ，即可得到 ，设点N的坐标为
答案第19页，共2页，根据 列等式求出a的值即可解题．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：令 ，则 ，
∴点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 和 代入得：
，解得 ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，过点P作 轴交 于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值为 ，这时点P的坐标为 ，
把点P向上平移 个单位长度得到点 ，点 的坐标为 ，连接 ，
答案第20页，共2页则四边形 是平行四边形，
∴ ，
即 ，
由A，B关于 对称性可得点A的坐标为 ，
连接 ，则 的最小值为 长，
即 ，
即 的最小值为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度即为向左平移两个单位长度，
向下平移两个单位长度得到抛物线 ，即 ，
过点P作 轴于点Q，过点N作 轴于点K，连接 ，
设点N的坐标为 ，
由平移得 ，
∴ ，
如图所示，∵ ，
即 ，解得 （舍去）或 ，
答案第21页，共2页这时点N的坐标为 ；
如图所示，则∵ ，
即 ，解得 或 （舍去），
这时点N的坐标为 ；
综上所述，点N的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的
最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解
答的关键．
25．(1)
答案第22页，共2页(2) ，理由见解析.
(3)
【分析】（1）利用 ， ，得出 是等边三角形，得出
．由旋转得 ，则可求出 ，再利用外角即可求解；
（2）连接 ， ，利用 ， ，得 ，证明
，得 ， ，得出
，再证明 ，得出 ，可
得 ， ，再通过点 是 的中点，和点 是 的中点，证明
， ，通过证明 是等腰直角三角形，即可得出；
（3）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，通过证明 ，得
出 ，由点 为固定点， ，得点 在过点 且垂直于 的
直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当 取最小值时，即 垂直于点 运动轨迹
的直线，即点 和点 重合时， 最小， 此时，由翻折可知 ，则点 的轨迹为
以点 为圆心， 为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当 、 、 依次共
线时， 取最大值，此时，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点
，证明 ，得出 ， ，通过证明
，得出 ， ，再计算出 ，
，即可求出 ，则 ，通过 ，
求出 ， 可求出 ，则利用 即可求
出．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
答案第23页，共2页∴ ．
由旋转得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
如图，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
由旋转知 ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点， ，
答案第24页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ；
（3）解：取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
由旋转知 ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
答案第25页，共2页∴ ，
由点 为固定点， ，得点 在过点 且垂直于 的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当 取最小值时，即 垂直于点 运动轨迹的直线，
即点 和点 重合时， 最小，
此时如图，
由翻折可知 ，
∴点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当 、 、 依次共线时， 取最大值，
此时如图，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
由旋转知 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第26页，共2页∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
答案第27页，共2页∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判
定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含 角
的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的
关键．
答案第28页，共2页
