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2022年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个
是正确的．
1．（3分）（2022•雅安）在﹣ ，1， ，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C． D．3
2．（3分）（2022•雅安）下列几何体的三种视图都是圆形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则
∠2＝（ ）
A．60° B．120° C．30° D．15°
4．（3分）（2022•雅安）下列计算正确的是（ ）
A．32＝6 B．（﹣ ）3＝﹣
C．（﹣2a2）2＝2a4 D． +2 ＝3
5．（3分）（2022•雅安）使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段
时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．
下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
第1页（共24页）A． B．
C． D．
7．（3分）（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若 ＝ ，
那么 ＝（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab
的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
9．（3分）（2022•雅安）在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位
数和众数分别是（ ）
A．9.3，9.6 B．9.5，9.4 C．9.5，9.6 D．9.6，9.8
第2页（共24页）10．（3分）（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，
则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
11．（3分）（2022•雅安）如图，已知 O的周长等于6 ，则该圆内接正六边形ABCDEF的边
心距OG为（ ） ⊙ π
A．3 B． C． D．3
12．（3分）（2022•雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号
为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y ），（4，y ）在其图象上，则y ＞y ；③将其函
1 2 2 1
数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝
（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线
上．
13．（3分）（2022•雅安） ＝ ．
14．（3分）（2022•雅安）从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 ．
15．（3分）（2022•雅安）如图，∠DCE是 O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，
那么∠BOD的度数为 ． ⊙
第3页（共24页）16．（3分）（2022•雅安）已知 是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为
．
17．（3分）（2022•雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部
分的面积为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过
程．
18．（12分）（2022•雅安）（1）计算：（ ）2+|﹣4|﹣（ ）﹣1；
（2）化简：（1+ ）÷ ，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
19．（8分）（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查
了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区
平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户
用水量在30～40t的概率．
20．（9分）（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
第4页（共24页）（2）若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
21．（8分）（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用
相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元
销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的
函数关系式．
22．（10分）（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的
坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数
y＝ （x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG ．
23．（10分）（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O
为圆心，OC为半径作 O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是 O⊙的切线；
（2）连接CE，求⊙证：△ACE∽△ADC；
（3）若 ＝ ， O的半径为6，求tan∠OAC．
⊙
第5页（共24页）24．（12分）（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y
轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若
不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
第6页（共24页）2022年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个
是正确的．
1．（3分）（2022•雅安）在﹣ ，1， ，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C． D．3
【分析】比0小的是负数．
【解答】解：∵﹣ ＜0，
故选A．
【点评】本题考查实数的大小比较．掌握比较法则是解题的关键．
2．（3分）（2022•雅安）下列几何体的三种视图都是圆形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三视图的知识，指出每个选项中几何体的三视图从而得出结论．
【解答】解：∵A选项的主视图和左视图为长方形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项的三种视图都是圆形，
∴B选项符合题意；
∵C选项的主视图和左视图为等腰三角形，
∴C选项不符合题意；
∵D选项主视图和左视图为等腰梯形，
∴D选项不符合题意；
综上，B选项的三种视图都是圆形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，准确指出每个几何体的三视图是解题的关
键．
第7页（共24页）3．（3分）（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则
∠2＝（ ）
A．60° B．120° C．30° D．15°
【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线
的性质及对顶角相等．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴它的对顶角是120°，
∵a∥b，
∴∠2＝60°．
故选：A．
【点评】正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．
4．（3分）（2022•雅安）下列计算正确的是（ ）
A．32＝6 B．（﹣ ）3＝﹣
C．（﹣2a2）2＝2a4 D． +2 ＝3
【分析】根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可．
【解答】解：32＝9，故A选项错误；
（﹣ ）3＝﹣ ，故B选项错误；
（﹣2a2）2＝4a4，故C选项错误；
+2 ＝3 ，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本
运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）（2022•雅安）使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
第8页（共24页）C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．
【解答】解：∵ 有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式
有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．
6．（3分）（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段
时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．
下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A． B．
C． D．
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速，加速、匀速的变化情况，进行
选择．
【解答】解：公共汽车经历加速、匀速、减速到站，加速、匀速的过程，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的图象，注意横纵轴表示的意义是解题的关键．
7．（3分）（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若 ＝ ，
那么 ＝（ ）
第9页（共24页）A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相关的定理是解答
本题的关键．
8．（3分）（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab
的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分别求出a、b
的值，再代入即可得到答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的
坐标符号相反．
9．（3分）（2022•雅安）在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位
第10页（共24页）数和众数分别是（ ）
A．9.3，9.6 B．9.5，9.4 C．9.5，9.6 D．9.6，9.8
【分析】将折线统计图中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；一
组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：这10次射击成绩从小到大排列是：8.8，9.0，9.2，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，9.8，
∴中位数是（9.4+9.6）÷2＝9.5（环），
9.6出现的次数最多，故众数为9.6环．
故选：C．
【点评】本题考查众数与中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．
10．（3分）（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，
则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝
﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的
右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
11．（3分）（2022•雅安）如图，已知 O的周长等于6 ，则该圆内接正六边形ABCDEF的边
⊙ π
第11页（共24页）心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝
30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，OG⊥CD，
∴∠COG＝30°，
∵ O的周长等于6 ，
∴⊙OC＝3cm， π
∴OG＝3cos30°＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握
正六边形的性质是解决问题的关键．
12．（3分）（2022•雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号
为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y ），（4，y ）在其图象上，则y ＞y ；③将其函
1 2 2 1
第12页（共24页）数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝
（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可判断①②，由二次函数图象平移的
规律可判断③，令y＝0可得抛物线与x轴交点横坐标，从而判断④．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣9），
∴x＝2时，y取最小值﹣9，①正确．
∵x＞2时，y随x增大而增大，
∴y ＞y ，②正确．
2 1
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式
为y＝（x+1）2﹣5，③错误．
令（x﹣2）2﹣9＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝5，
1 2
∴5﹣（﹣1）＝6，④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二
次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线
上．
13．（3分）（2022•雅安） ＝ 2 ．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，即 ＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
14．（3分）（2022•雅安）从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 ．
【分析】根据题意，先计算出所有的结果，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：﹣1+0＝﹣1，﹣1+2＝1，0+2＝2，
由上可得，任取两个不同的数求和一共有3种可能性，其中和为正可能性有2种，
第13页（共24页）∴从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
15．（3分）（2022•雅安）如图，∠DCE是 O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，
那么∠BOD的度数为 144 ° ． ⊙
【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定
理解答即可．
【解答】解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝⊙72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16．（3分）（2022•雅安）已知 是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 1
．
【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把 代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
第14页（共24页）【点评】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两
边相等的未知数的值．
17．（3分）（2022•雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部
分的面积为 ．
【分析】易得BF＝DF，利用勾股定理求得DF的长，利用三角形的面积公式可得阴影部分
的面积．
【解答】解：根据翻折的性质可知：∠FBD＝∠DBC，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠FBD，
∴BF＝DF，
设BF＝DF＝x，
∴AF＝9﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴AF2+AB2＝BF2，
（9﹣x）2+32＝x2，
解得x＝5，
∴S△FDB ＝ ×5×2＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．
第15页（共24页）同时也考查了勾股定理，利用勾股定理得到DF的长是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过
程．
18．（12分）（2022•雅安）（1）计算：（ ）2+|﹣4|﹣（ ）﹣1；
（2）化简：（1+ ）÷ ，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值，负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝3+4﹣2
＝5；
（2）原式＝ •
＝ •
＝ ，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义；
当a＝0时，原式＝ ＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，绝对值，以及实数的运算，熟练掌握
运算法则是解本题的关键．
19．（8分）（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查
了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区
平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户
用水量在30～40t的概率．
第16页（共24页）【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出用水量在20～30t的
有多少户；
（2）根据条形统计图中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该小区平均每户用水
量；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出至少有1户用水量在30～40t的概率．
【解答】解：（1）50﹣20﹣25﹣2＝3（户），
即这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户；
（2） ＝12.4（t），
即估计该小区平均每户用水量约为12.4t；
（3）由（1）知：用水量在20～30t有3户，
由条形统计图可知，用水量在30～40t有2户，
设水量在20～30t的用户用A表示，用水量在30～40t的用户用B表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有20种可能性，其中至少有1户用水量在30～40t的有14种可能性，
∴至少有1户用水量在30～40t的概率是 ＝ ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，画出
相应的树状图，利用数形结合的思想解答．
20．（9分）（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
第17页（共24页）（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3 ，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝ AC•EF＝ ×6×2＝6．
故答案为：6．
第18页（共24页）【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟
练掌握相关性质是解答本题的关键．
21．（8分）（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用
相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元
销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的
函数关系式．
【分析】（1）根据题意列方程组，并求解．
（2）根据（1）的结论，列函数关系式
【解答】解：（1）A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
根据题意得： ．
解得：
答：A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元．
（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，
∴w＝（150﹣100）x+（80﹣60）（80﹣m）
＝30m+1600．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，及列函数表达式，因此审题列方程组是解题的
关键．
22．（10分）（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的
坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数
y＝ （x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG ．
第19页（共24页）【分析】（1）根据平移的特点和反比例函数的性质解答即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质求出D，F点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）联立两个函数解析式，根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）过A点作AH⊥BO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），
∴OH＝AH＝2，
∴m＝2，
由平移可得D点纵坐标和A点纵坐标相同，设D（n，2），
∵D在y＝ 图像上，
∴n＝4，
∴D（4，2）．
（2）过D作DM⊥EF于M，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFM＝45°，
∴DM＝MF＝2，
由D（4，2）得F（6，0），
设直线DF的表达式为：y＝kx+b，将F（6，0）和D（4，2）代入得：
，
解得： ，
∴直线DF的表达式为y＝﹣x+6．
（3）延长FD交y＝ 图像于点G，
，
第20页（共24页）解得： ， ，
∴G（2，4），
由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，
∴S△EFG ＝ EF•G
y
＝ ×4×4＝8．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用，熟练掌握反比例函数和一次
函数的性质是解答本题的关键．
23．（10分）（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O
为圆心，OC为半径作 O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是 O⊙的切线；
（2）连接CE，求⊙证：△ACE∽△ADC；
（3）若 ＝ ， O的半径为6，求tan∠OAC．
⊙
【分析】（1）过点O作OF⊥AB于F，根据角平分线的性质及切线的判定可得结论；
（2）根据圆周角定理及余角的性质可得∠ACE＝∠EDC，然后根据相似三角形的判定可得
结论；
（3）由相似三角形的性质可得AC2＝AE•AD，设AE为a，则AC＝2a，AD＝a+12，代入计算
可得AC的长，最后利用三角函数可得答案．
【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB于F，
第21页（共24页）∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，OC⊥AC，
∴OF＝OC（即OF是 O的半径），
∴AB是 O的切线；⊙
（2）证⊙明：∴OC是 O的半径，OC⊥AC，
∴∠ACE+∠ECO＝90⊙°，
∵ED是 O的直径，
∴∠DCE⊙＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°，
∵∠DEC＝∠ECO，
∴∠ACE＝∠EDC，
∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
（3）解：∵ ＝ ，△ACE∽△ADC，
∴ ，
∴AC2＝AE•AD，
设AE为a，则AC＝2a，AD＝a+12，
∴（2a）2＝a（a+12），
∴a ＝4，a ＝0（舍去），
1 2
∴AC＝8，
∴tan∠OAC＝ ＝ ．
【点评】此题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的判定、解直角三角形
等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
24．（12分）（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y
轴交于点C（0，﹣3）．
第22页（共24页）（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若
不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果；
（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为∠CAE＝90°，∠ACE＝90°及
∠AEC＝90°，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；
（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心， 为半径的圆上，进一步求得结
果．
【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），
∴a•（﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，4）；
（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
设点E（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，
当∠EAC＝90°时，
AE2+AC2＝CE2，
∴14+m2＝1+（m+3）2，
第23页（共24页）∴m＝ ，
∴E （1， ），
1
当∠ACE＝90°时，
AC2+CE2＝AE2，
∴11+（m+3）2＝4+m2，
∴m＝﹣ ，
∴E （1，﹣ ），
2
当∠AEC＝90°时，
AE2+CE2＝AC2，
∴5+m2+（m+3）2＝10，
∴m＝﹣1或﹣2，
∴E （1，﹣1），E （1，﹣2），
3 4
综上所述：点E（1， ）或（1，﹣ ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；
（3）设AD的中点为I，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD＝ ＝2 ，I（0，﹣2），
∴PA⊥PD，
∴∠ADP＝90°，
∴点P在以AB的中点I为圆心， 为半径的圆上，
∵BI＝ ＝ ，
∴PB最小 ＝ ﹣ ．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式，勾股定理及其逆定理，确定圆的条件等知识，解
决问题的关键是熟练掌握直角三角形分类及“定弦对定角”等知识．
第24页（共24页）
