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专题 4.3 有理数的简便计算六大类型
【人教版2024】
【类型1 归类—同号相加，同分母相加】..............................................................................................................1
【类型2 凑整—将和（积）为整数的数相结合】.................................................................................................4
【类型3 变序—逆向思维，方便约分和计算】.....................................................................................................6
【类型4 组合—找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目】.........................................................8
【类型5 拆分—将（代）分数拆分】......................................................................................................................9
【类型6 换位—将被除数与除数颠倒位置】.......................................................................................................13
【类型1 归类—同号相加，同分母相加】
3 1 3 1
1．计算﹣1 −（− ）+3 +（﹣2 ）
4 8 8 4
3 1 1 3
【分析】首先把减法变成加法，根据有理数的加法法则分别计算﹣1 −2 和 +3 即可．
4 4 8 8
3 1 3 1
【解答】解：原式＝﹣1 +（+ ）+3 +（﹣2 ）
4 8 8 4
3 1 1 3
＝﹣1 −2 + +3
4 4 8 8
1
＝﹣4+3
2
1
=− ．
2
1 1 1 1 1
2．计算：(−1 )+(+1 )+(−2 )−(−3 )−(+1 )
2 4 2 4 4
【分析】先省略括号统一成有理数的加法运算，再运用运算律使运算更加简便．
1 1 1 1 1
【解答】解：原式＝﹣1 +1 −2 +3 −1
2 4 2 4 4
1 1 1 1 1
＝﹣1 −2 +1 −1 +3
2 2 4 4 4
1
＝﹣4+3
43
=−
4
1 1 5 2
3．用简便方法计算：− −(+1 )−(− )−(+4 )．
8 3 8 3
【分析】先化为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律把分母相同的两个数先加即可．
1 1 5 2
【解答】解：− −(+1 )−(− )−(+4 )
8 3 8 3
1 1 5 2
=− −1 + −4
8 3 8 3
1 2 5 1
=(−1 −4 )+( − )
3 3 8 8
1
=−6+
2
1
=−5 ．
2
4．用简便方法运算．
①1.4+（﹣0.2）+0.6+（﹣1.8）；
1 3 2 1 1
②(− )+ +(− )+ +(− )．
2 5 3 2 3
【分析】①利用加法的运算律解答即可；
②利用加法的运算律解答即可．
【解答】解：①原式＝（1.4+0.6）+（﹣0.2﹣1.8）
＝2+（﹣2）
＝0；
1 1 2 1 3
②原式＝（− + ）﹣（ + ）+
2 2 3 3 5
3
＝0﹣1+
5
2
=− ．
5
5．计算：
（1）（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4）；
1 3 3 2
（2）(−3 )+2.19+5 +(−4 )+7.81+(−4 )．
3 8 4 3
【分析】（1）利用加法交换律和结合律进行计算即可；（2）利用加法交换律和结合律进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝[（﹣2）+2]+[3+（﹣3）]+1+（﹣4）
＝0+0+1+（﹣4）
＝﹣3．
1 2 3 3
（2）原式=[(−3 )+(−4 )]+(2.19+7.81)+[5 +(−4 )]
3 3 8 4
5
=−8+10+
8
5
=2+
8
5
=2 ．
8
6．用简便方法计算：
1 2 5 1 1
（1） +（− ）+ +（− ）+（− ）；
4 3 6 4 3
1 1
（2）3.587﹣（﹣5）+（﹣5 ）+（+7）﹣（+3 ）﹣（+1.587）．
2 4
【分析】（1）根据加减结合律与交换律即可求出答案．
（2）根据加减结合律与交换律即可求出答案．
1 1 2 1 5
【解答】解：（1）原式＝（ − ）+（− − ）+
4 4 3 3 6
5
＝0﹣1+
6
1
=− ．
6
1 1
（2）原式＝3.587+5﹣5 +7﹣3 −1.587
2 4
1 1
＝3.587﹣1.587+5﹣5− +7﹣3−
2 4
1 1
＝（3.587﹣1.587）+（5﹣5）− − +（7﹣3）
2 4
3
＝2+0− +4
4
3
＝6−
421
= ．
4
【类型2 凑整—将和（积）为整数的数相结合】
3 1 3
1．8 −0.625+(1 −6 )．
4 4 8
【分析】先去括号，然后利用加法的交换律与减法的性质计算即可．
3 1
【解答】解：原式＝8 −0.625+1 −6.375
4 4
3 1
＝（8 +1 ）﹣（0.625+6.375）
4 4
＝10﹣7
＝3．
1 2 1
2．计算：(−4 )−(−2.75)−5 +3 ．
3 3 4
【分析】根据有理数的减法法则，把减法化成加法，再写成省略加号和的形式，最后进行有理数的简便
计算即可．
1 3 2 1
【解答】解：原式=−4 +2 −5 +3
3 4 3 4
3 1 1 2
=2 +3 −4 −5
4 4 3 3
＝6﹣10
＝﹣4．
1 1 3
3．简便运算：12 −（+1.75）﹣（﹣5 ）+（﹣7.25）﹣（﹣2 ）﹣2.5．
4 2 4
【分析】先运用加法的交换律和结合律，在进行加减运算．
1 1 3
【解答】解：12 −（+1.75）﹣（﹣5 ）+（﹣7.25）﹣（﹣2 ）﹣2.5
4 2 4
＝（12.25+2.75）﹣（1.75+7.25）+（5.5﹣2.5）
＝15﹣9+3
＝9．
4．用简便方法计算：
3
（1）0.85+0.75−(+2 )+(−1.85)+(+3)；
44 2 1 1
（2）(+1 )−(+ )+110 −(−0.2)−(+10 )−110.5．
5 3 2 3
【分析】（1）先把分数化为小数，再利用加法的交换律和结合律；
（2）先把减法转化为加法，再利用加法的交换律和结合律．
3
【解答】解：（1）0.85+0.75−(+2 )+(−1.85)+(+3)
4
＝0.85+0.75﹣2.75﹣1.85+3
＝（0.85﹣1.85）+（0.75﹣2.75）+3
＝﹣1﹣2+3
＝0；
4 2 1 1
（2）(+1 )−(+ )+110 −(−0.2)−(+10 )−110.5
5 3 2 3
4 2 1
＝1 − +110.5+0.2﹣10 −110.5
5 3 3
2 1
＝（1.8+0.2）﹣（ +10 ）+（110.5﹣110.5）
3 3
＝2﹣11
＝﹣9．
5．用简便方法计算：
3 1
（1）0.75+（﹣2 ）+（+0.125）+（﹣4 ）；
4 8
2 3
（2）（﹣6.8）+4 +（﹣3.2）+6 +（﹣5.7）+（+5.7）．
5 5
【分析】（1）先统一化为小数（分数）再相加；
（2）先统一化为小数（分数）再相加．
3 1
【解答】解：（1）0.75+（﹣2 ）+（+0.125）+（﹣4 ）
4 8
＝（0.75﹣2.75）+（﹣4.125+0.125）
＝﹣2﹣4
＝﹣6；
2 3
（2）（﹣6.8）+4 +（﹣3.2）+6 +（﹣5.7）+（+5.7）
5 5
＝（﹣6.8﹣3.2）+（4.4+6.6）+（﹣5.7+5.7）
＝﹣10+11+0＝1．
6．用简便方法计算：
4 1 3
（1）15.5+（﹣3 ）+（﹣5 ）+（﹣3 ）；
7 2 7
1 1 3 5
（2）（+13 ）+（﹣55 ）+（+7 ）+（﹣14 ）+（+11.7）．
4 6 4 6
【分析】根据有理数的加法，利用加法的交换律和结合律进行简便计算，即可解答．
4 1 3
【解答】解：（1）15.5+（﹣3 ）+（﹣5 ）+（﹣3 ）
7 2 7
1 4 3
＝[15.5+（﹣5 ）]+[﹣3 +（﹣3 ）]
2 7 7
＝10+（﹣7）
＝3．
1 1 3 5
（2）（+13 ）+（﹣55 ）+（+7 ）+（﹣14 ）+（+11.7）．
4 6 4 6
1 3 1 5
＝[（+13 ）+（+7 ）]+[（﹣55 ）+（﹣14 ）]+（+11.7）
4 4 6 6
＝21+（﹣70）+11.7
＝32.7+（﹣70）
＝﹣37.3．
【类型3 变序—逆向思维，方便约分和计算】
8 7 8
1．用简便方法计算： ×16−25÷ +|−2|× ．
7 8 7
【分析】先根据绝对值的性质去掉绝对值号，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘
法，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
8 7 8
【解答】解： ×16﹣25÷ +|﹣2|× ，
7 8 7
8 8 8
= ×16﹣25× +2× ，
7 7 7
8
= （16﹣25+2），
7
8
= ×（﹣7），
7
＝﹣8．1 5 5 1 5 5
2．1 × −(− )×2 +(− )× （用简便方法计算）
2 7 7 2 2 7
5
【分析】提取 ，逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
7
1 5 5 1 5 5
【解答】解：1 × −（− ）×2 +（− ）× ，
2 7 7 2 2 7
1 5 5 1 5 5
＝1 × + ×2 +（− ）× ，
2 7 7 2 2 7
5 1 1 5
= ×（1 +2 − ），
7 2 2 2
5 3
= × ，
7 2
15
= ．
14
1 1 1 1 1
3．计算：31 ×41 −11 ×41 ×2﹣9.5×11 ．
3 2 3 2 3
【分析】把中间一项的乘2写成两个项的和，然后分别利用乘法分配律的逆运用进行计算即可得解．
1 1 1 1 1
【解答】解：31 ×41 −11 ×41 ×2﹣9.5×11
3 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1
＝31 ×41 −11 ×41 −11 ×41 −9.5×11
3 2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 1
＝41 ×（31 −11 ）﹣11 ×（41 +9.5）
2 3 3 3 2
1 1
＝41 ×20﹣11 ×51
2 3
1 1
＝（41+ ）×20﹣（11+ ）×51，
2 3
1 1
＝41×20+ ×20﹣11×51− ×51，
2 3
＝820+10﹣561﹣17，
＝252．
7 11 1 1
4．计算：45×(−25)× ×(− )÷ ×(−1 )．
8 15 4 7
【分析】先确定符号．把除法化为化为乘法，带分数化为假分数，最后计算出结果．
7 11 1 1
【解答】解：45×（﹣25）× ×（− ）÷ ×（﹣1 ）
8 15 4 77 11 8
＝﹣（45×25× × ×4× ）
8 15 7
7 8 11
＝﹣（ × ×45× ×25×4）
8 7 15
＝﹣3300．
7 7 7
5．利用适当的方法计算： ×(−9)+ ×(−18)+ ．
13 13 13
7
【分析】逆用乘法的分配律，将 提到括号外，然后先计算括号内的部分，最后再算乘法即可．
13
7
【解答】解：原式= ×（﹣9﹣18+1）
13
7
= ×（﹣26）
13
＝﹣14．
1 1
6．用简便方法计算：（﹣3）×（− ）+0.25×24.5+（﹣3 ）×25%
4 2
【分析】先转化，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
1 1
【解答】解：（﹣3）×（− ）+0.25×24.5+（﹣3 ）×25%，
4 2
1 1 1 1
＝3× + ×24.5+（﹣3 ）× ，
4 4 2 4
1
= ×（3+24.5﹣3.5），
4
1
= ×24，
4
＝6．
7 3
7．计算：19× +1.75×(−10)−(1 )×(−7)．
4 4
【分析】根据乘法分配律，可简化运算，根据有理数的乘法，可得答案．
7
【解答】解：原式＝（19﹣10+7）×
4
7
＝16×
4
＝28．【类型4 组合—找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目】
1 1 1 1 1 1 1
1．简便计算：（1− ）+（ − ）+( − )+⋯+（ − ）．
2 2 ¿¿ 3 4 99 100
1
【分析】去括号后合并同类项得出结果是1− ，求出即可．
100
1 1 1 1 1 1 1
【解答】解：原式＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 99 100
1
＝1−
100
99
= ．
100
2．计算：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+4999﹣5000．
【分析】从左边开始，相邻的两项分成一组，组共分成2500组，每组的和是﹣1，据此即可求解．
【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+（7﹣8）+…+（4999﹣5000）
＝﹣1﹣1﹣1﹣1…﹣1
＝﹣1×2500
＝﹣2500．
3．计算：2﹣4﹣6+8+10﹣12﹣14+16+18﹣20﹣22+24+…+2010﹣2012．
【分析】首先对每个加数进行分组，相邻的两个分成一组，则每组的结果是 2或﹣2，然后根据2和﹣2
的个数即可确定．
【解答】解：原式＝（2﹣4）+（﹣6+8）+（10﹣12）+（﹣14+16）+（18﹣20）+（﹣22+24）+…
+（2010﹣2012）
＝﹣2+2﹣2+2﹣2+2+…﹣2
＝﹣2．
4．计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．
【分析】仔细观察不难发现：相邻四个数为一组，其代数和为﹣4，整个计算式中共有2008个数据，所
以可以得到2008÷4＝502个﹣4．
【解答】解：原式＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣
2008）
＝（﹣4）+（﹣4）+（﹣4）+…+（﹣4）
＝（﹣4）×502
＝﹣2008．1 3 2 4 3 5 2022 2024
5．计算：− × ×(− )× ×(− )× ×⋯×(− )× ．
2 2 3 3 4 4 2023 2023
【分析】利用有理数的乘法法则解答．
1 3 2 4 3 5 2022 2024
【解答】解：计算：− × ×(− )× ×(− )× ×⋯×(− )×
2 2 3 3 4 4 2023 2023
1 2024
=− ×（﹣1）×（﹣1）×......×（﹣1）× （2021个﹣1）
2 2023
1 2024
= ×
2 2023
1012
= ．
2023
【类型5 拆分—将（代）分数拆分】
11
1．用简便方法计算：(−99 )×24．
12
【分析】根据有理数的乘法分配律进行解题即可．
1
【解答】解：原式＝（﹣100+ ）×24
12
1
＝﹣100×24+ ×24
12
＝﹣2400+2
＝﹣2398．
8 1
2．用简便方法计算：999 ÷（﹣1 ）．
9 9
【分析】本题属于基础题，考查了对有理数的除法运算法则掌握的程度，一个数除以另一个数，等于乘
以它的倒数，再用乘法的分配律来简便计算．
8 1
【解答】解：999 ÷（﹣1 ）
9 9
1 9
＝（1000− ）×（− ）
9 10
9 1 9
＝1000×（− ）− ×（− ）
10 9 10
1
＝﹣900+
10
9
＝﹣899 ．
102 2 2 2 2
3．用简便方法计算：9 +99 +999 +9999 +99999 +4．
5 5 5 5 5
【分析】原式变形后，计算即可得到结果．
2 2 2 2 2
【解答】解：原式＝（9+99+999+9999+99999）+（ + + + + ）+4
5 5 5 5 5
2
＝（10+100+1000+10000+100000﹣5）+ ×5+4
5
＝111111．
4．阅读下题中的计算方法，解决问题．
5 2 3 1
（1）−5 +(−9 )+17 +(−3 )
6 3 4 2
5 2 3 1
解：原式=[(−5)+(− )]+[(−9)+(− )]+[(+17)+(+ )]+[(−3)+(− )]
6 3 4 2
5 2 3 1
=[(−5)+(−9)+(+17)+(−3)]+[(− )+(− )+(+ )+(− )]
6 3 4 2
1
=0+(−1 )
4
1
=−1 ．
4
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的拆项法可将6.25拆为 ，﹣2.236拆为 ．
（2）类比上述计算方法计算：
1 2 2 1
−2023 −2024 +4045 −1 ．
4 5 5 2
【分析】（1）根据题干信息进行解答即可；
（2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）6.25＝6+0.25，﹣2.236＝﹣2+（﹣0.236），
故答案为：6+0.25；﹣2+（﹣0.236）；
1 2 2 1
（2）−2023 −2024 +4045 −1
4 5 5 2
1 2 2 1
=[−2023+(− )]+[−2024+(− )]+(4045+ )+[−1+(− )]
4 5 5 2
1 2 2 1
=[−2023+(−2024)+4045+(−1)]+[(− )+(− )+ +(− )]
4 5 5 23
=−3+(− )
4
3
=−3 ．
4
5．阅读下面文字：
3 1 3 1
对于（﹣3 ）+（﹣1 ）+2 +2 可以如下计算：
10 2 5 2
3 1 3 1
原式＝[﹣3+（− ）]+[﹣1+（− ）]+（2+ ）+（2+ ）
10 2 5 2
＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+
＝0+
＝ ．
上面这种方法叫拆项法．
（1）请补全以上计算过程；
2 3 5 1
（2）类比上面的方法计算：（﹣2024 ）+2023 +（﹣2022 ）+2021 ．
3 4 6 2
【分析】（1）根据拆项法补全过程即可．
（2）根据拆项法进行计算即可．
3 1 3 1
【解答】解：（1）原式＝[﹣3+（− ）]+[﹣1+（− ）]+（2+ ）+（2+ ）
10 2 5 2
3 1 3 1
＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+[（− ）+（− ）+ + ]
10 2 5 2
3
＝0+
10
3
= ，
10
3 1 3 1 3 3
故答案为：[（− ）+（− ）+ + ]， ， ；
10 2 5 2 10 10
2 3 5 1
（2）（﹣2024 ）+2023 +（﹣2022 ）+2021
3 4 6 2
2 3 5 1
＝[（﹣2024）+2023+（﹣2022）+2021]+[（− ）+ +（− ）+ ]
3 4 6 2
1
＝（﹣2）+（− ）
49
=− ．
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6．（1）请观察下列算式： =1− ， = − ， = − ， = − ，…，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
则第10个算式为 ＝ ，
第n个算式为 ＝ ；
1 1 1 1 1 1
（2）运用以上规律计算： + + +⋯+ + + ．
2 6 12 90 110 132
【分析】（1）直接将分数拆项变形即可；
（2）原式拆项变形后，抵消合并即可得到结果．
1 1 1
【解答】解：（1）第10个算式为 = − ，
10×11 10 11
1 1 1
第n个算式为 = − ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1
（2） + + +⋯+ + +
2 6 12 90 110 132
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 11 12
1
＝1−
12
11
= ．
12
1 1 1 1 1 1
故答案为： ， − ； ， − ．
10×11 10 11 n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
7．计算： + + + + + + + ．
3 6 10 15 21 28 36 45
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【分析】先变形为2×（ − + − + − + − + − + − + − + − ），再抵消法计
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
算即可求解．
1 1 1 1 1 1 1 1
【解答】解： + + + + + + +
3 6 10 15 21 28 36 45
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝2×（ − + − + − + − + − + − + − + − ）
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1
＝2×（ − ）
2 102
＝2×
5
4
= ．
5
3 5 7 9 11 13 15 17 19
8．计算： − + − + − + − + ．
2 6 12 20 30 42 56 72 90
【分析】直接利用分数的性质将原式变形，进而求出答案．
3 5 7 9 11 13 15 17 19
【解答】解： − + − + − + − +
2 6 12 20 30 42 56 72 90
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1+ −（ + ）+ + −（ + ）+..+ +
2 2 3 3 4 4 5 9 10
1
＝1+
10
1
＝1 ．
10
【类型6 换位—将被除数与除数颠倒位置】
1．请你先认真阅读材料：
1 2 1 1 2
计算(− )÷( − + − )
30 3 10 6 5
2 1 1 2 1
解：原式的倒数是（ − + − ）÷（− ）
3 10 6 5 30
2 1 1 2
＝（ − + − ）×（﹣30）
3 10 6 5
2 1 1 2
= ×（﹣30）− ×（﹣30）+ ×（﹣30）− ×（﹣30）
3 10 6 5
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
1
故原式等于−
10
1 1 3 2 2
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：（− ）÷（ − + − ）
42 6 14 3 7
1 3 2 2 1
【分析】首先看懂例题的做法，先计算出其倒数（ − + − ）÷（− ）的结果，再算出原式结
6 14 3 7 42
果即可．【解答】解：原式的倒数是：
1 3 2 2 1
（ − + − ）÷（− ）
6 14 3 7 42
1 3 2 2
＝（ − + − ）×（﹣42）
6 14 3 7
1 3 2 2
＝﹣（ ×42− ×42+ ×42− ×42）
6 14 3 7
＝﹣（7﹣9+28﹣12）
＝﹣14，
1
故原式=− ．
14
2．阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
1
（1）根据倒数的定义我们知道，若（a+b）÷c＝3，则c÷（a+b）＝ ；
3
2 1 5 1
（2）计算：(− + − )÷(− )；
9 4 12 36
1 2 1 5
（3）根据以上信息可知(− )÷(− + − )= ．
36 9 4 12
【分析】（1）根据倒数的定义即可求解；
（2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配律进行计算即可求解；
（3）根据倒数的定义即可求解．
1
【解答】解：（1）根据倒数的定义，若（a+b）÷c＝3，则c÷(a+b)= ．
3
1
故答案为： ；
3
2 1 5 1
（2）(− + − )÷(− )
9 4 12 36
2 1 5
=(− + − )×(−36)
9 4 12
2 1 5
=− ×(−36)+ ×(−36)− ×(−36)
9 4 12
＝8﹣9+15
＝14；
2 1 5 1
（3）因为(− + − )÷(− )=14，
9 4 12 361 2 1 5 1
所以(− )÷(− + − )= ．
36 9 4 12 14
1
故答案为： ．
14
3．先计算，再阅读材料，解决问题：
1 1 1
（1）计算：( − + )×12．
3 6 2
（2）认真阅读材料，解决问题：
1 2 1 1 2
计算： ÷（ − + − ）．
30 3 10 6 5
2 1 1 2
分析：利用通分计算 − + − 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
3 10 6 5
解：原式的倒数是：
2 1 1 2 1
（ − + − ）÷
3 10 6 5 30
2 1 1 2
＝（ − + − ）×30
3 10 6 5
2 1 1 2
= ×30− ×30+ ×30− ×30
3 10 6 5
＝20﹣3+5﹣12＝10．
1
故原式= ．
10
1 3 5 1 2
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：（− ）÷( − + − )．
52 4 26 2 13
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）表示出原式的倒数，利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可．
1 1 1
【解答】解：（1）原式= ×12− ×12+ ×12
3 6 2
＝4﹣2+6
＝8；
3 5 1 2
（2）原式的倒数是：（ − + − ）×（﹣52）
4 26 2 13
3 5 1 2
= ×（﹣52）− ×（﹣52）+ ×（﹣52）− ×（﹣52）
4 26 2 13
＝﹣39+10﹣26+8＝﹣47，
1
故原式=− ．
47
4．阅读下题解答：
1 2 3 7
计算：(− )÷( − + )．
24 3 4 8
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
2 3 7 1 2 3 7
解：( − + )÷(− )=( − + )×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
3 4 8 24 3 4 8
1
所以原式=− ．
19
1 1 1 5 2 2
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：(− )÷[ − + +(− ) ×(−6)]．
42 2 3 7 3
【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．
1 1 5 2 1
【解答】解：根据题意得：[ − + +（− ）2×（﹣6）]÷（− ）
2 3 7 3 42
1 1 5 4
＝[ − + + ×（﹣6）]×（﹣42）
2 3 7 9
＝﹣21+14﹣30+112
＝75，
1
则原式= ．
75
1 1 1
5．阅读下列材料，计算：50÷（ − + ）．
3 4 12
1 1 1
解法1思路：原式＝50÷ −50÷ +50÷ =50×3﹣50×4+50×12；对吗？答： ；
3 4 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法2提示：先计算原式的倒数，（ − + ）÷50= × − × + × = ，故原式等于
3 4 12 3 50 4 50 12 50 300
300．
1 2 1 1 2
（1）请你用解法2的方法计算：（− ）÷（ − + − ）；
30 3 10 6 5
3 7 7 7 7 3 7 7
（2）（1 − − ）÷（− ）+（− ）÷（1 − − ）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！
4 8 12 8 8 4 8 12
【分析】解法1根据除法没有分配律进行判断；
（1）仿照解法2先计算原式的倒数，然后即可得出原式的结果；（2）先计算原式前半部分的结果，然后根据倒数的定义求出后半部分的结果，即可求出原式的值．
【解答】解法1：不对；
理由：除法没有分配律，故解法1不对；
故答案为：不对；
2 1 1 2 1
（1）先计算原式的倒数，( − + − )÷(− )
3 10 6 5 30
2 1 1 2
= ×(−30)− ×(−30)+ ×(−30)− ×(−30)
3 10 6 5
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10，
1
故原式等于− ；
10
3 7 7 7
（2）(1 − − )÷(− )
4 8 12 8
7 8 7 8 7 8
= ×(− )− ×(− )− ×(− )
4 7 8 7 12 7
2
＝﹣2﹣（﹣1）−(− )
3
2
=−2+1+
3
1
=− ，
3
7 3 7 7
∴(− )÷(1 − − )=−3，
8 4 8 12
1 10
∴原式=− +(−3)=− ．
3 3
