函数值域求法十一种_高中三年全科资料_高中_高中知识点整理_数学

函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1 例 1. 求函数 的值域。 y x 解：∵ x0 1 ∴ 0 x 显然函数的值域是： (,0)(0,) 例 2. 求函数 的值域。 y3 x 解：∵ x 0  x 0,3 x 3 故函数的值域是：[,3] 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 3. 求函数 yx2 2x5,x[1,2] 的值域。 解：将函数配方得： y(x1)2 4 ∵x[1,2] 由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ，当 时， y 4 x1 y 8 min max 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 1xx2 例 4. 求函数 的值域。 y 1x2 解：原函数化为关于 x的一元二次方程 (y1)x2 (y1)x  0 （1）当y1时， xR (1)2 4(y1)(y1)0 1 3 解得： y 2 2 关注公众号“数学货”获取更多高中资料1 3 （2）当 y=1 时， ，而 x0 1 ,   2 2 1 3 故函数的值域为 ,   2 2 例 5. 求函数 的值域。 yx x(2x) 解：两边平方整理得： 2x2 2(y1)xy2 0 （1） ∵ xR ∴ 4(y1)2 8y0 解得： 1 2 y1 2 但此时的函数的定义域由x(2x)0，得 0x2 由 0 ，仅保证关于 x的方程： 2x2 2(y1)xy2 0 在实数集 R有 实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根， 由 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值 0 1 3 域为 。 ,   2 2 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ 0x2 yx x(2x) 0 代入方程（1） y 0,y1 2 min 2 2 24 2 解得： x  [0,2] 1 2 即当 2 2 24 2 时， x  1 2 原函数的值域为： [0,1 2] 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实 数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定 原函数的值域。 3x4 例 6. 求函数 值域。 5x6 46y 解：由原函数式可得：x 5y3 关注公众号“数学货”获取更多高中资料46y 3 则其反函数为： ，其定义域为： y x 5x3 5  3 故所求函数的值域为： ,   5 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客 为主来确定函数的值域。 例 7. 求函数 ex 1的值域。 y ex 1 y1 解：由原函数式可得：ex  y1 ∵ ex 0 y1 ∴ 0 y1 解得：1y1 故所求函数的值域为(1,1) cosx 例 8. 求函数 的值域。 y sinx3 解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，可化为： y2 1sinx(x)3y 2 即 y  (x 1)  4 ∵ xR ∴sinx(x)[1,1] 3y 即1 1 y2 1 解得： 2 2  y 4 4  2 2 故函数的值域为  ,   4 4  6. 函数单调性法 例 9. 求函数 y2x5 log x1(2x10) 的值域。 3 解：令 y 2x5,y log x1 1 2 3 则 在[2，10]上都是增函数 y ,y 1 2 关注公众号“数学货”获取更多高中资料所以 在[2，10]上是增函数 yy y 1 2 1 当x=2 时， y 23 log 21 min 3 8 当x=10 时， y 25 log 9 33 max 3 1  故所求函数的值域为： ,33   8  例 10. 求函数 的值域。 y x1 x1 x [1,2] 解：原函数可化为： 令 y  x1,y  x1 ，显然 y ,y 在[1,]上为无上界的增函数 1 2 1 2 所以 yy ， y 在[1,]上也为无上界的增函数 1 2 2 所以当 x=1 时， yy y 有最小值 2 ，原函数有最大值  2 1 2 2 显然y0，故原函数的值域为 (0, 2] 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解 析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主 要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例 11. 求函数 的值域。 yx x1 解：令 x1t ，(t0) 则 xt2 1 1 3 ∵ yt2 t1(t )2  2 4 又 ，由二次函数的性质可知 t0 当 时， t0 y 1 min 当 t0 时，y 故函数的值域为[1,) 例 12. 求函数 yx2 1(x1)2 的值域。 解：因 1(x1)2 0 即 (x1)2 1 故可令x1cos,[0,] 关注公众号“数学货”获取更多高中资料∴ ycos1 1cos2 sincos1   2sin( )1 4  5 ∵ 0,0   4 4 2   sin( )1 2 4  0 2sin( )11 2 4 故所求函数的值域为 [0,1 2] 例 13. 求函数 x3 x 的值域。 y x4 2x2 1 解：原函数可变形为： 1 2x 1x2 y   2 1x2 1x2 可令xtg，则有 2x sin2, 1x2 cos2 1x2 1x2 1 1 y sin2cos2 sin4 2 4 k  1 当 时，   y  2 8 max 4 k  1 当 时，   y  2 8 min 4 而此时tan有意义。  1 1 故所求函数的值域为  ,    4 4    例 14. 求函数y(sinx1)(cosx1)， x  , 的值域。    12 2 解：y(sinx1)(cosx1) sinxcosxsinxcosx1 1 令 sinxcosxt ，则 sinxcosx (t2 1) 2 1 1 y (t2 1)t1 (t1)2 2 2 由 tsinxcosx 2sin(x/4)    且x  ,    12 2 可得： 2 t 2 2 ∴当 时， 3 ，当 2 时， 3 2 t 2 y   2 t y  max 2 2 4 2 关注公众号“数学货”获取更多高中资料3 2 3  故所求函数的值域为   ,  2 。  4 2 2  例 15. 求函数 的值域。 yx4 5x2 解：由 ，可得 5x2 0 |x| 5 故可令 x 5cos,[0,]  y 5cos4 5sin 10sin( )4 4 ∵0   5    4 4 4 当/4时， y 4 10 max 当时， y 4 5 min 故所求函数的值域为： [4 5,4 10] 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公 式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一 目了然，赏心悦目。 例 16. 求函数 y (x2)2  (x8)2 的值域。 解：原函数可化简得：y|x2||x8| 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2），B(8)间的距离之和。 由上图可知，当点 P在线段 AB 上时，y|x2||x8||AB|10 当 点 P 在 线 段 AB 的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ， y|x2||x8||AB|10 故所求函数的值域为：[10,] 例 17. 求函数 的值域。 y x2 6x13 x2 4x5 解：原函数可变形为： y (x3)2 (02)2  (x2)2 (01)2 上式可看成 x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和， 由 图 可 知 当 点 P 为 线 段 与 x 轴 的 交 点 时 ， 关注公众号“数学货”获取更多高中资料， y |AB| (32)2 (21)2  43 min 故所求函数的值域为 [ 43,] 例 18. 求函数 的值域。 y x2 6x13 x2 4x5 解：将函数变形为： y (x3)2 (02)2  (x2)2 (01)2 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点 P(x,0)的距离之差。 即：y|AP||BP| 由图可知：（1）当点 P在x轴上且不是直线 AB 与x轴的交点时， 如点 ，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有 P' ABP' ||AP'||BP'|||AB| (32)2 (21)2  26 即：  26 y 26 （ 2 ） 当 点 P 恰 好 为 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 时 ， 有 ||AP||BP|||AB| 26 综上所述，可知函数的值域为： ( 26, 26] 注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A，B两点在 x轴的同 侧。 如：例 17 的A，B两点坐标分别为：（3，2），(2,1)，在 x轴的同侧； 例18 的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,1)，在 x轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式 ab2 ab,abc33 abc (a,b,cR) ，求函数的最 值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和 关注公众号“数学货”获取更多高中资料为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 1 1 例 19. 求函数 y(sinx )2 (cosx )2 4 的值域。 sinx cosx 解：原函数变形为： 1 1 y(sin2 xcos2 x)  sin2 x cos2 x 1ces2xsec2 x 3tan2 xcot2 x 33 tan2 xcot2 x 2 5 当且仅当 tanxcotx  即当 xk 时(kz)，等号成立 4 故原函数的值域为：[5,) 例 20. 求函数y2sinxsin2x 的值域。 解：y4sinxsinxcosx 4sin2 xcosx y16sin4 xcos2 x 8sin2 xsin2 x(22sin2 x) 8[(sin2 xsin2 x22sin2 x)/3]3 64  27 2 当且仅当 sin2 x22sin2 x ，即当 sin2 x 时，等号成立。 3 由 y2  64 可得：  8 3 y 8 3 27 9 9  8 3 8 3 故原函数的值域为：  ,   9 9  10. 一一映射法 axb 原理：因为 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两 y (c0) cxd 个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 13x 例 21. 求函数 的值域。 y 2x1  1 1 解：∵定义域为 x|x 或x   2 2 13x 1y 由 y 得x 2x1 2y3 关注公众号“数学货”获取更多高中资料1y 1 1y 1 故x  或x  2y3 2 2y3 2 3 3 解得 y 或y 2 2  3  3  故函数的值域为 ,  ,  2  2  11. 多种方法综合运用 例 22. 求函数 x2 的值域。 y x3 解：令 ，则 t x2(t0) x3t2 1 t 1 1 y   （1）当 时， ，当且仅当 t=1，即 时取等号， t0 t2 1 1 2 x1 t t 1 所以 0y 2 （2）当 t=0 时，y=0。  1 综上所述，函数的值域为： 0,    2 注：先换元，后用不等式法 例 23. 求函数 1x2x2 x3 x4 的值域。 y 12x2 x4 解： 12x2 x4 xx3 y  12x2 x4 12x2 x4 2 1x2  x     1x2   1x2 2 令 xtan  ，则 1x2   cos2 2  1x2   x 1  sin 1x2 2 1 1 ycos2 sinsin2 sin1 2 2 2  1 17 sin    4 16 1 17 ∴当 时， sin y  4 max 16 当sin1时， y 2 min   17 此时 tan 都存在，故函数的值域为 2,   2  16 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。 关注公众号“数学货”获取更多高中资料总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型 特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法 和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 关注公众号“数学货”获取更多高中资料