函数三要素(学生版)_高中三年全科资料_高中_学而思高中数学（暑假衔接）面授升高..高二.高三_学而思高中面授升高三暑假讲义+题集（小一轮）

函数三要素 一、 函数的定义 (一) 函数的定义： 设集合 是一个非空数集，对 中的任意的数 ，按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这 种对应关系叫做集合 上的一个函数．记作 ， 其中 叫做自变量．自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 如果自变量取值 ，则由法则 确定的值 称为函数在 处的函数值，记作 所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域． （二）函数的三要素：定义域，值域，对应法则． （三）函数的表示法： 解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析 式； 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． （四）同一函数：两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 经典例题 1. 若 、 为实数，集合 ， ， 表示把集合 中的元素 映射到集合 中仍为 ，则 为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示同一函数的是：( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 巩固练习 3. 下列集合 到集合 在对应关系 下是函数的是（ ）． A. ， ， 中的数平方 1B. ， ， 中的数平方根 C. ， ， 中的数取倒数 D. ， 正实数 ， 中的数取绝对值 4. 以下各组中两个函数是同一个函数的序号是 ． ① ， ② ， ③ ， ④ ， , ， 1. 知识总结 函数定义 1.函数的定义 2.函数的三要素 3.函数的表示法 4.同一函数 二、 函数的定义域 1. 基本函数的定义域 （1）分式的分母不应为零； （2）零次或负次指数次幂的底数不为零； （3）偶次方根的被开方数大于或者等于零； （4）对数式的真数大于零； （5） 的定义域为 ； （6）应用题中要结合实际情况考查定义域． 经典例题 5. 函数 的定义域为 ． 6. 函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ．若 ，则 的 取值范围是 ． 巩固练习 27. 函数 的定义域是 . 8. 函数 的定义域是 （用区间表示）． 经典例题——定义域综合题型 9. 已知函数 的定义域是 ，则实数 的取值范围为 ． 巩固练习——定义域综合题型 10. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 2. 抽象函数的定义域 抽象函数的定义域：①在同一对应法则 下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号 内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集；②凡是定义域，仅指 的 取值范围． 经典例题 11. 设函数 ，则 的定义域为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习 12. 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）． A. B. C. D. 13. 已知函数 的定义域为[ ， ]，则函数 的定义域为 ． 3. 知识总结 定义域 1.基本函数定义域 （1）分式的分母不应为零； （2）零次或负次指数次幂的底数不为零； （3）偶次方根的被开方数大于或者等于零； （4）对数式的真数大于零； 3（5） 的定义域为 ； （6）应用题中要结合实际情况考查定义域． 2.抽象函数的定义域 （1）在同一对应法则 下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为 函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集； （2）凡是定义域，仅指 的取值范围． 三、 函数的解析式 1. 直接代入法 已知 的解析式，求 的解析式常用此法. 2. 配凑法 已知 的解析式，要求 的解析式时，可从 的解析式中配凑出 ，即把解析式变为关于 的表达式，然后再把解析式两边的 换为 即可． 【补充说明】此时需要注意 本身的 就代表 的定义域． 3. 换元法 已知 的解析式，要求 的解析式时也可以令 ，反解此方程（即用 去表示 ），将解得的 结果带入到解析式中，从而求出 的解析式，再把解析式中的 换为 即可，如上面的 ，令 ，解得 ，带入到等号右边得到 ，再变换自变量 得到 ． 4. 待定系数法 如果已知函数类型，可待定出函数的解析式，再利用条件制造方程（组）求出参数，由此确定函数的解 析式． 5. 消元法 已知 与 满足的关系式，要求 解析式，可用 代替两边所有的 ，得到关于 与 的 方程组，然后类比于二元一次方程组解法，消去 解出 即可．常见的含有 与 ， 与 时，可将原式中的 用 或 代替，从而得到另一个同时含有 与 或 与 的关系式，将两个关系式联立方程组解出 ． 4经典例题 14. 求下列函数解析式． （ 1 ）已知 ，求 ． （ 2 ）已知 ，求 ． （ 3 ）已知 ，求 ． （ 4 ）已知 ，求 ． （ 5 ）已知二次函数 满足 ， ，求 ． （ 6 ）已知 二次函数，且 ，求 ． 15. 已知函数 满足 ，则函数 的解析式为 ． 巩固练习 16. 求下列函数解析式． （ 1 ）已知 ，求 ． （ 2 ）已知 ，求 ． （ 3 ）若 ，求 ． （ 4 ）已知函数 满足 ，则 的解析式为 ． 17. 已知函数 ，则 ． 6. 特殊值法（赋值法） 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值带入，或使这两个变量相等带入，再利用 已知条件，可求出未知的函数．但此处的难点是取什么特殊值才对题目有效，这要根据题目特征而定． 例：对任意实数 、 ，都有 ，求函数 的解析式．可根据题意 令 ，得 ， 再令 ，得 ．得到 ． 经典例题 18. 设 是 上的函数，满足 ，并且对任意实数 ， 有 ，求 的 解析式． 巩固练习 19. 已知函数 对一切实数 ， 都有 成立，且 ． （ 1 ）求 的值． 5（ 2 ）求 的解析式． （ 3 ）若 ，对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的 取值范围． 7. 新定义解析式 经典例题 20. 定义两种运算： ， ，则函数 的解析式为 ． 巩固练习 21. 定义在正整数有序对集合上的函数 满足： ① ．② ．③ ，则 ， ． 经典例题——特殊解析式 22. 已知 ，则 的值为 ． 23. 已知 是定义域为 的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，则 的值为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习——特殊解析式 24. 设函数 ，其中 表示 ， ， 中的最小者，下列说法错误的是 （ ）． A. 函数 是偶函数 B. 若 时，有 C. 若 时，有 D. 若 时，有 25. 已知函数 在定义域 上是单调函数，若对于任意 ，都有 ，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 8. 知识总结 函数解析式 1.直接代入法 2.配凑法 3.换元法 64.待定系数法 5.换元法 6.特殊值法（赋值法） 7.新定义解析式 四、 函数的值域 1. 观察法 有的函数结构不太复杂，可以通过对解析式进行 ，利用一下简单函数的值域间接得到所要求的 函数的值域，比如 的值域是 ． 2. 利用函数单调性 函数性质的运算，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等，利用函数单调性求取函数值域. 经典例题 26. 已知 ，函数 在 上的值域为 ，则 （ ）． A. B. C. D. 巩固练习 27. 已知函数 的定义域是 ，值域是 ，求 ， 的值． 28. 函数 的值域为 ． 29. 求下列下函数值域． （ 3 ） ． 3. 二次函数型 经典例题 30. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是 ． 巩固练习 31. 已知二次函数 开口向上，且满足 恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长 为 的正三角形． 7（ 1 ）求 的解析式． （ 2 ）讨论 在 的最小值． 32. 若函数 的定义域这 ，值域为 ，则实数 的取值集合是（ ）． A. B. C. D. 以上都不对 4. 分离常数 形如 的函数，可采用分离常数的方法，将 变形为 ，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定函数的值域． 5. 判别式法 形如 （ 不同时为 ）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化成关于 的二 次方程 ，利用此方程 求出 的范围． 经典例题 33. 求函数 的值域． 34. 函数 的值域为 ． 巩固练习 35. 计算下列各题： （ 1 ）函数 的值域为 ． （ 2 ）函数 ， 的值域为 ． （ 3 ）函数 ， 的值域为 ． 36. 求下列函数的值域： （ 2 ） ． （ 4 ） ． 6. 换元法 换元是一种十分重要的思想，这里我们再次提到，对于一些解析式并非一次函数二次函数的函数，有的 时候我们运用等价代换可以把函数转换成一个熟悉的函数．这种方法是求解函数值域的一种极重要的方 法． 经典例题 837. 函数 的值域是（ ）． A. B. C. D. 38. 设函数 的值域为 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 39. 若 ，则 的取值范围为 ． 巩固练习 40. 已知 满足不等式 ，求函数 的最大值和最小值． 41. 函数 的最大值为（ ）． A. B. C. D. 42. 函数 的最大值和最小值分别为（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ； 7. 对勾及双氘函数模型 函数 定义域 值域 在 上单调 在 和 上分别 单调性 递增； 单调递增 在 上单调递减 奇偶性 奇函数 奇函数 图像 经典例题 943. 函数 的最小值为（ ）． A. B. C. D. 44. 函数 ， 的值域是 ． 巩固练习 45. 求函数 在 时的最大值及最小值． 46. 已知函数 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ． 8. 数形结合 函数解析式具有某种几何意义，如两点间距离公式、直线斜率等，运用几何法，往往会更加简单，一目 了然。 经典例题 47. 求函数 的值域． 巩固练习 48. 求函数 的最大值． 经典例题——已知值域求参数 49. 已知函数 的值域为 ，求 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习——已知值域求参数 50. 已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 ． 9. 知识总结 值域 1.观察法 2.利用函数单调性 3.二次函数型 4.分离常数 5.判别式法 106.换元法 7.对勾及双氘函数模型 8.数形结合 导图总结 你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！ 出门测 （1）出门测目的是检测学生本讲学习效果； （2）时间控制在15分钟以内． 51. 下图中，能表示函数 的图象的是（ ）． A. B. C. D. 52. 函数 的定义域为（ ）． A. B. 且 C. D. 或 53. 若函数 在 上有意义，则实数 的取值范围是 ． 54. 已知 ，则 的解析式为( ) A. B. C. D. 55. 已知 是一次函数，且满足 ，则函数 的解析式 ． 56. 函数 的值域为（ ）． A. B. 且 C. D. 1112