函数单调性之分类讨论_高中三年全科资料_高中_高中知识点整理_数学

升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
函数单调性之分类讨论
一、思维导图
含参函数单调性的讨论
一次函数形式

二次函数形式

1、求定义域2、求导数 3、数轴标根4、判断导数正负5、函数单调性
分式函数形式



含ex函数形式
 b
k 0数轴标根(x   )单调区间

 k
(1): f、(x)  kxb 
b
 k 0数轴标根(x   )单调区间

 k
(2): f、(x)  ax2 bxc 因式分解 f、(x)  a(xx )(xx )
1 2
a 0一次函数讨论式


0数轴标根单调区间
讨论参数


a 0或a 0不能判断则0数轴标根单调区间
  0比较两根大小(x  x 或x  x )
  1 2 1 2
g(x)
一次式讨论
(3): f、(x) (含分式的式子) f、(x)  讨论g(x)
通分 axb 一般情况下分母0，不用管

二次式讨论

 f、(x) (ex a)(ex b)形式根据参数分类讨论
(4): f、(x) (含ex的式子)(注:ex 0) 因式分解
 f、(x) ex(axb)形式根据参数分类讨论
 提取ex
升善数学 硬壳人生 1 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
二、例题精析
例题1、讨论函数 f (x) lnxax的单调性。
[解析]定义域：(0,)
1 ax1
f、(x)  a 
函数的导数： x x
1
f、(x)  0
①当a 0时， x ，故 f (x)在(0,)上单调递增；
ax1
f、(x)  0,
②当a 0时， x 故 f (x)在(0,)上单调递增；
1
x  , 1
③当a 0时，令 f、(x)0,得： a 故 f (x)在(0, )上单调递增；
a
1
在( ,)上单调递减；
a
升善数学 硬壳人生 2 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
1
例题2、已知函数 f (x)lnx ax2 (a1)x,(a 0)，
2
（1）讨论 f (x)的单调性；
[解析]定义域：(0,)
1
a(x1)(x )
1 ax2 (a1)x1
函数的导数： f、(x) axa1  a
x x x
 (a1)2 4(a)1(a1)2
① 0时，即a 1时， 故 f (x)在(0,)单调递增，
1
 0时，x 1,x  ，比较两根大小情况，
1 2
a
1
②x  x 时，即1a0时， 故 f (x)在(0,1),( ,)单调递增，
1 2 a
1
在(1, )单调递减，
a
x  x 时，即a  1或a 0，
1 2
1 1
③当a  1时， 故 f (x)在(0, ),(1,)单调递增，在( ,1)单调递减，
a a
④当a 0时， 故 f (x)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，
升善数学 硬壳人生 3 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
例题3、（2017全国卷1理21）已知函数 f (x)  ae2x (a2)ex x
（1）讨论 f(x)的单调性；
[解析]：定义域：(,)，
函数的导数： f '  x 2ae2x  a2  ex 1  aex 1  ex 1 
因为ex 10,所以只讨论aex 1的符号，
①当a 0时，f、(x)0，故 f (x)在(,)上单调递减。
1 1
②当a 0时，令 f、(x) 0得x ln , 即：x(,ln )时， f、(x)0，
a a
1 1 1
x(ln ,)时， f、(x) 0，故 f (x)在(,ln )上单调递减，在(ln ,)上单调递增，
a a a
三、练习巩固
1、（2017全国卷 3 文21）已知函数 f(x)lnxax2 (2a1)x
（1）讨论 f(x)的单调性
[解析]：定义域（0，+ ），
1 (x1)(2ax1)
函数的导数： f、(x) 2ax2a1
x x
①当a 0时， f、(x) 0，故 f (x)在（0，+ ）上单调递增。
1
②当a 0时，分子=(x1)(2ax1)0 x 1,x  ,且x  x ，
1 2 2a 1 2
故f（x）在 单调递增，在 单调递减.
升善数学 硬壳人生 4 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
2、（2016四川高考理数21） f (x)ax2 alnx,其中aR,
（1）讨论 f (x)的单调性
[解析]定义域：(0,)
1 2ax2 1
函数的导数： f、(x)  2ax 
x x
①当a 0时，f、(x)0，故 f (x)在(0,)上单调递减。
1 1
②当a 0时，分子=2ax2 10 x  ,x  ,且x  x ，
1 2a 2 2a 1 2
1 1 1
即：x(0, )时， f、(x)0，x( ,)时， f、(x) 0，故 f (x)在(0, )上单
2a 2a 2a
1
调递减，在( ,)上单调递增，
2a
2x
3、（2014湖南高考）已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－ .
x＋2
（1）讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
[解析]x(0,)
1 2(x2)2x ax2 4(a1)
函数的导数： f、(x)  
1ax (x2)2 (1ax)(x2)2
①当 a 1 时， f、(x)0, 故 f (x)在(0,)上单调递增。
1a 1a
②当 0 a 1 时，令 f、(x)0, 得 x 2 , x 2 ,
1 2
a a
1a 1a 1a
x(,2 ),(2 ,) 时， f、(x)0, x(0,2 ) 时， f、(x)0,
a a a
1a 1a
故 f (x)在 x(0,2 ) 上单调递减， x(2 ,) 上单调递增。
a a
升善数学 硬壳人生 5 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
1a
4、（2016北京模拟理数）已知函数 f (x)lnxax 1,(aR)
x
1
（1）当a  时，讨论 f (x)的单调性。
2
[解析]定义域：(0,)
1 a1 ax2 xa1 (x1)(axa1)
函数的导数： f、(x) a  
x x2 x2 x2
 12 4(a)(a1) (2a1)2
x1
①当a 0时，f、(x) ， 故 f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调增。
x2
1
② 0时，a  ， ， f、(x)0，故 f (x)在(0,)上单调递减。
2
1a
 0时，x 1,x  ，比较两根大小：
1 2
a
1 1a 1a
③x  x 0a ， x(0,1)或( ,)时，f、(x)0，x(1, )时，
1 2
2 a a
1a 1a
f、(x) 0，故 f (x)在(0,1),( ,)上单调递减，在(1, )上单调递增。
a a
1
④x  x a0,或a  (舍)， x(0,1)时， f、(x)0，x(1,)时，
1 2
2
f、(x) 0，故 f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增。
综上所述：当a0时， f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；
1
当a  时， f(x)在(0,)单调递减；
2
1 1 1
当0a 时， f(x)在(0,1)递减,(1, 1)递增,( 1,)递减.
2 a a
升善数学 硬壳人生 6 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
ax
5、（2014全国卷）已知函数 f (x)ln(x1) ,(a 1)
xa
(1)讨论 f (x)的单调性；
[解析]定义域：(1,)
x[x(a2 2a)]
函数的导数：
f、(x)
(x1)(xa)2
 (a2 2a)2 410(a2 2a)2
① 0时，即a 2或a 0(舍)时， f、(x)0，故 f (x)在(1,)单调递增。
 0时，x 0, x a2 2a,比较两根大小情况：
1 2
②x  x 时，即1 a  2时， x(1,a2 2a)，(0,)时， f、(x)0
1 2
x(a2 2a,0)时， f、(x)0。
故 f (x)在(1,a2 2a)，(0,)上单调递增；在(a2 2a,0)上单调递减。
③x  x 时，即a  2时， x(1,0)，(a2 2a,)时， f、(x)0
1 2
x(0,a2 2a)时， f、(x)0。
故 f (x)在(1,0)，(a2 2a,)上单调递增；在(0,a2 2a)上单调递减。
升善数学 硬壳人生 7 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
1
6、已知函数 f (x) x ax2 ln(x1),aR，
2
（1）讨论 f (x)单调区间；
[解析]定义域：(1,)
ax2 axx x[ax(a1)]
函数的导数： f、(x) 
x1 x1
x
①当a 0时， f、(x) ，故 f (x)在(1,0)单调递减，在(0,)单调递减，
x1
1a
 (a)2 4(a)1a2 4，x 0,x  ，比较两根大小情况：
1 2
a
1a
②x  x 时，即0 a 1时， 故 f (x)在(1,0),( ,)单调递减，
1 2 a
1a
在(0, )单调递增。
a
x  x 时，即a 1或a 0时，
1 2
1a 1a
③当a 1时， 故 f (x)在(1, ),(0,)单调递减，在( ,0)单调递增。
a a
④当a 0时， 故 f (x)在(0,)单调递增，在(1,0)单调递减。
x2
⑤当a 1时， f、(x) 0，故 f (x)在(1,)单调递减。
x1
升善数学 硬壳人生 8 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
k
7、（2016北京理数）已知函数 f (x)ln(x1)x x2,(k 0)
2
（1）讨论 f (x)的单调性；
[解析]定义域：(1,)
kx2 (k 1)x x(kxk 1)
函数的导数： f、(x) 
x1 x1
x
①当k 0时， f、(x) ，故 f (x)在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减。
x1
 (k 1)2 4k0(k 1)2
② 0时，即k 1时， f、(x)0，故 f (x) (1,)上单调递增。
1k
 0时，即0k 2 2 3或k 2 2 3时， x 0,x  ，比较两根大小情况
1 2
k
1k
③当x  x 时，即0 k 1时， ，故 f (x)在(1,0),( ,)上单调递增，
1 2 k
1k
在(0, )上单调递减。
k
1k
④当x  x 时，即k 1时， ，故 f (x)在(1, ),(0,)上单调递增，
1 2 k
1k
在( ,0)上单调递减。
k
升善数学 硬壳人生 9 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
8、已知函数 f (x)ln(ax1)x2 ax,(a 0)，
（1）讨论 f (x)的单调性；
1
[解析]定义域：( ,)
a
a2 2
2ax(x )
2ax2 (2a2)x
函数的导数： f、(x)  2a
ax1 ax1
 (2a2)2 42a0(2a2)2
2
① 0时，即a  2 时， 故 f (x)在( ,)单调递增，
2
a2 2
 0时，x 0,x  ，比较两根大小情况，
1 2
2a
1 a2 2
②x  x 时，即a  2 时， 故 f (x)在( ,0),( ,)单调递增，
1 2 a 2a
a2 2
f (x)在(0, )单调递减，
2a
1 a2 2
③x  x 时，即0a 2时， 故 f (x)在( , ),(0,)单调递增，
1 2 a 2a
a2 2
f (x)在( ,0)单调递减，
2a
升善数学 硬壳人生 10 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
ex
9、已知函数 f (x) (ax2 a1),aR
2
（1）讨论 f (x)的单调性；
[解析]定义域：R
1 1 1
函数的导数： f、(x) ex(ax2 a1) ex 2ax ex(ax2 2axa1)
2 2 2
1
因为 ex 0,所以只讨论ax2 2axa1的符号即可，
2
1
①当a 0时， f、(x) ex 0,故 f (x)在R 上单调递减；
2
 (2a)2 4(a)(a1)4a
②当 0时，即a 0，同上；
③当0时，即a 0， 故 f (x)在R 上单调递减；
1 1
④当 0时，即a 0，x 1 ,x 1 ，又知x  x ，
1 a 1 a 1 2
1 1 1 1
故 f (x)在(,1 ), (1 ,),上单调递增，在(1 ,1 )上单调递减。
a a a a
升善数学 硬壳人生 11 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
1
10、（2018全国卷1理21）已知函数
f (x)  xalnx
x
（1）讨论 的单调性
f (x)
[解析]：定义域为 ，
(0,)
函数的导数为 1 a x2 ax1
f、(x) 1 
x2 x x2
讨论参数符号情况：
①当 时，
x2 1
， 在 单调递减。
a 0 f、(x) 0 f (x) (0,)
x2
②当 a 0 时， f、(x)
x2 ax1
0 ， f (x) 在 (0,) 单调递减。
x2
当 a  0 时，无法判断 f、(x) 符号
讨论根的判别式情况 (a)2 411a2 4
③当0 a  2时， 0， f、(x)0， f (x)在(0,)单调递减。
a a2 4 a a2 4
④当a  2时， 0,x  ，x 
1 2
2 2
讨论两根大小情况： x  x f (x) 在 (0, a a2 4 ), ( a a2 4 ,), 单
1 2
2 2
调递减，在 a a2 4 a a2 4 单调递增。
( , )
2 2
综上所述：当 a  2 时， f (x)在(0,)上单调递减。
当 a  2 时， f (x) 在 (0, a a2 4 ), ( a a2 4 ,), 单调递减，
2 2
在 a a2 4 a a2 4 单调递增。
( , )
2 2
升善数学 硬壳人生 12 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
11、（2017全国卷1 文21）已知函数 f(x)ex(ex a)a2x
（1）讨论 f(x)的单调性
[解析] 函数 f(x)的定义域：(,)，
函数的导数： f(x)2e2x aex a2 (2ex a)(ex a) ，
①当a 0时， f(x)e2x，在(,)单调递增．
②当a 0时，2ex a 0,讨论ex a的符号，则由 f(x)0得x lna．
当x(,lna)时， f(x)0；当x(lna,)时， f(x)0，
故 f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增．
③当a0时，ex a 0,讨论2ex a的符号，则由 f(x)0得xln( a )．
2
a a
当x(,ln( ))时， f(x)0；当x(ln( ),)时， f(x)0，
2 2
a a
故 f(x)在(,ln( ))单调递减，在(ln( ),)单调递增．
2 2
综上所述：当a 0时， f(x)在(,)单调递增．
当a 0时， f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增．
a a
当a0时， f(x)在(,ln( ))单调递减，在(ln( ),)单调递增．
2 2
升善数学 硬壳人生 13 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
2
ex ＋lnx
12、（2014山东高考）设函数f(x)＝ －k x (k 为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．
x2
（1）当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
[解析]定义域：(0,)
x2ex 2xex 2 1 (x2)(ex kx)
函数的导数： f、(x) k(  )
x4 x2 x x3
k 0,ex kx0,故只讨论x2的符号；
故x(0,2)时， f、(x)0, x(2,)时， f、(x)0,
故 f (x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增。
升善数学 硬壳人生 14 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu
13、（2014重庆高考）已知函数 f (x)e2x e2x 3x，
（1）讨论 f (x)单调性；
[解析]定义域：R
函数的导数： f、(x)2e2x 2e2x 3
1
f、(x)2e2x 2e2x 32e2x  32 2e2x 2e2x 310
2e2x
故 f (x)在R上单调递增。
升善数学 硬壳人生 15 添加微信：shengshanedu