文档内容
函数三要素
学习目标
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
函数的定义域 6（17.1%）
函数三要素 函数的解析式 与其他知识点联合考查 1（2.9%）
函数的值域 5（14.3%）
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试
卷.
高频考点
1.函数定义域及值域与其他章节知识点联合考察;
2.函数定义域及值域的常规求解方法.
难点
1.求解值域的方法灵活选择
2.含参函数的定义域以及值域问题综合题目
易错点
1.求解定义域时，遗漏条件，尤其是隐含定义域
2.求解值域时，需要注意开闭区间以及换元法等定义域的新限制条件
一、 函数的定义
(一) 函数的定义：
1设集合 是一个非空数集，对 中的任意的数 ，按照确定的法则 ，都有唯一确定的数 与它对应，则这
种对应关系叫做集合 上的一个函数．记作
，
其中 叫做自变量．自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域．
如果自变量取值 ，则由法则 确定的值 称为函数在 处的函数值，记作
所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域．
（二）函数的三要素：定义域，值域，对应法则．
（三）函数的表示法：
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析
式；
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
（四）同一函数：两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
经典例题
1. 若 、 为实数，集合 ， ， 表示把集合 中的元素 映射到集合 中仍为
，则 为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：本题考察函数的概念，题干的中符号表示以及集合的考
察．
（2）本题关键的解题步骤：集合 为定义域，通过 的对应法则，得到集合 中的元
素，另外，需要集合满足元素互异性等限定条件．
（3）本题的易错点：对集合及对应法则、函数的定义理解不深刻导致错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申题型，文字叙述型对应法则，是否能够正确判
断。见巩固练习1．
【答案】B
【解析】由于映射把集合 中的元素 映射到集合 中仍为 ，而 和 都只有 个元素，
故 ，
∴ 且 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选 ．
2【标注】【知识点】映射
2. 下列各组函数表示同一函数的是：( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：本题考察同一函数的的概念．
（2）本题关键的解题步骤：同一函数必须满足定义域相同，并且对应法则相同（需要化简
或转化），从而进行排除可得．
（3）本题的易错点：同一函数的概念理解不深刻，自变量的符号不影响同一函数的判断
等．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申易错或者易混淆的解析式.
【答案】C
【标注】【知识点】相同函数
巩固练习
3. 下列集合 到集合 在对应关系 下是函数的是（ ）．
A. ， ， 中的数平方
B. ， ， 中的数平方根
C. ， ， 中的数取倒数
D. ， 正实数 ， 中的数取绝对值
【答案】A
【解析】对于 ， ， ， 中的数平方，满足条件；
对于 ， ， ， 中的数平方根； 的开方有 或 ，有两个对象，不满足
唯一性；
对于 ， ， ， 中的数取倒数； 没有倒数，不满足 中元素像；
对于 ， ， 正实数 ， 中的数取绝对值， ，则 没有对应元素，不满足条件．
故集合 到集合 在对应关系 下是函数的是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】判定是否为函数；函数的定义
34. 以下各组中两个函数是同一个函数的序号是 ．
① ，
② ，
③ ，
④ ， , ，
【答案】②④
【解析】①定义域不同；
②定义域和对应法则相同；
③定义域不同；
④定义域相同，对应图象相同．
【标注】【知识点】相同函数
1. 知识总结
函数定义
1.函数的定义
2.函数的三要素
3.函数的表示法
4.同一函数
二、 函数的定义域
1. 基本函数的定义域
（1）分式的分母不应为零；
（2）零次或负次指数次幂的底数不为零；
（3）偶次方根的被开方数大于或者等于零；
（4）对数式的真数大于零；
（5） 的定义域为 ；
（6）应用题中要结合实际情况考查定义域．
经典例题
45. 函数 的定义域为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：本题考察多重定义域的限定求解．
（2）本题关键的解题步骤：对数函数及三角函数的定义域双重限定．
（3）本题的易错点：对 函数的定义域记忆错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申多重定义域限定的常见情况，例如既在分母又在
偶次根号下等.
【答案】 ，
【解析】由对数函数定义域可知：
，
，
∴ ， ．
故函数定义域为： ， ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
6. 函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ．若 ，则 的
取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：本题考察含参函数的定义域求解．
（2）本题关键的解题步骤：对函数 的定义域进行求解，涉及到偶次根号，分母以及绝
对值不等式的求解，另外涉及到集合交并补的运算．
（3）本题的易错点：函数的定义域的综合题型，难度提升．
（4）本题需要注意的地方以及难点：可复习绝对值不等式的求解方法.
【答案】
【解析】 ， ． ， ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域；已知定义域求参数的取值范围
巩固练习
7. 函数 的定义域是 .
【答案】 且
【解析】由对数式的意义知： ，且 且 ，解得 且 ，
5故函数的定义域为 且 ，
故答案为： 且 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
8. 函数 的定义域是 （用区间表示）．
【答案】
【解析】
．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
经典例题——定义域综合题型
9. 已知函数 的定义域是 ，则实数 的取值范围为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察已知定义域求解参数范围的题型．伪二次函数恒成
立问题的考察，需要分类讨论.
（2）本题关键的解题步骤：二次项系数是否为 的分类讨论．
（3）本题的易错点：函数的定义域的综合题型，难度提升．
（4）本题需要注意的地方以及难点：可复习二次函数常见题型处理方法.
【答案】
【解析】当 时， ，其定义域是 ．
当 时，由定义域为 可知， 对一切实数 均成立，
于是有
，
解得 ．
综上可知，实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知定义域求参数的取值范围
巩固练习——定义域综合题型
10. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）．
6A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知 对 恒成立，
当 时，解得 ，经检验 符合题意， 不符合题意，舍去；
当 时，解得 或 ，
综上，实数 的取值范围是 ，故选 ．
【标注】【知识点】已知定义域求参数的取值范围
2. 抽象函数的定义域
抽象函数的定义域：①在同一对应法则 下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号
内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集；②凡是定义域，仅指 的
取值范围．
经典例题
11. 设函数 ，则 的定义域为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：本题考察抽象函数的定义域．
（2）本题关键的解题步骤：括号范围内一致，求解新函数定义域．
（3）本题的易错点：对抽象函数的定义域理解存在问题．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，若抽象函数比较复杂或者多重定义域要求时，
需要灵活求解．
【答案】B
【解析】函数 的定义域为： ．
∴ ，解得 ，故 的定义域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求抽象函数的定义域
7巩固练习
12. 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题函数定义域是 ，
则函数 的定义域为 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】复合函数
【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
【素养】数学运算
13. 已知函数 的定义域为[ ， ]，则函数 的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，所以 ，所以 ，所以
，即 ，解得 ．所以函数 的定义域为
．
【标注】【知识点】求抽象函数的定义域
3. 知识总结
定义域
1.基本函数定义域
（1）分式的分母不应为零；
（2）零次或负次指数次幂的底数不为零；
（3）偶次方根的被开方数大于或者等于零；
（4）对数式的真数大于零；
（5） 的定义域为 ；
（6）应用题中要结合实际情况考查定义域．
2.抽象函数的定义域
8（1）在同一对应法则 下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为
函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集；
（2）凡是定义域，仅指 的取值范围．
三、 函数的解析式
1. 直接代入法
已知 的解析式，求 的解析式常用此法.
2. 配凑法
已知 的解析式，要求 的解析式时，可从 的解析式中配凑出 ，即把解析式变为关于
的表达式，然后再把解析式两边的 换为 即可．
【补充说明】此时需要注意 本身的范围（值域）就代表 的定义域．
3. 换元法
已知 的解析式，要求 的解析式时也可以令 ，反解此方程（即用 去表示 ），将解得的
结果带入到解析式中，从而求出 的解析式，再把解析式中的 换为 即可，如上面的
，令 ，解得 ，带入到等号右边得到 ，再变换自变量
得到 ．
4. 待定系数法
如果已知函数类型，可待定出函数的解析式，再利用条件制造方程（组）求出参数，由此确定函数的解
析式．
5. 消元法
已知 与 满足的关系式，要求 解析式，可用 代替两边所有的 ，得到关于 与 的
方程组，然后类比于二元一次方程组解法，消去 解出 即可．常见的含有 与 ，
与 时，可将原式中的 用 或 代替，从而得到另一个同时含有 与 或 与
的关系式，将两个关系式联立方程组解出 ．
经典例题
14. 求下列函数解析式．
9（ 1 ）已知 ，求 ．
（ 2 ）已知 ，求 ．
（ 3 ）已知 ，求 ．
（ 4 ）已知 ，求 ．
（ 5 ）已知二次函数 满足 ， ，求 ．
（ 6 ）已知 二次函数，且 ，求 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对解析式的求解方法进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：此题分别考察直接带入、配凑、换元法、待定系数法的解析式
求解方法．
（3）本题的易错点：换元法以及配凑法的解玺书求解，定义域容易遗漏．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，二次函数的待定系数的几种设法，及利弊．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ， ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ．
（ 2 ） ．
（ 3 ）方法一： ，而 ，故 ．
方法二：令 ，则 且 ，故 ，
∴ ．
（ 4 ）∵
，
又∵ ，
∴ ， ．
（ 5 ）方法一：设为两根式方程：
设 ，
由 ，
故 ．
方法二：设为顶点式方程：
10由题意知， 是 的对称轴，
设 ， ，
故 ．
方法三：设为一般式方程：
设 ，有 ，
解得 ，故 ．
（ 6 ）设 ，则，
，
比较系数得 ， ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】解析法；用配凑法求解析式；用待定系数法求解析式；用直接带入法求解析
式；用换元法求解析式
15. 已知函数 满足 ，则函数 的解析式为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对解析式的消元法进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：将表达式带入 ，得到 与 的另一个关系式，从而与题
干中的表达式构成方程组求解 解析式，完毕．
（3）本题的易错点：未掌握解析式的消元法．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，常见的解析式消元法的模型总结．
【答案】
【解析】在已知等式中，将 换成 ，得 ，与已知方程联立，得
，消去 得， ．
【标注】【知识点】用联立方程组法求解析式；解析法
巩固练习
1116. 求下列函数解析式．
（ 1 ）已知 ，求 ．
（ 2 ）已知 ，求 ．
（ 3 ）若 ，求 ．
（ 4 ）已知函数 满足 ，则 的解析式为 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ， ．
（ 4 ）
【解析】（ 1 ） ．
（ 2 ）方法一：（拼凑法）：
，而 ，故 ．
方法二：（换元法）：
令 ，则 且 ，故 ．
∴ ．
（ 3 ）令 ， ，所以 ， ，
故 ， ．
（ 4 ） ．
【标注】【知识点】解析法；用联立方程组法求解析式；用配凑法求解析式；用换元法求解析
式；用直接带入法求解析式
17. 已知函数 ，则 ．
【答案】
【解析】配凑法：
∵
，
∴ ．
【标注】【知识点】用配凑法求解析式
126. 特殊值法（赋值法）
所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值带入，或使这两个变量相等带入，再利用
已知条件，可求出未知的函数．但此处的难点是取什么特殊值才对题目有效，这要根据题目特征而定．
例：对任意实数 、 ，都有 ，求函数 的解析式．可根据题意
令 ，得 ，
再令 ，得 ．得到 ．
经典例题
18. 设 是 上的函数，满足 ，并且对任意实数 ， 有 ，求 的
解析式．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对解析式的特殊值法进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：根据题干，对 , 赋予特殊值，得到解析式．
（3）本题的易错点：赋值不恰当或者未掌握特殊值法．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，抽象函数的常见题型．
【答案】 ．
【解析】解法 ：由 ， ，令 ，得
．
，即 ．
解法 ：令 ，得 ，即 ．
又令 ，代入上式，得
，
．
【标注】【知识点】解析法；用直接带入法求解析式
巩固练习
19. 已知函数 对一切实数 ， 都有 成立，且 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）求 的解析式．
（ 3 ）若 ，对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的
取值范围．
13【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）令 ， ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）令 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ．
（ 3 ）记 ， ，值域为 ，
， ，值域为 ，
∵对任意的 ，
总存在 使 ，
∴ ，
又∵ 的对称轴 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ， ，
∴ ，
又 ， ，
①当 时， ，
∴ 不合题意；
②当 时， 在 上单调递增，
∴ 又 ，
∴ ，
∴ ；
③当 时， 在 单调递减，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
14综上所述 的取值范围为： 或 ．
【标注】【知识点】解析法；用赋值消元法求解析式；函数的定义；用单调性观察法求值域；集
合关系中的含参问题；不等式中的恒成立与能成立问题
7. 新定义解析式
经典例题
20. 定义两种运算： ， ，则函数 的解析式为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对新定义解析式的求解进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：根据题干，代入即可，得到解析式．
（3）本题的易错点：对新定义的理解偏差．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，得到解析式后的引申题型，例如函数性质，函
数三要素等．
【答案】 ，
【解析】 ， ，
．
又 满足 且 ， ，
（ 或 ）．
【标注】【知识点】用直接带入法求解析式；解析法
巩固练习
21. 定义在正整数有序对集合上的函数 满足：
① ．② ．③ ，则 ，
．
【答案】 ;
【解析】令 ，则由③得 ，
由①得 ，∴ ，
令 ， ，则由③得 ，
∴ ，由②得 ，
15令 ， 则由③得 ，
∴ ，由②得 ，
∴ ．
【标注】【知识点】用直接带入法求解析式；解析法
经典例题——特殊解析式
22. 已知 ，则 的值为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对特殊函数解析式的考察．
（2）本题关键的解题步骤：解析式隐含特征．
（3）本题的易错点：无法看出解析式的特征．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，数列通项公式也有类似题型．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴
．
【标注】【知识点】一个函数的自对称问题
23. 已知 是定义域为 的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对特殊函数解析式的求解考察．
（2）本题关键的解题步骤：复合函数解析式为定值的处理步骤，设定新参数，从而通过赋
值，对函数的解析式进行求解．
（3）本题的易错点：对此类题型未掌握．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，函数性质的综合考察．
【答案】B
【解析】由 ，且 是单调函数可知 必是常数，
设 （ 为常数），
得 ，且 ，
16解得 ，
∴ ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】解析法；用直接带入法求解析式
巩固练习——特殊解析式
24. 设函数 ，其中 表示 ， ， 中的最小者，下列说法错误的是
（ ）．
A. 函数 是偶函数 B. 若 时，有
C. 若 时，有 D. 若 时，有
【答案】D
【解析】A 选项：因为 ，所以函数 图象如图，
由图得函数 是偶函数， 对；
B 选项：
若 时， ，
所以 ； 对；
C 选项：令 ，则 ， ， ，
作图，由图得 ，所以 对；
D 选项：作 图象，如图，
17则 时， 不恒成立， 错．
故选 D .
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；图象法
25. 已知函数 在定义域 上是单调函数，若对于任意 ，都有 ，则
的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 函数 在定义域 上是单调函数，
且 ，
为一个常数，
令这个常数为 ，则有 ，①
，②
由①得 ，③
②代入③，得 ，
解得 ，
因此 ，
所以 ．
【标注】【知识点】用利用函数性质法求解析式
8. 知识总结
函数解析式
1.直接代入法
2.配凑法
3.换元法
4.待定系数法
5.换元法
6.特殊值法（赋值法）
7.新定义解析式
18四、 函数的值域
1. 观察法
有的函数结构不太复杂，可以通过对解析式进行直接观察，利用一下简单函数的值域间接得到所要求的
函数的值域，比如 的值域是 ．
2. 利用函数单调性
函数性质的运算，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等，利用函数单调性求取函数值域.
经典例题
26. 已知 ，函数 在 上的值域为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察值域的观察法及单调性性质．
（2）本题关键的解题步骤：将解析式进行转化后，函数为减函数，从而进行求解.
（3）本题的易错点：对函数隐含的单调性或值域不敏感．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，对数运算等．
【答案】D
【解析】∵ ，
又∵ 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
即 ，①
由函数 与 的图象只有唯一交点可知，方程 只有唯一解，
经校验 是方程组①的唯一解，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；零点、交点、根的等价转化
19巩固练习
27. 已知函数 的定义域是 ，值域是 ，求 ， 的值．
【答案】 ， 或 ， ．
【解析】∵ ，
∴ ，
若 ，
则当 时，
，
当 时，
，
解得： ， ，
若 时，
则当 时，
，
当 时，
，
解得： ， ，
因此： ， 或 ， ．
【标注】【知识点】函数的值域；利用单调性求函数最值
28. 函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】 的定义域为 ，且 恒成立，
则 ，得到 是一个偶函数，
且在 上单调递减，
所以 ， ，
所以 值域为 ．
【标注】【素养】数学运算
【方法】单调性法
【知识点】用单调性观察法求值域
20【思想】函数思想
29. 求下列下函数值域．
（ 3 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
3. 二次函数型
经典例题
30. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察二次函数的值域．
（2）本题关键的解题步骤：利用二次函数的图像进行求解.
（3）本题的易错点：二次函数的值域，需要配方法以及图像相结合进行解题．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，二次函数最值问题，二次函数动轴、动区间问
题．
【答案】
【解析】因为 ，
且 ，值域为 ，
所以 ，即 ．
又 ．则 ，
所以 ．
【标注】【知识点】定轴动区间求值域
21巩固练习
31. 已知二次函数 开口向上，且满足 恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长
为 的正三角形．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）讨论 在 的最小值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ 的对称轴为 ，
∵ 的两个零点和顶点构成边长为 的正三角形，
且 开口向上，
∴ 的两个零点为 ， ，顶点坐标为 ，
设 ，则 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）若 ，则 在 上是增函数，
∴ ，
若 ，即 时，
在 上先减后增，
∴ ，
若 ，即 时，
在 上是减函数，
∴ ，
综上， ．
，
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；用待定系数法求解析式；定轴动区间求值域
32. 若函数 的定义域这 ，值域为 ，则实数 的取值集合是（ ）．
A. B. C. D. 以上都不对
22【答案】D
【解析】 的对称轴为 ，且 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ ，故以上都不对．
故选 ．
【标注】【知识点】定轴动区间求值域
4. 分离常数
形如 的函数，可采用分离常数的方法，将 变形为
，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定函数的值域．
5. 判别式法
形如 （ 不同时为 ）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化成关于 的二
次方程 ，利用此方程判别式 求出 的范围．
经典例题
33. 求函数 的值域．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察值域的分离常数法．
（2）本题关键的解题步骤：将解析式进行分离常数，而后形式进行转化，利用基本不等
式/对勾函数进行求解.
（3）本题的易错点：分离常数的技巧未掌握．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，常见函数（多次/一次）的分离常数的操作
等．
【答案】 ．
【解析】当 时， ，
当 时，
23（均值不等式）．
所以 的值域为 ．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域
【素养】数学运算
34. 函数 的值域为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察值域的判别式法．
（2）本题关键的解题步骤：设 为新参数 ，将解析式整理为关于 的一元二次方程利用
判别式大于等于 ，从而求解 的范围.
（3）本题的易错点：判别式法未掌握．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，此题多种解法，也可用，分离常数法进行求
解．
【答案】
【解析】设
则
而 （*）
则方程（*）有实数根．
①当 ，即 时，可得 ．
②当 时，则
．
解得： ．
∴函数 的值域为 ．
【标注】【知识点】用判别式法求值域
巩固练习
35. 计算下列各题：
（ 1 ）函数 的值域为 ．
（ 2 ）函数 ， 的值域为 ．
24（ 3 ）函数 ， 的值域为 ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
【解析】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ， ， ，
图象：
．
（ 3 ） ，
图象：
，
．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域
36. 求下列函数的值域：
（ 2 ） ．
（ 4 ） ．
25【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ） ． 或 ．
∴ 或
值域： ．
（ 4 ） ，
，
．
，综上 ．
（ 5 ）
．
．值域 ．
【标注】【素养】数学运算
【素养】数学建模
【知识点】用判别式法求值域
【知识点】用分离常数法求值域
【知识点】用换元法求值域
【知识点】利用基本不等式求最值
6. 换元法
26换元是一种十分重要的思想，这里我们再次提到，对于一些解析式并非一次函数二次函数的函数，有的
时候我们运用等价代换可以把函数转换成一个熟悉的函数．这种方法是求解函数值域的一种极重要的方
法．
经典例题
37. 函数 的值域是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对值域中换元法进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：将根号整体设为新变量，函数转化为新变量的函数，以及新定
义域，进行值域求解．
（3）本题的易错点：换元后的定义域．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，常见换元法的应用题型．
【答案】D
【解析】分析题意，可知：
∵ ， ，
则令 ，得， ， ，
∴ ， ，
由二次函数性质可知：
在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ 的值域为 ．
故选： ．
【标注】【知识点】用配方法求值域；用换元法求值域
38. 设函数 的值域为 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对值域中换元法进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：将指数函数 整体设为新变量，函数转化为新变量的函数，以
及新定义域，进行值域求解．
（3）本题的易错点：换元后的定义域．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，常见换元法的应用题型．
【答案】C
27【解析】因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故所求函数的值域 ，
又 ，所以 ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知函数值域求参数
39. 若 ，则 的取值范围为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对值域中换元法进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：先进行消元，而后将三角函数整体设为新变量，函数转化为新
变量的函数，以及新定义域，进行值域求解．
（3）本题的易错点：换元后的定义域．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，常见换元法的应用题型．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ， ，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值 ，即 ，
当 时， 取得最大值 ，
∴ 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】二次函数的图象及性质；类二次三角函数问题
巩固练习
40. 已知 满足不等式 ，求函数 的最大值和最小值．
28【答案】最大值为 ，最小值为 ．
【解析】令 ，则 ，解得 ，
而 ，
将 代入，函数可化为 ，
对称轴为 ，
∴当 时 ，
当 时 ，
∴函数最大值为 ，最小值为 ．
【标注】【知识点】用换元法求值域；对数函数的图象及性质
41. 函数 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式
令 ，则 ，
∴ ，
要求 的最大值，则 ，
∴
．
当且公当 ，即 时，等号成立．
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用；用换元法求值域；二倍角
的正弦；同角三角函数的基本关系式
2942. 函数 的最大值和最小值分别为（ ）．
A. ； B. ； C. ； D. ；
【答案】A
【解析】
， ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，即 时， ，
当 时， ，
∴ 且 ，
∴综上所述， ，
∴ 在 为减函数，在 为增函数，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
故选 ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；用换元法求值域
7. 对勾及双氘函数模型
30函数
定义域
值域
在 上单调
在 和 上分别
单调性 递增；
单调递增
在 上单调递减
奇偶性 奇函数 奇函数
图像
经典例题
43. 函数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对值域中对勾模型进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：将原函数进行常数分离，设根号为新参数，转化为对勾函数，
求解值域，注意新参数的定义域，完毕．
（3）本题的易错点：对勾函数与基本不等式的区别．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，对勾函数的最值求取位置坐标，与基本不等式
关系．
【答案】C
【解析】∵ ，
又∵设 ，
又∵对勾函数 在 上单调递增的性质，
∴当 ，即 时， ．
故选 项．
31【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
44. 函数 ， 的值域是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对值域中飘带函数进行考察．
（2）本题关键的解题步骤：飘带函数的单调性确定，直接根据单调性进行求解．
（3）本题的易错点：对飘带函数理解不彻底．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，区分飘带函数与对勾函数．
【答案】
【解析】易得 在区间 上为单调递增函数，
当 时， 的最大值为 ，
当 时， 的最小值为 ，
所以 在区间 上的值域是 ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
巩固练习
45. 求函数 在 时的最大值及最小值．
【答案】① 时，在 处取得最小值 ，在 处取得最大值 ；
②． 时，则在 处取得最小值 ，在 处取得最大值
；
． 时，则在 处取得最小值 ，在 处取得最大值
；
③ 时，在 处取得最大值 ，在 处取得最小值 ．
【解析】①当 即 时，在 处取得最小值 ，在 处取得最大值
；
②当 即 时，
．若 即 ，则在 处取得最小值 ，在 处取得最大值
；
．若 即 ，则在 处取得最小值 ，在 处取得最大值
；
③当 即 时，在 处取得最大值 ，在 处取得最小值 ．
32【标注】【知识点】用单调性观察法求值域
46. 已知函数 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】问题等价于 的值域是 的值域的子集，显然， 单调递减，
∴ ， ；
对于 ， ，令 ，
解得， 或 ，
， ， 的变化列表如下：
递增 递减 递增
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双变量问题；利用导数解决不等式恒成立与能成立综合问题；利用导数求函
数的最值；用单调性观察法求值域
8. 数形结合
函数解析式具有某种几何意义，如两点间距离公式、直线斜率等，运用几何法，往往会更加简单，一目
了然。
经典例题
47. 求函数 的值域．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：对值域中数形结合的方法进行介绍．
（2）本题关键的解题步骤：三角换元的逆向应用，将三角函数与单位圆的几何意义结合，
并且将所求的表达式转化为斜率的范围的求取，从而通过数形结合进行求解．
33（3）本题的易错点：数形结合的思想缺失，导致题目不会求解．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，除了斜率，还有距离、截距等几何意义的题
型．
另外此题，还可以应用三角函数有界性进行求解.
【答案】值域为 ．
【解析】 于是 ，
其几何意义为单位圆上的任一点 与点 的连线的斜率，结合图象知：过点 与
单位圆相切的直线的斜率为 ， ，连线的斜率的取值范围为 ，从而此函数的值
域为 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算；数学抽象
【知识点】数形结合求值域；斜率型目标函数
巩固练习
48. 求函数 的最大值．
【答案】 ．
【解析】数形结合，见到根号下平方和形式，就要想到坐标系下的距离．
，看成点 到 和 的距离之差．
故当 时， 的最大值为 ．
【标注】【知识点】数形结合求值域
经典例题——已知值域求参数
49. 已知函数 的值域为 ，求 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：已知值域，求参数的范围．
（2）本题关键的解题步骤：将已知值域的范围，转化为函数需要满足的条件，从而进行求
解.
（3）本题的易错点：二次项系数是否为 的讨论．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，定义域为 ,值域为 常见题型
【答案】A
34【解析】要使函数 的值域为 ，
则 能够取到大于 的所有实数．
若 ，即 ，
函数化为 ，
值域为 ．
若 ，
则 ，
解得 ．
综上， 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求复合函数的值域
巩固练习——已知值域求参数
50. 已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【标注】【知识点】已知函数值域求参数
9. 知识总结
值域
1.观察法
2.利用函数单调性
3.二次函数型
4.分离常数
5.判别式法
6.换元法
7.对勾及双氘函数模型
8.数形结合
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
35【备注】
出门测
（1）出门测目的是检测学生本讲学习效果；
（2）时间控制在15分钟以内．
51. 下图中，能表示函数 的图象的是（ ）．
36A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数定义知，任作一条直线 ，
与函数的图象至多有一个交点，
结合选项可知 中图象表示 是 的函数． 故选 ．
【标注】【知识点】函数的定义
52. 函数 的定义域为（ ）．
A. B. 且 C. D. 或
【答案】C
【解析】
要使函数有意义，则 ，
即 ，
解得 或 ，
所以函数 ，定义域为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】复合函数；求具体函数（包括复合函数）的定义域
53. 若函数 在 上有意义，则实数 的取值范围是 ．
37【答案】
【解析】函数 在 上有意义，
则 在 上恒成立，
则 ，
令 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 在 单调递增，
所以 ．故 ．
【标注】【知识点】已知定义域求参数的取值范围
54. 已知 ，则 的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】已知 ，
设 ，又 ，则 ，
则 ， ，
那么： 转化为 ， ，
的解析式为 ．
故选： ．
【标注】【知识点】用换元法求解析式
55. 已知 是一次函数，且满足 ，则函数 的解析式 ．
【答案】
【解析】由题意设 ，（ ）．
∵ 满足 ，
38∴ ，
化为 ，∴ ，解得 ．
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】用待定系数法求解析式；解析法
56. 函数 的值域为（ ）．
A. B. 且 C. D.
【答案】C
【解析】∵函数
，
由其定义域为 ，
∴函数 值域为 ，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】用分离常数法求值域；求复合函数的值域；对数函数的图象及性质
39
