几何手册精编_高中三年全科资料_高中_2高中9科分类资料包_2高中数学

明天的你会感激现在奋斗的你 经典模型 系列手册 模型一：手拉手模型—全等 等边三角形 D O D O C E E C A B A B 条件： OAB , OCD 均为等边三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB  60 ③ OE 平分 AED （易忘） D O O E C E A B A B 温故而知新 ~ 1 ~ 熟能生巧 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 等腰 RT D C D O O E C E A B A B 条件： OAB ,OCD 均为等腰直角三角形 结论：① OAC≌OBD ;② AEB  90 ③ OE 平分 AED （易忘） O E 导角核心图形 A B 滴水穿石 ~ 2 ~ 锲而不舍 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 经典模型系列手册 任意等腰三角形 D D O O C C E A B A B 条件： OAB , OCD 均为等腰三角形 且 AOB  COD 结论：① OAC≌OBD ;② AEB  AOB ③ OE 平分 AED （易忘） 模型总结：核心图形如右图，核心条件如下： ① OA  OB ， OC  OD ② AOB  COD 温故而知新 ~ 3 ~ 熟能生巧 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 模型二：手拉手模型—相似 O O C D D C A B A B 条件： CD∥AB ，将 OCD 旋转至右图位置 结论：右图 OCD∽OAB  OAC∽OBD 且延长 AC 交 BD 与点 E 必有 BEC  BOA 非常重要的结论，必须会熟练证明 滴水穿石 ~ 4 ~ 锲而不舍 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 经典模型系列手册 手拉手相似（特殊情况） D O O C D E C A B A B 当 AOB  90 时， 除 OCD∽OAB  OAC∽OBD 之外 BD OD OB 还会隐藏    tanOCD AC OC OA 满足 BD  AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有 AD  BC 2  AB 2  CD 2 2 1 SABCD  2 AC  BD （对角线互相垂直四边形） 温故而知新 ~ 5 ~ 熟能生巧 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 模型三：对角互补模型 （全等型—90°） A A M C C D D N O E B O E B 条件：① AOB  DCE 90 ② OC 平分 AOB 结论：① CD  CE ；② OD  OE  2OC 1 ③ SODCE  SOCD  SOCE  2 OC 2 辅助线之一：作垂直，证明 CDM≌CEN 滴水穿石 ~ 6 ~ 锲而不舍 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 经典模型系列手册 A C D O E B F 条件：① AOB  DCE 90 ② OC 平分 AOB 结论：① CD  CE ；② OD  OE  2OC 1 ③ SODCE  SOCD  SOCE  2 OC 2 辅助线之二：过点 C 作 CF  OC 证明 ODC≌FEC 温故而知新 ~ 7 ~ 熟能生巧 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 A M C N E B O D 以上三个结论：（辅助线之一） ① CD  CE 不变 ② OE OD  2OC （重点） 1 ③ SOCE  SOCD  2 OC2 （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 滴水穿石 ~ 8 ~ 锲而不舍 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 经典模型系列手册 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 A C E B O F D 以上三个结论：（辅助线之二） ① CD  CE 不变 ② OE OD  2OC （重点） 1 ③ SOCE  SOCD  2 OC2 （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 温故而知新 ~ 9 ~ 熟能生巧 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 A C D O E B 细节变化：若将条件“ OC 平分 AOB ”与结 论“ CD  CE ”互换 条件：① AOB  DCE 90 ② CD  CE 结论：① OC 平分 AOB ； ② OD  OE  2OC 1 ③ SODCE  SOCD  SOCE  2 OC 2 滴水穿石 ~ 10 ~ 锲而不舍 初数教学团队精编经典模型系列手册 （全等型—120°） 明天的你会感激现在奋斗的你 A C D O E B 条件：① AOB  2DCE 120 ② OC 平分 AOB 结论：① CD  CE ；② OD  OE OC 3 ③ SODCE  SOCD  SOCE  4 OC 2 请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 11 ~ 熟能生巧辅助线之二：在 OB 上取一点 F ，使 OF OC 明天的你会感激现在奋斗的你 证明 OCF 为等边三角形（重要） A C D O E F B 结论：① CD  CE ；② OD  OE OC 3 ③ SODCE  SOCD  SOCE  4 OC 2 必须熟练，自己独立完成证明 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 12 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 明天的你会感激现在奋斗的你 C A E O F B D 以上三个结论：（辅助线之二） ①____________________ ②_______________________（重点） ③________________________（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 13 ~ 熟能生巧（全等型—任意角  ） 明天的你会感激现在奋斗的你 A D C O E B 条件：① AOB  2 ,DCE 180  2 ② CD  CE 结论：① OC 平分 AOB ； ② OD  OE  2OC cos ③ SODCE  SOCD  SOCE  OC2 难度较大，记得经常复习 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 14 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 明天的你会感激现在奋斗的你 A C B O E D 以上三个结论：（辅助线之二） ①____________________ ②_______________________（重点） ③________________________（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 请思考初始条件的变化，对模型的影响 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 15 ~ 熟能生巧（对角互补模型--相似型） 明天的你会感激现在奋斗的你 A A D D C C M O E B O E N B 如图，若将条件“ OC 平分 AOB ”去掉 条 件 ： ① AOB  DCE 90 不 变 ， C O E ，结论中三个条件又该如何变化？ 结论：① CE  CD ； ② (OD E)cos OC ③ S 1 OCD 2 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 16 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 A 明天的你D会 感激现在奋 C 斗 的你 O E F B 证明：过点 C 作 CF  OC ，交 OB 于点 F ∵ DCE  OCF 90 ∴ DCO  ECF ∵ AOB  DCE 180 ∴ CDO  CEO 180 ∴ CDO  CEF ∴ CDO∽CEF EF CE CF ∴  初数教学 团队精 t编a n （关键步） DO CD CO 温故而知新 ~ 17 ~ 熟能生巧∴结论①得证 明天的你会感激现在奋斗的你 ∴ EF OD ∵ (OE  EF) C ∴结论②得证 S ∴ CEF  ( CF )  tan 2  SCDO CO 2 ∴ SCEF  SCDO ∵ S OCE  S CEF  S OCF 1 且 SOCF  2 OC 2 ∴结论③得证 难度非常大，请仔细认真复习 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 18 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 对角互补模型总结： 明天的你会感激现在奋斗的你 ①常见初始条件：四边形对角互补 两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线 ②初始条件：角平分线与两边相等的区别 ③常见两种辅助线的作法 ④注意下图中“ OC 平分 AOB ” A C D O E B CDE  CED  COA COB 相 等 是 如 何推导 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 19 ~ 熟能生巧角含半角模型(90°) 明天的你会感激现在奋斗的你 A D A D F F B C C E G B E 条件：①正方形 ABCD ；② EAF  45 结论：① EF  DF  BE ② CEF 周长为正方形 ABCD 周长一半 也可以这样： 条件：①正方形 ABCD ；② EF  DF  BE 结论：① EAF  45 口诀：角含半角要旋转 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 20 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 角含半角模型(90°) 明天的你会感激现在奋斗的你 A D C E B F 条件：①正方形 ABCD ；② EAF  45 结论：① EF  DF  BE 辅助线： A D A D C C E B E B F F 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 21 ~ 熟能生巧角含半角模型(90°) 明天的你会感激现在奋斗的你 A A F B D E C B D E C 条件：①等腰直角 ABC ；② DAE  45 结论： BD 2  CE 2  DE 2 若 DAE 旋转到 ABC 外部时 F A A D B E C D B E C 结论： BD 2  CE 2  DE2 仍然成立 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 22 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 角含半角模型(90°)变形 明天的你会感激现在奋斗的你 A D D H A H F F G G B C B C E E 条件：① EAF  45 ; 结论： AHE 为等腰直角三角形（重点/难点） 证明：连接 AC （方法不唯一） ∵ DAC  EAF  45 ,∴ DAH  CAE ∵ ADH  ACE  45 ,∴ ADH∽ACE DA AC ∴  ∴ AHE∽ADC AH AE 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 23 ~ 熟能生巧倍长中线类模型 明天的你会感激现在奋斗的你 A D A D F F B C E H B E H 条件：①矩形 ABCD ；② BD  BE ③ DF  EF 结论： AF  CF 模型提取： ①有平行线 AD∥BE ②平行线间线段有中点 DF  EF 可以构造 8字全等 ADF≌HEF 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 24 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 倍长中线类模型 明天的你会感激现在奋斗的你 F A M D A M D E E C B C B 条件：①平行四边形； ABCD ② BC  2AB ； ③ AM  DM ；④ CE  AD 结论： EMD 3MEA 辅助线:有平行 AB∥CD ，有中点 AM  DM 延长 EM ，构造 AME≌DMF ，连接 CM 构 造等腰 EMC ,MCF 通过构造 8字全等线段数量及位置关系，角的大 小转化 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 25 ~ 熟能生巧相似三角形 360度旋转模型（倍长中线法） 明天的你会感激现在奋斗的你 C C G D F D F A B A B E E 条件：① ADE 、 ABC 均为等腰直角 ② EF  CF 结论：① DF  BF ；② DF  BF 辅助线：延长 DF 到点 G ，使 FG  DF ，连 接 CG 、 BG 、 BD 证明 BDG 为等腰直角 突破点： ABD≌CBG 难点：证明 BAD  BCG 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 26 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 相似三角形 360度旋转模型（补全法） 明天的你会感激现在奋斗的你 C C G F F D D B A B A E E H 条件：① ADE 、 ABC 均为等腰直角 ② EF  CF 结论：① DF  BF ；② DF  BF 辅助线：构造等腰直角 AEG 、 AHC 辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EH 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 27 ~ 熟能生巧任意相似直角三角形 360度旋转模型 明天的你会感激现在奋斗的你 （补全法） H O G O A D A D B E C B E C 条件：① OAB∽ODC ② OAB  ODC 90 ；③ BE  CE 结论：① AE  DE ；② AED  2ABO 辅助线：延长 BA 到点 G ，使 AG AB ，延长 CD 到点 H 使 DH  CD ，补全 OGB 、 OCH 构造旋转模型，转化 AE 与 DE 到 CG 与 BH ，难点在转化 AED 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 28 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 任意相似直角三角形 360度旋转模型（倍长法） 明天的你会感激现在奋斗的你 O O A D A D B B E C E C M 条件：① OAB∽ODC ② OAB  ODC 90；③BECE 结论：① AE  DE ；② AED  2ABO 辅助线：延长 DE 至 M ，使 ME DE ，将结 论的两个条件转化为证明 AMD∽ABO ，此 为难点，将 AMD∽ ABO继续转化为证明 ABM∽ AOD,使用两边成比且夹角等 此处难点在证明 ABM  AOD 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 29 ~ 熟能生巧最短路程模型之一（将军饮马类） 明天的你会感激现在奋斗的你 l A A' 1 PA+PB B P A B l 2 P l Q B' B' PA+PQ+BQ A A' A B A' P l 1 l l 2 P Q Q AP+PQ+QB B' AP+PQ+QB \ B 总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 30 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 最短路程模型之二（点到直线类） 明天的你会感激现在奋斗的你 A A H P C Q' P 垂线段最短 O Q M B 条件：如右图① OC 平分 AOB ② M 为 OB 上一定点 ③ P 为 OC 上动点 ④ Q 为 OB 上动点 求： MP  PQ 最小时， P 、 Q 的位置 辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q' ，转化 PQ'  PQ ，过点 M 作 MH OA MP  PA MP  PQ' MH （垂线段最短） 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 31 ~ 熟能生巧最短路程模型之二（点到直线类） 明天的你会感激现在奋斗的你 l l A 定点 A 所求点 P 动点 Q 定点 P B B C 条件：如图，点 A 、 B 为定点， P 为动点 1 问题：点 P 在何处， BP  AP 最短 2 结论：以 A 为顶点作 PAC 30 ，过点 P 作 1 PQ  AC ，转化 PQ  AP ,过点 B 作 AC 2 的垂线与 AP 的交点为所求（垂线段最短） 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 32 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 最短路程模型之二（点到直线类） 明天的你会感激现在奋斗的你 l l A 定点 A 所求点 P 动点 Q 定点 P B B C 条件：如图，点 A 、 B 为定点， P 为动点 2 问题：点 P 在何处， BP  AP 最短 2 结论：以 A 为顶点作 PAC  45 ，过点 P 作 1 PQ  AC ，转化 PQ  AP ,过点 B 作 AC 2 的垂线与 AP 的交点为所求 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 33 ~ 熟能生巧最短路程模型之二（点到直线类） 明天的你会感激现在奋斗的你 y y A A P P D E B O x B O C x 条件： A(0,4) 、 B(2,0) ， P(0,n) 5 问题： n 为何值时， PB  PA 值最小 5 5 结论：① x 上取点 C(2,0) ，使nsiOAC  5 ②过点 B 作 BD  AC ，交y轴于点 E 为所求 1 ③ tanEBO  tan初O数A教C学 团 队精，编即 E(0,1) 2 滴水穿石 ~ 34 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 明天的你会感激现在奋斗的你 B 最大值位置 A O 最小值位置 条件：①线段 OA  4 ,OB  2 (OA  OB) ② OB 绕点 O 在平面内 360 旋转 问题： AB 的最大值，最小值分别为多少？ 结论：以点 O 为圆心， OB 为半径作圆，如图 所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边” 最大值： OA  OB ；最小值： OA  OB 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 35 ~ 熟能生巧最短路程模型之三（旋转类最值模型） 明天的你会感激现在奋斗的你 B C A O P 条件：①线段 OA  4 ,OB  2 ②以点 O 为圆心， OB ， OC 为半径作圆 ③点 P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点 问题： 若 PA 的最大值为 10 ，则 OC  6 若 PA 的最小值为 1 ，则 OC  3 若 PA 的最小值为 2 ，则 PC 的取值范围是 0  PC  2 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 36 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 明天的你会感激现在奋斗的你 C C P B P A O B A O 条件：① RtOBC ， OBC 30 ② OC  2 ;③ OA 1 ；④点 P 为 BC 上动点 （可与端点重合）；⑤ OBC 绕点 O 旋转 结论： PA 最大值为 OA  OB 1 2 3 1 PA 最小值为 OB  OA  3 1 2 如右图,圆的最小半径为 O 到 BC 垂线段长 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 37 ~ 熟能生巧最短路程模型之四（动点在圆上） 明天的你会感激现在奋斗的你 D P E M Q F A O C B 条件：以点 O 为圆心三个圆， OA 、 OD 固定 OP 绕点 O 旋转 问题：点 Q 在什么位置时， EP  MB 最小 辅助线：连接 DQ 、 QC ，当 Q 、 D 、 C 三 点共线时， EP  MB  DQ  QC  DC 最小 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 38 ~ 锲而不舍经典模型系列手册 最短路程模型之四（动点在圆上） 明天的你会感激现在奋斗的你 A D D A M P P B C B N E C 条件：①正方形 ABCD 且边长为 4 ； ② 的半径为 2 ；③ P 为 上动点 问题：求 PD  (PC / 2) 最小值 辅助线:过点 E 作 EM∥PC ，取 BE 中点 N 转化思路：将 PC / 2 转化 ME ，将 ME 转化为 MN ，因此 MD  MN 的最小值为 DN 长度 总结： PC / 2 的比值不是随意给出的，而是圆 的半径 r / BC 初数教学团队精编 温故而知新 ~ 39 ~ 熟能生巧二倍角模型 明天的你会感激现在奋斗的你 A A A' B C B C 条件： ABC 中， B  2C 辅助线：以 BC 的垂直平分线为对称轴，作点 A 的对称点 A' ，连接 AA' 、 BA' 、 CA' 则 BA' 为 ABC 的角平分线， 那么 BA AA' CA' （注意这个结论） 此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助 线作法之一，但并不是唯一作法 初数教学团队精编 滴水穿石 ~ 40 ~ 锲而不舍明天的你会感激现在奋斗的你 经典模型系列手册 相似三角形模型 （基本型） A E D A D E A D E B C B C B C A字型 8字型 A字型 平行类： DE∥BC AD AE DE 结论：   (注意对应边要对应) AB AC BC 模型应用：经常在选择，填空中直接考查，在第 20 题的第二问也经常会考查“ A 字型”“ 8 字 型”相似，建立方程。 温故而知新 ~ 41 ~ 熟能生巧 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 相似三角形模型 （斜交型） A A A A E E E E D C B 斜 交型 D B 斜 交型 C B 斜交型 C B 双 垂型 C 条件：如左面两个图 AED  ACB 90 结论： AE  AB  AC  AD 条件：如右面两个图 ACE  ABC 结论： AC 2  AE  AB 第四个图还存在 AB EC  BC  AC BC 2  BE  BA ,CE 2  BE  AE 滴水穿石 ~ 42 ~ 锲而不舍 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 经典模型系列手册 相似三角形模型 （一线三角型） A A E A E E B C D B C D B C D 条件：左图： ABC  ACE  CDE 90 中图： ABC  ACE  CDE  60 右图： ABC  ACE  CDE  45 结论：所有图形都存在的结论 ① ABC∽CDE ；② AB DE  BC CD 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关 系 温故而知新 ~ 43 ~ 熟能生巧 初数教学团队精编明天的你会感激现在奋斗的你 相似三角形模型 （圆幂定理型） D A A P A P P C C C B B B D 条件：中图， PA 为圆的切线 结论：左图： PA PB  PC  PD 中图： PA2  PC  PB 右图： PA PB  PC  PD 以上结论均可以通过相似三角形进行证明 滴水穿石 ~ 44 ~ 锲而不舍 初数教学团队精编