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函数的图像与零点
一、 识图与辨图
1. 函数 的部分图象可能是（ ）．
y y
A. B.
–––222 –––111 OOO 111 222 x
–––222 –––111 OOO 111 222 x
y y
C. D.
–––222 –––111 OOO 111 222 x –––222 –––111 OOO 111 222 x
【答案】D
【解析】由 ，可排除选项 和
，
又 ，排除选项
，
故选： ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
2. 函数 （ 为自然对数的底）的图象可能是（ ）．
A. B.
1C. D.
【答案】A
【解析】 ，排除 和 ， ，排除 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
3. 函数 的图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意， ， ，
∴ 在定义域上为偶函数，图象关于 轴对称， ， 舍去，
当 时， ，
， 舍．
故选 ．
【标注】【知识点】利用极限判断函数图象
24. 函数 的图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
O
1
T
1
【答案】B
【解析】∵函数 ，
，
∴函数 为偶函数．
∵ 时， ，
，
∴ ， ．
当 时， ，
当 时， ， ，
则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
5. 函数 的部分图像可能是（ ）．
A. B.
3C. D.
【答案】B
【解析】∵函数 ，
∴函数的对称轴为 ．
故排除选项 、选项 ．
当 时， ，
∴排除选项 ．
∴答案为： ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
6. 函数 的部分图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵函数 ， ，
∴ ，故排除 ；
又∵当 时， ，
故 ， ，故排除 ；
当 时， ，
4故 ， ，故排除 ．
故选： ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
二、 函数的零点问题
7. 若关于 的方程 在 上有两个不等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知方程 ，
∴ ，
即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，
∵ ，
∴当 时， ，即 ， 单调递增，
当 时， ，即 ， 单调递减，
又 ，
∴为使 与 在 上有两个不等的实根，
则 ，
故实数 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围
8. 已知函数 （其中 是自然对数的底数），则 ，若
与 的图象有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 ;
5【解析】 ， ，
作出 图象， ，
经过 时， ，
经过 时， ，
经过 时， ，
由图象 的取值范围是 ．
y
x
O
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；利用函数图象研究方程根的分布问题（图
象与零点综合）
9. 已知函数 ，若 、 、 互不相等，且 ，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【解析】解： 如图，不妨设 ，
由已知条件可知：
，
， ，
， ，
， ，
6由 ，得 在 上为减函数，
，
的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）
10. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，
则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原命题等价于当 时，
与 的图象有交点，
即方程 在 上有解，
令 ，
显然 在 上为增函数．
当 时，只需 ，
解得 ；
当 时， 趋于 ，
， 趋于 ， ，
即 在 上有解．
综上，实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围
711. 已知函数 （ ，且 ）在区间 的最大值与最小值之和为 ，若函数
在区间 上有零点，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数 （ 且 ）在区间 的最大值与最小值之和为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
故 ，
由指数函数与对数函数的性质可知， 为 上的增函数，
要使得函数 在区间 上有零点，
则有 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；利用指数函数性质求最值
12. （多选）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）．
A. 直线 为曲线 的一条切线 B. 的极值点个数为
C. 的零点个数为 D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】因为 ，
所以 ，令 ，即 ，
令 ， ，在同一坐标系中作出两函数的图象，
y
x
图
由图象得：当 和 时， ，
所以此时 ，
所以 在 和 上单调递增，
8当 和 时， ，
所以此时 ，
所以 在 和 上单调递减，
且 ， ，
，
作出函数 的图象如图 所示：
y
OOO x
图
选项：根据函数的图象，知 选项正确；
选项：由图象得 有 个不同的解，有 个极值点，故 正确；
选项：当 或 时， ，
所以函数 有 个零点，故 错误；
选项：根据函数 的图象可知， 不正确．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；直接求函数的零点（不含参）；求切线条数
问题
13. （多选）已知函数 ，给出下列说法，不. 正. 确. 的是（ ）．
A. ，函数有且只有 个零点 B. 当且仅当 时，函数恰有 个零点
C. ，函数有 个零点 D. 对 ，函数不可能有 个零点
【答案】BCD
【解析】由题意，令 ， ，
则 ，
的零点可转化为 与 的交点，
画出 图象如图所示， 的最小值 ，
9选项，当 ，即 时， 与 有一个交点， 正确；
选项，当 或 时， 与 有两个交点， 错误；
选项，不存在 使得 与 有三个交点， 错误；
选项，当 ，即 时， 与 有四个交点， 错误，
故选 ．
【标注】【知识点】指数函数的图象及性质
14. 已知函数 ， ，实数 ， 满足 ，若
， ，使得 成立，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
故当 时， 取最小值 ，
由 在 时，取最大值 ，
令 ，则 ，或 ，
作两个函数的图象如图所示：
由图可得： 的最大值为 ．
10故选： ．
【标注】【知识点】求零点和或积的范围
15. （多选）已知函数 （ ， 为自然对数的底数），则（ ）．
A. 函数 至多有 个零点
B. 函数 至少有 个零点
C. 当 时，对 ，总有 成立
D. 当 时，方程 有 个不同实数根
【答案】ABC
【解析】作出函数 和函数 的图象如图所示，
当 时，函数 只有 个零点，
当 时，函数 有 个零点，
当 时，函数 只有 个零点，故选项 正确；
当 时，函数 为增函数，故选项 正确；
当 时， ， ， ，当 时，该方程有两个解，
当 时，该方程有两个解，
所以方程 有 个不同的解，故选项 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】求零点个数问题（含参）；零点、交点、根的等价转化；利用函数图象研究
方程根的分布问题（图象与零点综合）
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