文档内容
2025 年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得
分）
1．如表记录了某日我国四个城市的平均气温：
城市 北京 哈尔滨 威海 香港
气温（℃）
其中，平均气温最低的城市是（ ）
A．北京 B．哈尔滨 C．威海 D．香港
2．如图是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体．其左视图是（ ）
A． B． C．
D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统
前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速
度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学
记数法表示为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
5．如图，直线 ， ， ．若 ．则 等于（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
6．如图， 的中线 交于点F，连接 ．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点 都在二次函数 的图象上，则 的大小
关系是（ ）
A． B． C． D．
8．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形 中，对角线
交于点O．下列条件中，不能判断四边形 是筝形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖
试卷第2页，共3页的位置记为 ，其右边瓷砖的位置记为 ，其上面瓷砖的位置记为 ，按照这样
的规律，下列说法正确的是（ ）
A． 位置是B种瓷砖 B． 位置是B种瓷砖
C． 位置是A种瓷砖 D． 位置是B种瓷砖
10．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，
三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
．
将二进制数 化为三进制数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．计算： ．
12．若 ，则 ．
13．一个不透明的袋子中装有2个绿球、1个白球，每个球除颜色外都相同．小明同学从
袋中随机摸出1个球（不放回）后，小华同学再从袋中随机摸出1个球．两人摸到不同颜
色球的概率是 ．
试卷第3页，共3页14．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方
形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为 ．
15．如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，连接
．若 ，则 ．
16．把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形
可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形 的面积
等于四边形 面积的2倍，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（1）解不等式组 ，并把它的解集表示在数轴上；
（2）解分式方程 ．
18．为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测
评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总
试卷第4页，共3页成绩x（单位：分）分为三个等级：优秀 ，良好 ，一般
；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率．
阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学
生测评总成绩的相关数据，部分信息如下：
测评总成绩统计表
平均 中位 优秀 优良
数 数 率 率
阳光中
84.6 88 a
学
区市 85.3 87
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图；
(2)请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出
评价：
(3)每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同
学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和
实践创新成绩各占自百分比．
19．如图，某校有一块长 、宽 的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四
周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为 的9个
矩形地块，请你求出小路的宽度．
试卷第5页，共3页20．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度 ．测量方案如图所示：先从自家的阳
台点C处测得大楼顶部点B的仰角 的度数，大楼底部点A的俯角 的度数．然后在点
C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角 的度数．若 ， ， ，
，求大楼的高度 ．（精确到 ）．参考数据： ， ，
； ， ， ）
21．如图， 是 的切线，点A为切点．点B为 上一点，射线 交于点C，
连接 ，点D在 上，过点D作， ，交 于点F，作 ，垂足为点
E． ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
22．问题提出
试卷第6页，共3页已知 ， 都是锐角， ， ，求 的度数．
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出 和 ，请你按照这个思
路求 的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
策略迁移
（2）已知 ， 都是锐角， ， ，则 ___________ ；
（3）已知 ， ， 都是锐角， ， ， ，求 的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
23．（1）如图①，将平行四边形纸片 的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无
重叠的四边形 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图②，已知 能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形 ，
其中，点M在 上，点N在 上，点P在 上，点Q在 上．请用直尺和圆规确定
点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
24．已知抛物线 交x轴于点 ，点B，交y轴于点C．点C向右平移2
试卷第7页，共3页个单位长度，得到点D，点D在抛物线 上．点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
(2)连接 ，点M是线段 上一动点，连接 ，作射线 ．
①在射线 上取一点F，使 ，连接 ．当 的值最小时，求点M的坐
标；
②点N是射线 上一动点，且满足 ．作射线 ，在射线 上取一点G，使
．连接 ， ．求 的最小值；
(3)点P在抛物线 的对称轴上，若 ，则点P的坐标为
___________．
试卷第8页，共3页1．B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较四个城市的平均气温，找出最小的数值即可，
掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：根据表格数据可知， ，
∴平均气温最低的城市是哈尔滨，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，明确左视图是从物体的左面看到的图形是解题
的关键；
根据左视图是从物体的左面看到的图形判断即可.
【详解】解：几何体的左视图是：
故选：C
3．D
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除
法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n
答案第1页，共2页的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒 秒，然后根据科学记数
法的表示方法求解即可．
【详解】∵1皮秒 秒，
∴400皮秒 秒．
∴ 秒．
故选：A．
5．A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出 ，然后由平行线的性质得到 ，
然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】如图所示，
∵ ，
∴
∵
∴
∵
∴ ．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性
质等知识；
根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得
答案第2页，共2页，可得 ，再根据相似
三角形的性质进一步判断即可.
【详解】解：∵ 的中线 交于点F，
∴ ，
∴ ， ，故D选项结论正确；
∴ ， ，
∴ ， ， ，故A、C选项结论正确，B选项
结论错误；
故选：B.
7．C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直
线 ，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点 的横坐标 与 的距离为 ；点 的横坐标 与 的距离为 ；
点 的横坐标 与 的距离为 ．
∵ ，
∴ ，
故选C．
8．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识；
根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明 可判断B、C选项，
由 ， 不能判断 ， 即可判断D选项，进而可得答
答案第3页，共2页案.
【详解】解：A、∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴四边形 是筝形；
B、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是筝形；
C、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是筝形；
D、由 ， 不能判断 ， ，故不能判断四边形
是筝形；
故选：D.
9．B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；
根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规
律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可.
【详解】解：A种瓷砖的位置： ，
，
B种瓷砖的位置： ，
，
由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为
（单数，单数)，(双数，双数）；
∴ 位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；
答案第4页，共2页位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；
位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；
位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；
故选：B.
10．A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即
可．
将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进
制数．
【详解】∵二进制数 的各位权值从右到左依次为 ，
对应数值为：
∴二进制数 对应的十进制数为 11．
将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”：
，余数为2；
，余数为0；
，余数为1．
将余数倒序排列，得到三进制数为 ．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即
可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
．
答案第5页，共2页12．
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．
先将 变形为 ，然后将 变形为 ，再整体代入求
解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的
关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算
公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中两人摸到不同颜色球的结果数有4种，
∴两人摸到不同颜色球的概率是 ．
故答案为： ．
14． ##
【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解
等知识；
如图，设 ，则 ，根据勾股定理列出方程求解
答案第6页，共2页即可．
【详解】解：如图，设 ，则 ，
则在直角三角形 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴正方体的棱长为 cm，
故答案为： ．
15． ##
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数
的几何意义，过点A作 轴于C，过点B作 轴，可证明 ，得
到 ，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到
，则 ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作 轴于C，过点B作 轴，
答案第7页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．
【分析】首先表示出四边形 的面积和四边形 面积，然后根据题意得到
，整理得到 ， ，设 ，
答案第8页，共2页得到 ，然后解方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，四边形 的面积
四边形 面积
∵四边形 的面积等于四边形 面积的2倍
∴
整理得，
∴
设 ，
∴
解得 或 （舍去）
∴
故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌
握以上知识点．
17．（1） ，数轴表示见解析；（2）
【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组
和分式方程的方法是解题的关键；
（1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，
进而在数轴上表示解集即可；
（2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案
答案第9页，共2页【详解】解：（1） ，
解不等式①，得 。
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集是 ，
不等式组的解集在数轴上表示为：
（2）
去分母，得 ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
所以原方程的解是
18．(1)100， ，见解析
(2)见解析
(3)知识测试成绩占的百分比为 ，实践创新成绩占的百分比为 ．
【分析】此题考查了条形统计图，中位数和加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识．
（1）首先根据阳光中学的优秀率求出参赛人数，然后求出良好的人数，然后除以总人数即
可求出优良率a的值，然后补全统计图即可；
（2）从中位数和优良率分析判断即可；
（3）设知识测试成绩占的百分比为 ，则实践创新成绩占的百分比为 ，根据加权平
均数列方程求解即可．
【详解】（1）∵阳光中学的优秀率
∴阳光中学参赛人数为 （人）
∴∴阳光中学良好的人数为
∴阳光中学的优良率 ；
补全统计图如下：
答案第10页，共2页（2）从中位数看，阳光中学的中位数大于区市的中位数
∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好；
从优良率看，阳光中学的优良率大于区市的优良
∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好；
（3）设知识测试成绩占的百分比为 ，则实践创新成绩占的百分比为
根据题意得，
解得 ，
∴知识测试成绩占的百分比为 ，实践创新成绩占的百分比为 ．
19．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为 ，根据题意可知种
植园的面积等于一个长为 ，宽为 的矩形面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽度为 ，
由题意得， ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
答：小路的宽度为 ．
20．大楼的高度 约为 ．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的
答案第11页，共2页性质等知识，过 作 于 ，过 作 于 ，则四边形 是矩形，根
据矩形的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，
设 ，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，则四边形 是矩
形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：大楼的高度 约为 ．
21．(1)见解析
(2)
答案第12页，共2页【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角
形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，证明 ，则 ，而 ，则 ，由于
是 的切线，则 ，再由等式的性质即可证明；
（2）可得 ，设 ，则 ， ，由切
线长定理得到 ，则 ，求出 ，即可求解半径．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
答案第13页，共2页设 ，
∴ ， ，
∵ 是 的切线， 是 的切线，
∴ ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴半径为 ．
22．（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】本题考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会路
数形结合的思想解决问题．
（1）连接 ，利用等腰直角三角形的性质求解；
（2）构造等腰直角三角形 可得结论；
（3）构造直角三角形 可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，连接 ，
，
，
，
∴ 是等腰直角三角形，
， ，
答案第14页，共2页；
（2）如图2中，连接 ，
由题意， ， ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
，
故答案为： ；
（3）如图2中，
由题意知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
答案第15页，共2页∴ 是直角三角形，
．
23．（1）四边形 是矩形，理由见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，解题的关键是掌握平行
四边形的性质．
（1）四边形 是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；
（2）分别以点 为圆心，大于 为半径作弧，交于点 ，连接 ， 即为
的垂直平分线，以点 为中心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ，分别以点
为圆心，大于 为半径作弧，连接两个交点，延长交 于点 ，点 即为所作．
【详解】解：（1）四边形 是矩形，理由如下：
由折叠的性质可知， ， ，
，
，
，即 ，
同理可得： ，
∴四边形 是矩形；
（2）如图，分别以点 为圆心，大于 为半径作弧，交于点 ，连接 ，
即为 的垂直平分线，以点 为中心， 长为半径作弧交 的延长线于点 ，分别以
点 为圆心，大于 为半径作弧，连接两个交点，延长交 于点 ，点 即为
所作，相同方法可作出 ，连接 ，四边形 即为所求．
24．(1) ，
答案第16页，共2页(2)① ；②
(3) 或
【分析】（1）令 ，则 ，得到 ，根据平移得到 ，进而根据抛物
线 过点 ， ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为
．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标；
（2）①当点O，M，F三点共线时， 为最小值．对于抛物线 ，
令 ，求出 ，进而可得直线 的解析式为 ．由点F在射线CD上，
，得到 ，从而可得直线 的解析式为 ．解方程组 即可
解答；
②由 ， ，得到 是等腰直角三角形，从而 ．连接 ，
，由两点间距离公式可得 ， ，从而 ，即可得到
是等腰直角三角形，因此 ，从而证得 ，得到
，进而有 ．证明 ，根据勾股定理求出
，即可解答．
（3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点 ，连接 ，得到 是等
腰直角三角形， ，即可推出 ．过点A作 于点K，设
答案第17页，共2页对称轴与x轴的交点为Q，则 ，从而 ，得到 ．
根据 的面积求得 ，进而在 中， ，把相关
数据代入 ，即可求得 ，从而 ．②当点P在x轴下方时，由对称性可
得 ．即可解答．
【详解】（1）解：对于抛物线 ，令 ，则 ，
∴ ，
∵点C向右平移2个单位长度，得到点D，
∴ ，
∵抛物线 过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴抛物线的顶点E的坐标为 ．
（2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时， 为最小值．
答案第18页，共2页对于抛物线 ，令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
设过点 ， 的直线解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵点F在射线 上， ， ，
∴ ，
∴由点 ， 可得直线 的解析式为 ，
答案第19页，共2页解方程组 得 ，
∴当 的值最小时，点M的坐标为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
连接 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
答案第20页，共2页∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 轴，即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
（3）解：①当点P在x轴上方时，
取点 ，连接 ，
答案第21页，共2页∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
过点A作 于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
答案第22页，共2页∴在 中， ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点P在x轴下方时，由对称性可得 ．
综上所述，点P的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，
全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段
最短等，综合运用相关知识是解题的关键．
答案第23页，共2页
