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函数三要素
一、 选择
1. 下列关于 ， 的关系中为函数的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A 选项： 中，
令 ，解得 ，即 ，
不是关于 的函数．
B 选项： ，当 时，有两个 与 对应，
不是关于 的函数．
C 选项： ，当 时，有 ，
所以 不是关于 的函数．
D 选项：满足任取定义域内的 ，都有唯一的 与 对应， 是关于 的函数．
故选 D .
【标注】【知识点】判定是否为函数
2. 已知 是定义域为 的单调函数，若对任意的 ，都有 ，
且方程 在区间 上有两解，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
1∵ 是定义域为 的单调函数，对任意的 ，都有 ，
∴必存在唯一的正实数 ，满足 ， ①，∴ ②，
由①②得： ，即 ，∴ ，解得 ．
故 ，∴ ，
由方程 在区间 上有两解，
即有 在区间 上有两解，
作出 的图象，如图所示：
结合题意， ，
故选 ．
【标注】【知识点】单调性；函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围
二、 填空
3. 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的解析式为 ．
【答案】
【解析】∵ 与 的图象关于直线 对称，
∴ 与 互为反函数，
∴ ．
【标注】【素养】逻辑推理
4. 已知函数 满足对一切 ，都有 ，则 的解析式为 ．
2【答案】
【解析】将 代入 ，得 ，将 和
看作两个未知数，可解得 ，当 时， ．
【标注】【知识点】解析法
5. 设函数 ，则 的定义域为 ．
【答案】 或
【解析】
由题意可知： ．
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域
6.
函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
所以 ，
所以函数的值域为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求复合函数的值域
7. 定义新运算“★”：当 时， ★ ；当 时， ★ ．设函数 ★
★ ， ，则函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意知， ，
3当 时， ；
当 时， ，
故当 时， ．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；分段函数
三、 解答
8. 求函数 在 上的值域．
【答案】 ．
【解析】∵ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∴当 ， 单调递增
∴
即 在 上的值域为 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【方法】换元法
【知识点】用换元法求值域；对数函数与二次函数复合
9. 已知函数 的定义域与值域都是 ，求实数 值．
【答案】 ．
【解析】 ， 且 ，
则 ， ，
∴函数值域为 ，
由已知得 ，解得 或 （舍）．
【标注】【知识点】用单调性观察法求值域；二次函数的图象及性质
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