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2025 年湖南省初中学业水平考试
数学
一．选择题（共10小题）
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
3．某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社
团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．将分式方程 去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度到 处，则点 的坐标为
（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
7．下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力
8．如图，在四边形 中，对角线 与 互相垂直平分， ，则四边形
的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
9．对于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．在 在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当 时， 随 的增大而增大
D．当 时， 随 的增大而减小
10．如图，北京市某处 位于北纬 （即 ），东经 ，三沙市海域某处
位于北纬 （即 ），东经 ；设地球的半径约为 千米，则在东经 所
在经线圈上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ）
A． （千米） B． （千米）
C． （千米） D． （千米）
二．填空题（共8小题）
试卷第2页，共3页11．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时
，则 ．
12．化简 ．
13．因式分解： ．
14．约分： ；
15．甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程 （米）与时间 （秒）的函数关系如图所
示，填 （“甲”或“乙”先到终点）：
16．如图，在 中， ，点 是 的中点，分别以点 ， 为圆心，以大于
的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，直线 交 于点 ，连接 ，则
的长是 ．
17．如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形
为正八边形，连接 ， ， 与 交于点 ， ．
试卷第3页，共3页18．已知， ， ， 是 的三条边长，记 ，其中 为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论）
①若 ， ，则 为直角三角形
②若 ， ， ，则
③若 ， ， ， ， 为三个连续整数，且 ，则满足条件的 的个数
为7
三．解答题（共8小题）
19．计算： ．
20．先化简，再求值： ，其中 ．
21．如图， 的顶点 ， 在 上，圆心 在边 上， ， 与
相切与点 ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
22．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买 ， 两种香料．已知 种材料的单价
比 种材料的单价多3元，且购买4件 种材料与购买6件 种材料的费用相等．
(1)求 种材料和 种材料的单价；
试卷第4页，共3页(2)若需购买 种材料和 种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买 种材料
多少件？
23．为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从
这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人．
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均 方
数 差
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表：
次数 分
画记 频数
组
T 2
正一 6
正正 10
【分析数据】数据的平均数是 ，方差是 ．
【解决问题】答下列问题：
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
(3)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益
活动次数的情况．
试卷第5页，共3页24．如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱 和 分别垂直地面水平线 于点 ， ，
分米， ．在点 ， 之间的晾衣绳上有固定挂钩 ， 分米，一件
连衣裙 挂在点 处（点 与点 重合），且直线 ．
(1)如图1，当该连衣裙下端点 刚好接触到地面水平线 时，点 到直线 的距离 等
于12分米，求该连衣裙 的长度；
(2)如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩 处再挂一条长裤（点 在点
的右侧），若 ，求此时该连衣裙下端 点到地面水平线 的距离约为多少
分米？（结果保留整数，参考数据： ， ， ）
25．【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片 中，过点 作直线 于点 ，沿直线 将纸片剪开，
得到 和四边形 ，如图2所示．
【动手操作】
现将三角形纸片 和四边形纸片 进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片 置于四边形纸片 内部，使得点 与点 重合，点 在线段
上，延长 交线段 于点 ，如图3所示；
试卷第6页，共3页②连接 ，过点 作直线 交射线 于点 ，如图4所示；
③在边 上取一点 ，分别连接 ， ， ，如图5所示．
【问题解决】
请解决下列问题：
(1)如图3，填空： ______ ；
(2)如图4，求证： ；
(3)如图5．若 ， ，求证： ．
26．如图，已知二次函数 的图象过点 ，连接 点 ，
， ，是此二次函数图象上的三个动点，且 ，过点 作
轴交线段 于点 ．
试卷第7页，共3页(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点 、 在线段 上，且直线 、 都平行于 轴，请你从下列两个命题
中选择一个进行解答：
①当 时，求证： ；
②当 时，求证： ；
(3)如图，若 ， ，延长 交 轴于点 ，射线 、 分别与 轴交于点
， ，连接 ，分别在射线 、 轴上取点 、 （点 在点 的右侧），且
， ．记 ，试探究：当 为何值时， 有最大值？并
求出 的最大值．
试卷第8页，共3页1．A
【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键.
根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
【详解】解：1. 确定数的正负性：
D选项为 ，是负数；C选项为 ，非正非负；A选项 和B选项 均为正数，
负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B，
2. 比较正数的大小：
，显然 ，
故A选项 大于B选项 ，
故选：A.
2．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的
定义．
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查概率公式的计算，掌握其概率的计算是关键．
根据概率的基本公式，计算抽中戏剧类社团的概率．
【详解】解：共有5类社团活动（舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧），每类被抽中的可
能性相等，抽中戏剧类社团属于其中1种可能结果，
∴概率为成功事件数除以总事件数，即： ，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键．
答案第1页，共2页根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解．
【详解】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，
∴ ，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．
将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程．
【详解】解： ．
方程两边同时乘以 ，得： ．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键．
根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题．
【详解】解：点 向右平移3个单位长度，横坐标 需加3，即 ，纵坐标
2保持不变，
∴平移后的点 坐标为 ，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．
全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有
破坏性或无法全面调查的情况．
【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学
的跳远成绩，适合全面调查，符合题意；
选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合
抽样调查，不符合题意；
选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意；
选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样
调查，不符合题意；
答案第2页，共2页故选：A．
8．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性
质．
根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可．
【详解】解：∵在四边形 中，对角线 与 互相垂直平分，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 的周长为 ，
故选： ．
9．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判
断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】 、当 时， ，所以点 在它的图象上，故选项不符合题意；
、由 可知 ，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意；
、当 时， 随 的增大而减小，故选项不符合题意；
、当 时， 随 的增大而减小，故符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出 的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解；由题意得， ，
∴劣弧 的长为 千米，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ．
根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】解：由题意得 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
答案第3页，共2页12．
【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13． ##
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
14．
【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键．
直接约去分子与分母的公因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
15．甲
【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问
题．
从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案．
【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时 秒，乙到达终点用时 秒，
∴甲先到达终点，
故答案为：甲．
16．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作
图方法可得 垂直平分 ，则点D为 的中点，据此可证明 是 的中位线，
答案第4页，共2页则可得到 ．
【详解】解：由作图方法可得 垂直平分 ，
∴点D为 的中点，
又∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外
角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出 ，再根据等边对等角
和三角形内角和定理求出 的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答
案．
【详解】解：∵八边形 是正八边形，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
18． 2 ##
【分析】本题主要①考②查了②勾股①定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，
等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得 ，据此求解即可；
（2）当 ， 时，可证明 ，由勾股定理的逆定理可判断①；当 ，
， 时，可得 ；当 时，可得 ，当 时，可得
答案第5页，共2页，则可求出 ，据此求出t的取值范围即可判断②；当 时，则
，则可得到 ；根据题意不妨设 ，则剩下两个数分别为
（n为正整数），则可得 ，解不等式组求出整数n即可判断③．
【详解】解：（1）∵ ， ， 是 的三条边长，且 是等边三角形，
∴ ，
∴
，
故答案为；2；
（2）①当 ， 时，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，故①正确；
②当 ， ， 时，
∵ ，
∴ ；
当 时，
答案第6页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴t随b的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，故②正确；
③当 时，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵a、b、c是三个相邻的正整数， ，
∴不妨设 ，则剩下两个数分别为 （n为正整数），
∵ ，
∴ ，
解得 ，
答案第7页，共2页∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个，
∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组，
∴满足条件的 的个数为6，故③错误；
故答案为：①②．
19．
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再
计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
20． ，2
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
21．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟
知相关知识是解题的关键．
（1）由切线的性质得到 ，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）由等边对等角得到 ，再由三角形内角和定理可得 ，则
可证明 ，进而可证明 ．
【详解】（1）解：∵ 与 相切与点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ;
（2）证明：∵ ，
答案第8页，共2页∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
(2)最多能购买 种材料20件．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．
（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求
解即可；
（2）设最多可以购买 种材料m件，则购买 种材料 件，根据题意列出不等式求
解即可．
【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，
依题意 ，
解得 ，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）解：设最多可以购买 种材料m件，则购买 种材料 件，
依题意得： ．
解得 ．
∴m的最大值为20．
答：最多能购买 种材料20件．
23．(1)见解析
(2)120人
(3)见解析
【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，方差与平均数，
正确理解题意是解题的关键．
（1）根据每个年级参与调查的人数都为20人，可求出 这一组的频数，再补全统
答案第9页，共2页计图与统计表即可；
（2）用200乘以样本中该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数占
比即可得到答案；
（3）根据题意可得八年级的平均数大于七年级的平均数，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得， 这一组的频数为 ，
补全统计图与统计表如下：
次数 分
画记 频数
组
T 2
正一 6
正正 10
T 2
（2）解： 人，
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人；
（3）解；由题意得，七年级的平均数为 ，八年级的平均数为 ，
∵ ，
∴七年级学生在此段时间内参加公益活动次数比八年级学生的少．
24．(1)14分米
(2)2分米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确
作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）可证明四边形 是矩形，得到 ；在 中，利用勾股定理求出
的长，进而求出 的长即可得到答案；
（2）过点E作 于H，延长 交 于T，则四边形 是矩形，可得
答案第10页，共2页；解 求出 的长，进而求出 的长，据此求出 的长即可得到答
案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
在 中， 分米， 分米，
∴ 分米，
∴ 分米，
∴ 分米，
答：该连衣裙 的长度为14分米；
（2）如图所示，过点E作 于H，延长 交 于T，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
在 中， 分米， ， ，
∴ 分米，
分米，
∴ 分米，
∴ 分米，
分米，
∴ 分米；
答：此时该连衣裙下端 点到地面水平线 的距离约为2分米．
25．(1)
(2)证明过程见详解
(3)证明过程见详解
答案第11页，共2页【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，根据题意得到 ，
， ，由此即可求解；
（2）根据题意得到 ， ， 是等腰直
角三角形，则 ， ， ，再证明
，则 ，且 ，由此即可求解；
（3）根据题意，设 ，则 ，在 中，
， ，
，如图所示，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，可得 ， ， ， ，
， ，可证 ，得到
，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵将三角形纸片 置于四边形纸片 内部，使得点 与点 重合，点 在线段
答案第12页，共2页上，延长 交线段 于点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：根据题意， ，
∴ ，
∵将三角形纸片 置于四边形纸片 内部，使得点 与点 重合，点 在线段
上，延长 交线段 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 在线段 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
答案第13页，共2页∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
在 中， ，
，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ， ，即 ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
答案第14页，共2页∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定
和性质，等边三角形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三
角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，解直角三角形的计算，
相似三角形的判定和性质，数形结合分析是关键．
26．(1)
(2)见解析
(3) 时， 的最大值为
【分析】（1）将 代入 ，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出 ， ， ，
答案第15页，共2页①当 时， ，因式分解得出 ，根据
得出 ；②当 时， ，因式分解得出
，根据 ，得出 ；
（3）延长 交 轴于点 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，证明
， ，得出 ，进而证明
，得出 ，结合已知可得 ，勾股定理求
得 ，进而证明 ，可得 ，则
，则 ，根据二次函数的
性质，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入 得，
，
解得：
∴
（2）证明：设直线 的解析式为 ，代入 得 ，
∴
∴直线 为 ，
∵ ， ，过点 作 轴交线段 于点 ．直线 、 都平行于
轴， 在 上，
答案第16页，共2页∴ ， ， ，
①当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
②当 时， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
（3）解：如图，延长 交 轴于点 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
∵ ，
∴ ， ，
答案第17页，共2页又∵ ， ，
∴ ，
∴
∴
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为
当 时， 即
又∵
∴
∵ 的解析式为
∴ ，
又∵
∴
∴ ，即
又∵ ，
答案第18页，共2页∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
当 时， 有最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三
角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
答案第19页，共2页
