函数单调性之分类讨论_高中三年全科资料_高中_高中知识点整理_数学

升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 函数单调性之分类讨论 一、思维导图 含参函数单调性的讨论 一次函数形式  二次函数形式  1、求定义域2、求导数 3、数轴标根4、判断导数正负5、函数单调性 分式函数形式    含ex函数形式  b k 0数轴标根(x   )单调区间   k (1): f、(x)  kxb  b  k 0数轴标根(x   )单调区间   k (2): f、(x)  ax2 bxc 因式分解 f、(x)  a(xx )(xx ) 1 2 a 0一次函数讨论式   0数轴标根单调区间 讨论参数   a 0或a 0不能判断则0数轴标根单调区间   0比较两根大小(x  x 或x  x )   1 2 1 2 g(x) 一次式讨论 (3): f、(x) (含分式的式子) f、(x)  讨论g(x) 通分 axb 一般情况下分母0，不用管  二次式讨论   f、(x) (ex a)(ex b)形式根据参数分类讨论 (4): f、(x) (含ex的式子)(注:ex 0) 因式分解  f、(x) ex(axb)形式根据参数分类讨论  提取ex 升善数学 硬壳人生 1 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 二、例题精析 例题1、讨论函数 f (x) lnxax的单调性。 [解析]定义域：(0,) 1 ax1 f、(x)  a  函数的导数： x x 1 f、(x)  0 ①当a 0时， x ，故 f (x)在(0,)上单调递增； ax1 f、(x)  0, ②当a 0时， x 故 f (x)在(0,)上单调递增； 1 x  , 1 ③当a 0时，令 f、(x)0,得： a 故 f (x)在(0, )上单调递增； a 1 在( ,)上单调递减； a 升善数学 硬壳人生 2 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 1 例题2、已知函数 f (x)lnx ax2 (a1)x,(a 0)， 2 （1）讨论 f (x)的单调性； [解析]定义域：(0,) 1 a(x1)(x ) 1 ax2 (a1)x1 函数的导数： f、(x) axa1  a x x x  (a1)2 4(a)1(a1)2 ① 0时，即a 1时， 故 f (x)在(0,)单调递增， 1  0时，x 1,x  ，比较两根大小情况， 1 2 a 1 ②x  x 时，即1a0时， 故 f (x)在(0,1),( ,)单调递增， 1 2 a 1 在(1, )单调递减， a x  x 时，即a  1或a 0， 1 2 1 1 ③当a  1时， 故 f (x)在(0, ),(1,)单调递增，在( ,1)单调递减， a a ④当a 0时， 故 f (x)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减， 升善数学 硬壳人生 3 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 例题3、（2017全国卷1理21）已知函数 f (x)  ae2x (a2)ex x （1）讨论 f(x)的单调性； [解析]：定义域：(,)， 函数的导数： f '  x 2ae2x  a2  ex 1  aex 1  ex 1  因为ex 10,所以只讨论aex 1的符号， ①当a 0时，f、(x)0，故 f (x)在(,)上单调递减。 1 1 ②当a 0时，令 f、(x) 0得x ln , 即：x(,ln )时， f、(x)0， a a 1 1 1 x(ln ,)时， f、(x) 0，故 f (x)在(,ln )上单调递减，在(ln ,)上单调递增， a a a 三、练习巩固 1、（2017全国卷 3 文21）已知函数 f(x)lnxax2 (2a1)x （1）讨论 f(x)的单调性 [解析]：定义域（0，+ ）， 1 (x1)(2ax1) 函数的导数： f、(x) 2ax2a1 x x ①当a 0时， f、(x) 0，故 f (x)在（0，+ ）上单调递增。 1 ②当a 0时，分子=(x1)(2ax1)0 x 1,x  ,且x  x ， 1 2 2a 1 2 故f（x）在 单调递增，在 单调递减. 升善数学 硬壳人生 4 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 2、（2016四川高考理数21） f (x)ax2 alnx,其中aR, （1）讨论 f (x)的单调性 [解析]定义域：(0,) 1 2ax2 1 函数的导数： f、(x)  2ax  x x ①当a 0时，f、(x)0，故 f (x)在(0,)上单调递减。 1 1 ②当a 0时，分子=2ax2 10 x  ,x  ,且x  x ， 1 2a 2 2a 1 2 1 1 1 即：x(0, )时， f、(x)0，x( ,)时， f、(x) 0，故 f (x)在(0, )上单 2a 2a 2a 1 调递减，在( ,)上单调递增， 2a 2x 3、（2014湖南高考）已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－ . x＋2 （1）讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性； [解析]x(0,) 1 2(x2)2x ax2 4(a1) 函数的导数： f、(x)   1ax (x2)2 (1ax)(x2)2 ①当 a 1 时， f、(x)0, 故 f (x)在(0,)上单调递增。 1a 1a ②当 0 a 1 时，令 f、(x)0, 得 x 2 , x 2 , 1 2 a a 1a 1a 1a x(,2 ),(2 ,) 时， f、(x)0, x(0,2 ) 时， f、(x)0, a a a 1a 1a 故 f (x)在 x(0,2 ) 上单调递减， x(2 ,) 上单调递增。 a a 升善数学 硬壳人生 5 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 1a 4、（2016北京模拟理数）已知函数 f (x)lnxax 1,(aR) x 1 （1）当a  时，讨论 f (x)的单调性。 2 [解析]定义域：(0,) 1 a1 ax2 xa1 (x1)(axa1) 函数的导数： f、(x) a   x x2 x2 x2  12 4(a)(a1) (2a1)2 x1 ①当a 0时，f、(x) ， 故 f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调增。 x2 1 ② 0时，a  ， ， f、(x)0，故 f (x)在(0,)上单调递减。 2 1a  0时，x 1,x  ，比较两根大小： 1 2 a 1 1a 1a ③x  x 0a ， x(0,1)或( ,)时，f、(x)0，x(1, )时， 1 2 2 a a 1a 1a f、(x) 0，故 f (x)在(0,1),( ,)上单调递减，在(1, )上单调递增。 a a 1 ④x  x a0,或a  (舍)， x(0,1)时， f、(x)0，x(1,)时， 1 2 2 f、(x) 0，故 f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增。 综上所述：当a0时， f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增； 1 当a  时， f(x)在(0,)单调递减； 2 1 1 1 当0a 时， f(x)在(0,1)递减,(1, 1)递增,( 1,)递减. 2 a a 升善数学 硬壳人生 6 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu ax 5、（2014全国卷）已知函数 f (x)ln(x1) ,(a 1) xa (1)讨论 f (x)的单调性； [解析]定义域：(1,) x[x(a2 2a)] 函数的导数： f、(x) (x1)(xa)2  (a2 2a)2 410(a2 2a)2 ① 0时，即a 2或a 0(舍)时， f、(x)0，故 f (x)在(1,)单调递增。  0时，x 0, x a2 2a,比较两根大小情况： 1 2 ②x  x 时，即1 a  2时， x(1,a2 2a)，(0,)时， f、(x)0 1 2 x(a2 2a,0)时， f、(x)0。 故 f (x)在(1,a2 2a)，(0,)上单调递增；在(a2 2a,0)上单调递减。 ③x  x 时，即a  2时， x(1,0)，(a2 2a,)时， f、(x)0 1 2 x(0,a2 2a)时， f、(x)0。 故 f (x)在(1,0)，(a2 2a,)上单调递增；在(0,a2 2a)上单调递减。 升善数学 硬壳人生 7 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 1 6、已知函数 f (x) x ax2 ln(x1),aR， 2 （1）讨论 f (x)单调区间； [解析]定义域：(1,) ax2 axx x[ax(a1)] 函数的导数： f、(x)  x1 x1 x ①当a 0时， f、(x) ，故 f (x)在(1,0)单调递减，在(0,)单调递减， x1 1a  (a)2 4(a)1a2 4，x 0,x  ，比较两根大小情况： 1 2 a 1a ②x  x 时，即0 a 1时， 故 f (x)在(1,0),( ,)单调递减， 1 2 a 1a 在(0, )单调递增。 a x  x 时，即a 1或a 0时， 1 2 1a 1a ③当a 1时， 故 f (x)在(1, ),(0,)单调递减，在( ,0)单调递增。 a a ④当a 0时， 故 f (x)在(0,)单调递增，在(1,0)单调递减。 x2 ⑤当a 1时， f、(x) 0，故 f (x)在(1,)单调递减。 x1 升善数学 硬壳人生 8 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu k 7、（2016北京理数）已知函数 f (x)ln(x1)x x2,(k 0) 2 （1）讨论 f (x)的单调性； [解析]定义域：(1,) kx2 (k 1)x x(kxk 1) 函数的导数： f、(x)  x1 x1 x ①当k 0时， f、(x) ，故 f (x)在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减。 x1  (k 1)2 4k0(k 1)2 ② 0时，即k 1时， f、(x)0，故 f (x) (1,)上单调递增。 1k  0时，即0k 2 2 3或k 2 2 3时， x 0,x  ，比较两根大小情况 1 2 k 1k ③当x  x 时，即0 k 1时， ，故 f (x)在(1,0),( ,)上单调递增， 1 2 k 1k 在(0, )上单调递减。 k 1k ④当x  x 时，即k 1时， ，故 f (x)在(1, ),(0,)上单调递增， 1 2 k 1k 在( ,0)上单调递减。 k 升善数学 硬壳人生 9 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 8、已知函数 f (x)ln(ax1)x2 ax,(a 0)， （1）讨论 f (x)的单调性； 1 [解析]定义域：( ,) a a2 2 2ax(x ) 2ax2 (2a2)x 函数的导数： f、(x)  2a ax1 ax1  (2a2)2 42a0(2a2)2 2 ① 0时，即a  2 时， 故 f (x)在( ,)单调递增， 2 a2 2  0时，x 0,x  ，比较两根大小情况， 1 2 2a 1 a2 2 ②x  x 时，即a  2 时， 故 f (x)在( ,0),( ,)单调递增， 1 2 a 2a a2 2 f (x)在(0, )单调递减， 2a 1 a2 2 ③x  x 时，即0a 2时， 故 f (x)在( , ),(0,)单调递增， 1 2 a 2a a2 2 f (x)在( ,0)单调递减， 2a 升善数学 硬壳人生 10 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu ex 9、已知函数 f (x) (ax2 a1),aR 2 （1）讨论 f (x)的单调性； [解析]定义域：R 1 1 1 函数的导数： f、(x) ex(ax2 a1) ex 2ax ex(ax2 2axa1) 2 2 2 1 因为 ex 0,所以只讨论ax2 2axa1的符号即可， 2 1 ①当a 0时， f、(x) ex 0,故 f (x)在R 上单调递减； 2  (2a)2 4(a)(a1)4a ②当 0时，即a 0，同上； ③当0时，即a 0， 故 f (x)在R 上单调递减； 1 1 ④当 0时，即a 0，x 1 ,x 1 ，又知x  x ， 1 a 1 a 1 2 1 1 1 1 故 f (x)在(,1 ), (1 ,),上单调递增，在(1 ,1 )上单调递减。 a a a a 升善数学 硬壳人生 11 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 1 10、（2018全国卷1理21）已知函数 f (x)  xalnx x （1）讨论 的单调性 f (x) [解析]：定义域为 ， (0,) 函数的导数为 1 a x2 ax1 f、(x) 1  x2 x x2 讨论参数符号情况： ①当 时， x2 1 ， 在 单调递减。 a 0 f、(x) 0 f (x) (0,) x2 ②当 a 0 时， f、(x) x2 ax1 0 ， f (x) 在 (0,) 单调递减。 x2 当 a  0 时，无法判断 f、(x) 符号 讨论根的判别式情况 (a)2 411a2 4 ③当0 a  2时， 0， f、(x)0， f (x)在(0,)单调递减。 a a2 4 a a2 4 ④当a  2时， 0,x  ，x  1 2 2 2 讨论两根大小情况： x  x f (x) 在 (0, a a2 4 ), ( a a2 4 ,), 单 1 2 2 2 调递减，在 a a2 4 a a2 4 单调递增。 ( , ) 2 2 综上所述：当 a  2 时， f (x)在(0,)上单调递减。 当 a  2 时， f (x) 在 (0, a a2 4 ), ( a a2 4 ,), 单调递减， 2 2 在 a a2 4 a a2 4 单调递增。 ( , ) 2 2 升善数学 硬壳人生 12 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 11、（2017全国卷1 文21）已知函数 f(x)ex(ex a)a2x （1）讨论 f(x)的单调性 [解析] 函数 f(x)的定义域：(,)， 函数的导数： f(x)2e2x aex a2 (2ex a)(ex a) ， ①当a 0时， f(x)e2x，在(,)单调递增． ②当a 0时，2ex a 0,讨论ex a的符号，则由 f(x)0得x lna． 当x(,lna)时， f(x)0；当x(lna,)时， f(x)0， 故 f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增． ③当a0时，ex a 0,讨论2ex a的符号，则由 f(x)0得xln( a )． 2 a a 当x(,ln( ))时， f(x)0；当x(ln( ),)时， f(x)0， 2 2 a a 故 f(x)在(,ln( ))单调递减，在(ln( ),)单调递增． 2 2 综上所述：当a 0时， f(x)在(,)单调递增． 当a 0时， f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增． a a 当a0时， f(x)在(,ln( ))单调递减，在(ln( ),)单调递增． 2 2 升善数学 硬壳人生 13 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 2 ex ＋lnx 12、（2014山东高考）设函数f(x)＝ －k x (k 为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)． x2 （1）当k≤0时，求函数f(x)的单调区间； [解析]定义域：(0,) x2ex 2xex 2 1 (x2)(ex kx) 函数的导数： f、(x) k(  ) x4 x2 x x3 k 0,ex kx0,故只讨论x2的符号； 故x(0,2)时， f、(x)0, x(2,)时， f、(x)0, 故 f (x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增。 升善数学 硬壳人生 14 添加微信：shengshanedu升善数学 专注一个领域 所以做的专，精，透！ 微信：shengshanedu 13、（2014重庆高考）已知函数 f (x)e2x e2x 3x， （1）讨论 f (x)单调性； [解析]定义域：R 函数的导数： f、(x)2e2x 2e2x 3 1 f、(x)2e2x 2e2x 32e2x  32 2e2x 2e2x 310 2e2x 故 f (x)在R上单调递增。 升善数学 硬壳人生 15 添加微信：shengshanedu