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2022年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．（3分）（2022•威海）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
2．（3分）（2022•威海）如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜
色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022•威海）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9 B．（a3）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．a3+a3＝2a3
5．（3分）（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，
法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点
P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
第1页（共34页）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
6．（3分）（2022•威海）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．
若MN∥PQ，则点N的坐标可能是（ ）
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
7．（3分）（2022•威海）试卷上一个正确的式子（ + ）÷★＝ 被小颖同学不小心滴
上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022•威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象过点（2，0），下列结论错误的
是（ ）
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
第2页（共34页）D．点（x ，y ），（x ，y ）在二次函数的图象上，当x ＞x ＞2时，y ＜y ＜0
1 1 2 2 1 2 2 1
9．（3分）（2022•威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）（2022•威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝
∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB ＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积
为（ ）
第3页（共34页）A．（ ）3 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．（3分）（2022•威海）因式分解：ax2﹣4a＝ ．
12．（3分）（2022•威海）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是 ．
13．（3分）（2022•威海）某小组6名学生的平均身高为acm，规定超过acm的部分记为正数，
不足acm的部分记为负数，他们的身高与平均身高的差值情况记录如下表：
学生序号 1 2 3 4 5 6
身高差值（cm） +2 x +3 ﹣1 ﹣4 ﹣1
据此判断，2号学生的身高为 cm．
14．（3分）（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是
．
15．（3分）（2022•威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为
（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点C，则k的值为
第4页（共34页）．
16．（3分）（2022•威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用
今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的
方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一
个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，
则mn＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）（2022•威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
18．（7分）（2022•威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的
河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得
AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确
到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ，sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ．
第5页（共34页）19．（7分）（2022•威海）某学校开展“家国情•诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，
从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据
（m/分钟）．
将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：
平均每天阅读时间统计表
等级 人数（频数）
A（10≤m＜20） 5
B（20≤m＜30） 10
C（30≤m＜40） x
D（40≤m＜50） 80
E（50≤m≤60） y
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）求x的值；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 ；
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全
校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．
20．（8分）（2022•威海）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至
点E． ⊙
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3， O的半径为2，求sin∠BAC．
第6页（共34页）
⊙21．（9分）（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围
成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出
入门）．求鸡场面积的最大值．
22．（11分）（2022•威海）（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
（2）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 ，BC＝7，CF＝ ，求四边形AGCH
的面积．
23．（12分）（2022•威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为
点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
第7页（共34页）归纳概括
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3
上画出草图．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点
为点 D．点 M 为该抛物线上一动点（不与点 A，B，D 重合）， ．
24．（12分）（2022•威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C
重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，
使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还
相等吗？请解决下面的问题：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件
（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
第8页（共34页）探究：用数学的语言表达
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重
合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，
说明理由．
第9页（共34页）2022年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．（3分）（2022•威海）﹣5的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是
0．
2．（3分）（2022•威海）如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握从上面看到的图形是俯视图是解答本题的关键．
第10页（共34页）3．（3分）（2022•威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜
色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性
有2种，从而可以计算出相应的概率．
【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，
∴从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，
∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ，
故选：A．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
4．（3分）（2022•威海）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9 B．（a3）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．a3+a3＝2a3
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法
则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵a3•a3＝a6≠a9，
∴选项A不符合题意；
∵（a3）3＝a9≠a6，
∴选项B不符合题意；
∵a6÷a3＝a3≠a2，
∴选项C不符合题意；
∵a3+a3＝2a3，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，掌握同底
数幂的乘法法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则是解决问题的
关键．
5．（3分）（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，
法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点
P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
第11页（共34页）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：
根据图形可以看出OB是反射光线，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的性质，垂线的画法，根据直线的性质补全光线是解题的关键．
6．（3分）（2022•威海）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．
若MN∥PQ，则点N的坐标可能是（ ）
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
【分析】由P（0，2）平移得到M（1，4），横坐标加1，纵坐标加2；因此Q（3，0）要平移得到N
点，也是横坐标加1，纵坐标加2，得到点的坐标为（4，2）．
第12页（共34页）【解答】解：如下图所示，
∵P（0，2），Q（3，0）M（，1，4），
MN∥PQ，
∴N（4，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查用坐标来表示平移．
7．（3分）（2022•威海）试卷上一个正确的式子（ + ）÷★＝ 被小颖同学不小心滴
上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知分式得出被墨水遮住部分的代数式是（ + ）÷ ，再根据分式的
运算法则进行计算即可；
【解答】解：（ + ）÷★＝ ，
∴被墨水遮住部分的代数式是（ + ）÷
＝ •
＝ •
＝ ；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，
注意运算顺序．
8．（3分）（2022•威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象过点（2，0），下列结论错误的
第13页（共34页）是（ ）
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x ，y ），（x ，y ）在二次函数的图象上，当x ＞x ＞2时，y ＜y ＜0
1 1 2 2 1 2 2 1
【分析】根据二次函数的图象和性质作出判断即可．
【解答】解：根据图象知，当x＝1时，y＝a+b＞0，
故B选项结论正确，不符合题意，
∵a＜0，
∴b＞0，
故A选项结论正确，不符合题意，
根据图象可知x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根，
故C选项结论正确，不符合题意，
若点（x ，y ），（x ，y ）在二次函数的图象上，
1 1 2 2
当x ＞x ＞2时，y ＜y ＜0，
1 2 1 2
故D选项结论不正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键．
9．（3分）（2022•威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）
A．
第14页（共34页）B．
C．
D．
【分析】根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定和性质进行分析判断．
【解答】解：选项A，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵QA＝QB，
∴点Q在线段AB的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项B，连接PA，PB，QA，QB，
第15页（共34页）∵PA＝QA，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB＝QB，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；
选项D，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA＝QA，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB＝QB，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图，准确识图，掌握线段垂直平分线的判定和性质是解题关键．
10．（3分）（2022•威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝
∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB ＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积
为（ ）
第16页（共34页）A．（ ）3 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）6
【分析】根据余弦的定义得到OB＝ OA，进而得到OG＝（ ）6OA，根据位似图形的概
念得到△GOH与△AOB位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，
∵cos∠AOB＝ ，
∴OB＝ OA，
同理，OC＝ OB，
∴OC＝（ ）2OA，
……
OG＝（ ）6OA，
由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（ ）6，
∵S△AOB ＝1，
∴S△GOH ＝[（ ）6]2＝（ ）6，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质、余弦的定义，正确判断出与
△AOB位似的三角形是△GOH是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．（3分）（2022•威海）因式分解：ax2﹣4a＝ a （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
第17页（共34页）【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【解答】解：ax2﹣4a
＝a（x2﹣4）
＝a（x﹣2）（x+2）．
故答案为：a（x﹣2）（x+2）．
【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握因式分解的方法：提公因式、乘法公式、十字
相乘法和分组分解法是解题的关键．
12．（3分）（2022•威海）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是 m ＜ 5 ．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，代入求解即可．
【解答】解：由题意可得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）＝20﹣4m＞0，
解得m＜5．
故答案为：m＜5．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，牢记：根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若一元二次
方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0；若有两个相等的实数根，则Δ＝0，；
若无实数根，则Δ＜0．
13．（3分）（2022•威海）某小组6名学生的平均身高为acm，规定超过acm的部分记为正数，
不足acm的部分记为负数，他们的身高与平均身高的差值情况记录如下表：
学生序号 1 2 3 4 5 6
身高差值（cm） +2 x +3 ﹣1 ﹣4 ﹣1
据此判断，2号学生的身高为 （ a + 1 ） cm．
【分析】根据平均数的定义解答即可．
【解答】解：∵6名学生的平均身高为acm，
∴2+x+3﹣1﹣4﹣1＝0，
解得x＝1，
故2号学生的身高为（a+1）cm．
故答案为：（a+1）．
【点评】本题考查了算术平均数，掌握平均数的计算公式是解答本题的关键．
14．（3分）（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 1
．
第18页（共34页）【分析】不知x的正负，因此需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：当x＞0时， +1＝2，
解得x＝1．
当x≤0时，2x﹣1＝2，
解得x＝1.5，
∵1.5＞0，舍去．
所以x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题中的字母表示的数没有明确告知正负数时，需要分类讨论，再代入解方程，注
意：解必须在条件下才成立．
15．（3分）（2022•威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为
（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点C，则k的值为
24 ．
第19页（共34页）【分析】作CE⊥OB于E，利用AAS证明△AOB≌△BEC，得OA＝BE，OB＝CE，可得点C
的坐标，从而得出k的值．
【解答】解：作CE⊥OB于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠OBA+∠CBE＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠CEB，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OA＝BE，OB＝CE，
∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．
∴OA＝2，OB＝4，
∴BE＝2，CE＝4，
∴C（4，6），
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点C，
∴k＝4×6＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点
的坐标的特征等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（3分）（2022•威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用
今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的
第20页（共34页）方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一
个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，
则mn＝ 1 ．
【分析】直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出n的值，再根据如何一
个不等于0的数的0次幂都等于1，即可得出答案．
【解答】解：设右下角方格内的数为x，
根据题意可知：x﹣4+2＝x﹣2+n，
解得n＝0，
∴mn＝m0＝1（m＞0）．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方，推理与论证，有理数的加法，正确得出n的值是解
题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）（2022•威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
【分析】根据解一元一次不等式组的一般步骤，进行计算即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x＞2，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，
第21页（共34页）∴原不等式组的解集为2＜x≤5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解决问
题的关键．
18．（7分）（2022•威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的
河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得
AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确
到0.1m）．
参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ，sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ．
【分析】过点M作MN⊥AB，垂足为N，设MN＝x米，分别在Rt△ANM和Rt△MNB中，利
用锐角三角函数的定义求出AN，BN的长，然后根据AB＝50米，列出关于x的方程，进行
计算即可解答．
【解答】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N，
设MN＝x米，
在Rt△ANM中，∠MAB＝22°，
∴AN＝ ≈ ＝ x（米），
在Rt△MNB中，∠MBN＝67°，
∴BN＝ ≈ ＝ x（米），
∵AB＝50米，
∴AN+BN＝50，
∴ x+ x＝50，
∴x≈17.1，
第22页（共34页）∴这段河流的宽度约为17.1米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（7分）（2022•威海）某学校开展“家国情•诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，
从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据
（m/分钟）．
将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：
平均每天阅读时间统计表
等级 人数（频数）
A（10≤m＜20） 5
B（20≤m＜30） 10
C（30≤m＜40） x
D（40≤m＜50） 80
E（50≤m≤60） y
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）求x的值；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 D ；
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全
校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．
【分析】（1）用200乘C等级所占百分比即可得出x的值；
第23页（共34页）（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）由题意得x＝200×20%＝40；
（2）把200个学生平均每天阅读时间从小到大排列，排在中间的两个数均落在D等级，
故答案为：D；
（3）被抽查的200人中，不低于50分钟的学生有200﹣5﹣10﹣40﹣80＝65（人），
1800× ＝585（人），
答：估计受表扬的学生有585人．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，解题的关键是掌握“频率＝频数÷总数”．
20．（8分）（2022•威海）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至
点E． ⊙
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3， O的半径为2，求sin∠BAC．
⊙
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
（2）连接CO并延长交 O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝
∠BAC，解直角三角形即⊙可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC， ⊙
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交 O于点F，连接BF，
⊙
第24页（共34页）则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF＝ ＝ ，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝ ．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆
周角定理是解题的关键．
21．（9分）（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围
成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出
入门）．求鸡场面积的最大值．
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列函数关系式，从而利用二次函数
的性质求其最值．
【解答】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（47﹣2x+1）m，由
题意可得：
y＝x（47﹣2x+1），
即y＝﹣2（x﹣12）2+288，
∵﹣2＜0，
∴当x＝12时，y有最大值为288，
当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），
∴鸡场的最大面积为288m2．
第25页（共34页）【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．
22．（11分）（2022•威海）（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
（2）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 ，BC＝7，CF＝ ，求四边形AGCH
的面积．
【分析】（1）①由矩形的性质得∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，则四边形AGCH是平
行四边形，再由平行四边形的性质得GC＝AG，即可得出结论；
②设GC＝AG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解得x＝5，即可
解决问题；
（2）设GC＝a，则BG＝7﹣a，证四边形AGCH是平行四边形，再证△ABG∽△CFG，得AG
＝2a，然后由勾股定理得出方程，得CG＝3，即可解决问题．
【解答】解：（1）①四边形AGCH是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵S平行四边形AGCH ＝GC•AB＝AG•CF，AB＝CF，
∴GC＝AG，
∴平行四边形AGCH是菱形；
②由①可知，GC＝AG，
设GC＝AG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△ABG中，AB＝4，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
第26页（共34页）解得：x＝5，
∴GC＝5，
∴S菱形AGCH ＝GC•AB＝5×4＝20；
（2）设GC＝a，则BG＝7﹣a，
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵∠AGB＝∠CGF，∠B＝∠F，
∴△ABG∽△CFG，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AG＝2a，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：（2 ）2+（7﹣a）2＝（2a）2，
解得：a＝3或a＝﹣ （不合题意舍去），
∴CG＝3，
∴S平行四边形AGCH ＝CG•AB＝3×2 ＝6 ．
设GC＝a，则BG＝7﹣a，
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵∠AGB＝∠CGF，∠B＝∠F，
∴△ABG∽△CFG，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AG＝2a，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：（2 ）2+（7﹣a）2＝（2a）2，
解得：a＝3或a＝﹣ （不合题意舍去），
第27页（共34页）∴CG＝3，
∴S平行四边形AGCH ＝CG•AB＝3×2 ＝6 ．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、
相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解
题的关键．
23．（12分）（2022•威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为
点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
归纳概括
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3
上画出草图．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点
为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合）， 作 MN ⊥ x 轴于 N ，直线 DM
交 直 线 x ＝ 1 于 Q ， 则 QN ∥ AD ．
第28页（共34页）【分析】（1）①将点A和B点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，b的值，从而得出
抛物线的解析式，从而得出点D和点C坐标，进而求得E点坐标和AD的解析式，再求出
OE的解析式，从而得出结论；
②方法①求得GH的解析式，进而得出结论；
（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x＝1于Q，则QN∥AD，方法同①相同可推出结论．
【解答】解：（1）①由题意得，
，
∴ ，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D（﹣1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y＝mx+n，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x+3，
∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y＝2x，
设直线AD的解析式为y＝cx+d，
∴ ，
∴ ，
∴y＝2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y＝ex+f，
∴ ，
∴ ，
第29页（共34页）∴y＝﹣3x+1，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1+1＝﹣2，
∴H（1，﹣2），
设直线GH的解析式为：y＝gx+h，
∴ ，
∴ ，
∴y＝2x﹣4，
∴AD∥HG；
（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x＝1于Q，则QN∥AD，理由如下：
设M（m，﹣m2﹣2m+3），
设直线DM的解析式为y＝px+q，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣（m+1）x+（﹣m+3），
∴当x＝1时，y＝﹣m﹣1﹣m+3＝﹣2m+2，
∴Q（1，﹣2m+2），
设直线NQ的解析式为：y＝ix+j，
∴ ，
∴ ，
∴y＝2x﹣2m，
∴QN∥AD．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数解析式，一次函数图象性质等知识，
解决问题的关键是需要有较强的计算能力．
24．（12分）（2022•威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
第30页（共34页）②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C
重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，
使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还
相等吗？请解决下面的问题：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件
（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
探究：用数学的语言表达
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重
合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，
说明理由．
【分析】（1）①证明△BCD≌△CBE（ASA），推出BD＝CE即可；
②证明△BCD≌△CBE（SAS），推出BD＝CE即可；
（2）添加条件：BE＝CD（答案不唯一）．利用全等三角形的性质证明即可；
（3）能．设CF＝x，假设BF＝AB，利用相似三角形的性质求出x的值，即可判断．
【解答】（1）证明：①∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，
第31页（共34页）同理∠ECB＝ ∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴BD＝CE；
②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D是AC的中点，
∴CD＝ AC，
同理BE＝ AB，
∴BE＝CD，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：添加条件：BE＝CD（答案不唯一）．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠EBC＝∠ACB+∠BCD＝180°，
∴∠CBE＝∠BCD，
在△BCD和△CBE中，
，
第32页（共34页）∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴BD＝CE；
（3）能．
理由：如图3中，值AC上取一点D，使得BD＝CE
若BF＝CE，则BF＝BD，反之也成立．
∵BD＜AB，
∴BF＜AB，
显然BD越大，BF就越大，CF也越大，
假设BF＝AB，
∵∠A＝36°，
∴∠BFA＝∠A＝36°，
∴∠ABF＝180°﹣2×36°＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BCF＝180°﹣72°＝108°，
∴∠BCF＝∠ABF，
∵∠BCF＝∠ABF，∠BFC＝∠AFB，
∴△BFC∽△AFB，
∴ ＝ ，
设CF＝x，
∵AB＝AC＝2，
第33页（共34页）∴BF＝2，AF＝2+x，
∴ ＝ ，
解得x＝ ﹣1或﹣ ﹣1，
经检验x＝ ﹣1是分式方程的解，且符合题意，
∴CF＝ ﹣1，
∵E与A不重合，
∴0＜CF＜ ﹣1．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相
似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问
题，属于中考常考题型．
第34页（共34页）
