文档内容
函数的图象与零点
学习目标
1.掌握函数零点的概念，熟练掌握并使用零点存在性定理；
2.掌握数形结合的数学思想，学会结合函数性质与草图进行分析；
3.掌握函数的三个重要问题转换.
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
函数的图像 19(54.3%)
函数的图像与零点 山东&海南2020-10
函数的零点 16(45.7%)
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质
试卷.
高频考点
1.图象分析问题，需要结合函数性质等；
2.零点个数与参数范围问题。
难点
1.图象分析中的赋值估算；
2.复合函数零点问题。
易错点
1.定义域与值域的分析；
2.零点的估算与分析，赋值的估算；
3.复合函数的问题转换容易混淆。
一、 函数图象变换
1. 平移变换
12. 对称变换
3. 翻折变换
4. 伸缩变换
2经典例题
1. 函数 在 的图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：运用数形结合思想，巩固函数性质与图象的关系．
（2）本题关键的解题步骤：去掉绝对值，进行分类讨论．
（3）本题的易错点：单调性的判断不准确，要结合求导来计算．
（4）本题需要注意的地方以及难点：对称性可以结合奇偶性判断．
【答案】D
【解析】方法一： ，排除 ，
，排除 ，
时， ，
，当 时， ，
因此 在 单调递减，排除 ，
故选 ．
方法二：当 时， ， ． 在 上只有一个零
点 ，
且当 时， ；
3当 时， ．
故 在 上先减后增，又 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
【素养】数学运算；逻辑推理
巩固练习
2. 函数 的图象大致是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 为偶函数，
故排除 ， 选项；
又因为 ，
所以排除 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
3. 函数 的图象大致为（ ）．
A. B.
4C. D.
【答案】D
【解析】 、 项：当 时， ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
的定义域为 且当 时， ．
故 、 错误．
、 项：设当 （ ）时，有 ，
∴ ，
即 与 轴有无数个交点，
故 错误，
且 项图符合 ， ，故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
4. 若函数 （ 且 ）在 上为减函数，则函数 的图象可以是
（ ）．
A. B.
5y y
x
O x
y y
C. D.
O x
O x
【答案】C
【解析】∵ 在 上单调递减，
∴ ，
时，将函数 向右平移一个单位即可得到 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
5. 知识总结
1.平移变换：
2.对称变换：
3.翻折变换：
4.伸缩变换：
二、 识图与辨图
1. 函数图象的识辨
函数图象的识辨可以从以下几个方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；
(2)从函数的值域，判断函数的上下位置；
(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(4)从函数的奇偶性，判断函数的对称性；
6(5)从函数的周期性，判断函数的循环往复；
(6)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
经典例题
5. 函数 的图象大致为（ ）．
y y
A. B.
x
x O
O
y y
C. D.
x x
O O
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：运用数形结合思想，巩固函数性质与图象的关系．
（2）本题关键的解题步骤：分母不为 ，需要结合三角函数的性质来判断零点个数．
（3）本题的易错点：零点的估算不准确，单调性的判断失误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：对称性可以结合奇偶性判断，可以赋值估算．
【答案】D
【解析】函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除 ；
令 得 ，所以 ， ，
函数的零点有无穷多个，排除C；
函数在 轴右侧的第一个零点为 ，
又函数 为增函数，当 时， ， ，
所以函数 ，排除B．
【标注】【知识点】奇偶性
巩固练习
76. 函数 的大致图象为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 可知， ，
∴函数 为奇函数，故排除 ；
又∵ ， ，
故排除 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
7. 函数 的图象大致为（ ）．
A. B.
F F
1 1
I
1
C. D.
8【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ 为偶函数，故 错误；
∵ ，
，
∴ ，故 错误；
∵ ，
，
∴ ，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】根据奇偶性确定图象；函数图象的识别问题
2. 知识总结
图象问题的常用思路：
(1)从函数的 定义域 ，判断图象的左右位置；
(2)从函数的 值域 ，判断函数的上下位置；
(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(4)从函数的 奇偶性 ，判断函数的 对称性 ；
(5)从函数的周期性，判断函数的循环往复；
(6)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
三、 函数零点问题
1.零点的定义：函数 的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
2.几个等价关系；
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3.函数零点的判断（零点存在性定理）
若函数 在闭区间 上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即
，则在区间 内，函数 至少有一个零点，即相应的方程 在区间
9内至少有一个实数解.
1. 判断零点个数问题
经典例题
8. 函数 的零点个数有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固函数零点问题，明确数形结合在函数中的重要性．
（2）本题关键的解题步骤：把 的零点问题转换为两个函数交点问题，详见解析．
（3）本题的易错点：对数成立的条件需要并在定义域中．
（4）本题需要注意的地方以及难点：单调性的判断需要结合基础函数的单调性性质，也可
以通过求导判断，可两个方面给学生巩固复习．
【答案】C
【解析】由 得 ，即 ，分别作出
与 的图象，如图所示，
两函数图象有两个交点，故函数 有 个零点，
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
9. 设函数 在区间 内有零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固函数零点问题，明确数形结合在函数中的重要性．
（2）本题关键的解题步骤：先判断出函数的单调性，需要结合复合函数单调性，详见解
10析．
（3）本题的易错点：对数成立的条件需要与题目给出范围取交集．
（4）本题需要注意的地方以及难点：运用数形结合的思想来分析参数范围．
【答案】C
【解析】 在 上是减函数，则 ， ，
即 ，选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
巩固练习
10. 函数 在区间 上的零点个数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 的导函数为 ，
当 时， ，
∴ 恒成立，
当 时， ， ，
∴ ，
综上所述， 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∵ ，
，
故 在 上有一个零点，
故选 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；函数零点存在定理；零点的个数问题
11. 已知函数 ，则下列区间中含 零点的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，
11，
∴ ，
∴ 零点所在区间为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】判定函数零点所在区间（存在性定理）
2. 零点个数及参数问题
经典例题
12. 已知函数 ，若函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范
围为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固已知函数零点个数求参数范围，常转化为两个函数
的交点问题．
（2）本题关键的解题步骤：首先把函数 的零点方程写出来，把问题转化为函数 与函
数 的交点问题，当然也可以分为其他形式，可以多种思路分析，详见解析．
（3）本题的易错点：函数图象的分析需要准确，单调性与交点的分析要准确．
（4）本题需要注意的地方以及难点：分析一个交点时的情况，重点分析端点情况．
【答案】
【解析】由题意，可知：
令 ，则 ，
∵函数 有且只有一个；零点，
∴在图象上， 的曲线与直线 有且只有一个交点，
画图如下：
由图，可知：要使 的曲线与直线 有且只有一个交点，
12则直线只能向上平移，即： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
巩固练习
13. 设 为实数，已知函数 ，若函数 在区间 上有两个零点
， ，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出函数 的图象如图所示：
令 ，
可得 ，
即 和 有两个不同的交点，根据图象可知：
，
由 得 ， ，
所以 ，
构造函数 ， ，
由于 ， ， ，
所以 时， 单调递增，
所以 ，
所以 在 时单调递增，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
1314. 已知函数 有且只有四个零点，若这四个零点中的最大值为 ，
则 ．
【答案】
【解析】函数 有且只有四个零点等价于 与
有且只有四个交点，
与 的图象如下：
根据图象可知： 与 在 处必相切，
、由 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
【标注】
14【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；函数零点的概念；导数的几
何意义的实际应用；导数的几何意义
3. 复合函数的零点问题
经典例题
，
15.
已知函数 若方程 有 个不等的实根，则
，
实数 的取值集合为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固复合函数的零点问题，常用换元法．
（2）本题关键的解题步骤：首先 把函数 的草图做出，重点分析单调性、奇偶性与零
点等，详见解析．
（3）本题的易错点：复合函数的换元后的情况，需要分析清楚新元与旧元的关系，以及方
程中的问题转换．
（4）本题需要注意的地方以及难点：复合函数中，数形结合思想的重复分析．
【答案】
【解析】令 ，
方程 ，
得 ， ， 根据 的图象得：
y
x
O
①当 时，即 ，此时 符合题意．
② 解得 ， 的取值集合为 ．
．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
巩固练习
1516. 已知函数 ， ，若函数 有 个不同的零点 ，
， ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
令 ，解得 ，
当 时，函数 ，函数 单调递减，
当 时，函数 ，函数 单调递增，
∴ 的极小值为 ，
∵ ，
令 ，
∴ ，
即 ，解得方程两根为 和 ，
函数 的零点即方程 和 根，
∴函数 有 个不同的零点需满足：
当 时， 且 ，
∴ ；
当 时， 且 ，
∴ ，
综上： 的范围为 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；求零点和或积的范围
4. 知识总结
1.零点的定义：函数 的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
2.几个等价关系；
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3.函数零点的判断（零点存在性定理）
若函数 在闭区间 上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即
，则在区间 内，函数 至少有 一个 零点，即相应的方程 在区间
16内至少有一个 实数解 .
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
出门测
（1）出门测目的是检测学生本讲学习效果；
（2）时间控制在15分钟以内．
17.
函数 的大致图象为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
17【解析】
∵ ，且定义域为 ，
∴ 为偶函数，排除 ；
∵ ，
∴排除 ；
∵ ，而 ，
∴ ，排除 ．
故选： ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
18. 方程 的实根所在的区间为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ，在定义域上连续且单调递增，
，
，
故 ，
故 所在区间是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】判定函数零点所在区间（存在性定理）；函数零点存在定理
19. 已知定义在 上的函数 对任意实数 满足 ， ，且
时， ，则下列说法中，正确的是（ ）．
A. 是 的周期 B. 不是 图象的对称轴
C. D. 方程 只有 个实根
【答案】AC
【解析】A 选项：因为定义在 上的函数 对任意实数 满足 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
故 项正确．
18B 选项：因为 ，
所以 关于直线 对称，
又 是周期函数，周期为 ，
所以 关于直线 对称，
故 项错误．
C 选项： ，
故 项正确．
D 选项：在同一坐标系中分别作出函数 与 的图象，如图所示：
由图象可知两函数图象共有 个不同的交点，
则方程 有 个实根，
故 项错误．
故选 A C .
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；利用函数周期性
求函数值；周期性的概念及直接判断周期；一个函数的自对称问题
20. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若函数
有且仅有三个零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
，
【解析】∵ 是定义在 上偶函数，且 时， ，
，
∴ 的大致图像为：
19∴ 有且仅有 个零点，
即为函数 与 有 个交点，
当 时，
与 在 只有 个交点，
根据图像可知，
与 在 上要有 个不同交点，
即 在 上有 个不同交点，
设 ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，在 递减，
且 时， 恒成立，
∴ ，
当 时，
根据图象可知，
OOO
与 在 只有一个交点，在 有 个不同交点，
∴ 在 有 个不同交点，
令 ，
∵ 是偶函数，
∴ ，
∴ 在 上是奇函数，
∴ 在 上与 有 个交点时，
20，
综上： ，
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；根据奇偶性确定
图象；求参数范围（含参指对型导函数）
21. 已知函数 ，下列是关于函数 的零点个数的 个判断，其中
正确的是( )
A. 当 时，有 个零点 B. 当 时，有 个零点
C. 当 时，有 个零点 D. 当 时，有 个零点
【答案】CD
【解析】解：由 ，得 ，
设 ，则方程 等价为 ，
①若 ，作出函数 的图象如图：
，
此时方程 有两个根其中 ， ，
由 ，知此时 有两个解，
由 知此时 有两个解，
此时共有 个解，即函数 有 个零点．
②若 ，作出函数 的图象如图：
，
此时方程 有一个根 ，其中 ，
由 知此时 只有 个解，
即函数 有 个零点．
故选：CD．
21【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
22
