文档内容
2022年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客
180000余人．人数180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106
3．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣1）2＝﹣2 B．（ + ）（ ﹣ ）＝1
C．a6÷a3＝a2 D．（﹣ ）0＝0
5．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（
）
第1页（共26页）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数
是（ ） ⊙ ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是
（ ）
A．平均数是14 B．中位数是14.5
C．方差是3 D．众数是14
9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
第2页（共26页）A．30° B．40° C．50° D．60°
10．（4分）P为 O外一点，PT与 O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（ ）
A．5 ⊙ B．5 ⊙ C．8 D．9
11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成
一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三
角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
12．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，
形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝ ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：|﹣2|＝ ．
14．（4分）分解因式：m2+m＝ ．
15．（4分）化简： • + ＝ ．
16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做
好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出
100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
鱼池．（填甲或乙）
17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高
第3页（共26页）CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑
动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．
21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑
自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度
的3倍，求张老师骑车的速度．
22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（t 单位：小时），学校采用随机
抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分
为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解
决以下问题：
第4页（共26页）（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小
时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画
树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象
相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，
求点C的坐标．
24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，
矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB
＝AB．我们还可以得到FC＝ ，EF＝ ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间
第5页（共26页）的距离．
25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆
OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测
目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这
两个角相等的理由．
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角
∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高
PH．（ ≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，
决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角 、
，再测得E、F间的距离m，点O 、O 到地面的距离O E、O F均为1.5米．求PH（用 、α、
1 2 1 2
βm表示）． α β
第6页（共26页）26．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出
抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取
值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经
过P（ ﹣c，y ），Q（1+3c，y ）两点，试比较y 、y 的大小．
1 2 1 2
第7页（共26页）2022年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
【解答】解：∵∠1＝30°，∠1与∠2是对顶角，
∴∠2＝∠1＝30°．
故选：A．
2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客
180000余人．人数180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106
【解答】解：180000＝1.8×105，
故选：C．
3．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B．
第8页（共26页）C． D．
【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，
将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆体．
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣1）2＝﹣2 B．（ + ）（ ﹣ ）＝1
C．a6÷a3＝a2 D．（﹣ ）0＝0
【解答】解：A、原式＝1，故该选项不符合题意；
B、原式＝（ ）2﹣（ ）2＝3﹣2＝1，故该选项符合题意；
C、原式＝a3，故该选项不符合题意；
D、原式＝1，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（
）
A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
第9页（共26页）6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A，B，C都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB是 O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数
是（ ） ⊙ ⊙
A．90° B．100° C．110° D．120°
【解答】解：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODB，
∵∠OAD+∠ODB+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODB＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
第10页（共26页）∴∠BCD＝110°，
故选：C．
8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是
（ ）
A．平均数是14 B．中位数是14.5
C．方差是3 D．众数是14
【解答】解：A选项，平均数＝（13+14+15+14+14+15）÷6＝14 （岁），故该选项不符合题意；
B选项，这组数据从小到大排序为：13，14，14，14，15，15，中位数＝ ＝14（岁），故
该选项不符合题意；
C选项，方差＝ ×（[ 13﹣14 ）2+（14﹣14 ）2×3+（15﹣14 ）2×2]＝ ，故该选项不符合
题意；
D选项，14出现的次数最多，众数是14岁，故该选项符合题意；
故选：D．
9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故选：B．
10．（4分）P为 O外一点，PT与 O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（ ）
A．5 ⊙ B．5 ⊙ C．8 D．9
【解答】解：如图，∵PT与 O相切于点T，
∴∠OTP＝90°， ⊙
又∵OP＝10，∠OPT＝30°，
第11页（共26页）∴OT＝ OP＝ ×10＝5，
∴PT＝ ＝ ＝5 ．
故选：A．
11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成
一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三
角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，
则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：当∠BAC＝90°时，菜园最大面积＝ ×4×4＝8米2；
第12页（共26页）方案3：半圆的半径＝ ，
∴此时菜园最大面积＝ ＝ 米2＞8米2；
故选：C．
12．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，
形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝ ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2＝3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣ ）2﹣4× ＝ ，
根据顶点坐标公式， ＝﹣2，
第13页（共26页）∴ ＝﹣8，即 ＝8，
∴CD2＝ ×8＝ ，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴ ＝42＝16，
解得a＝ ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）计算：|﹣2|＝ 2 ．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|＝2．
故答案为：2．
14．（4分）分解因式：m2+m＝ m （ m + 1 ） ．
【解答】解：m2+m＝m（m+1）．
故答案为：m（m+1）．
15．（4分）化简： • + ＝ ．
【解答】解： • +
第14页（共26页）＝ +
＝ +
＝ ，
故答案为： ．
16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做
好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出
100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
甲 鱼池．（填甲或乙）
【解答】解：由题意可得，
甲鱼池中的鱼苗数量约为：100÷ ＝2000（条），
乙鱼池中的鱼苗数量约为：100÷ ＝1000（条），
∵2000＞1000，
∴初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高
CD为2厘米，则镜面半径为 2 6 厘米．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
第15页（共26页）由题意可得：OC⊥AB，AC＝ AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑
动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 3 ．
【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于
E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
第16页（共26页）∴EH＝CF，
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：HG'＝ ＝3 ，
即GE+CF的最小值为3 ．
故答案为：3 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，
由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
∴在数轴上表示不等式组的解集为：
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE＝120°，
在△ABD和△ACE中，
，
第17页（共26页）∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D＝∠E．
21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑
自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度
的3倍，求张老师骑车的速度．
【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，
由题意可得： ﹣2＝ ，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是15千米/小时．
22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（t 单位：小时），学校采用随机
抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分
为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解
决以下问题：
（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小
时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画
树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【解答】解：（1）n＝ ＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
第18页（共26页）条形统计图补充如下：
（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×
＝900（人），
∴每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A ，A 表示，D等级2人分别用D ，D 表示，随机选出2人向老师
1 2 1 2
汇报兴趣活动情况的树状图如下：
∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，
∴所求概率＝ ＝ ．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象
相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，
求点C的坐标．
第19页（共26页）【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y＝﹣ ；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，
矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB
＝AB．我们还可以得到FC＝ CD ，EF＝ AD ；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间
第20页（共26页）的距离．
【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD；
（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，
∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，BH＝ ＝ ＝50（cm），
∵EG⊥BC，
∴CH∥EG，
∴△BCH∽△BGE，
第21页（共26页）∴ ，
∴ ＝ ，
∴EG＝64，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆
OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测
目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这
两个角相等的理由．
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角
∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高
PH．（ ≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，
决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角 、
，再测得E、F间的距离m，点O 、O 到地面的距离O E、O F均为1.5米．求PH（用 、α、
1 2 1 2
βm表示）． α β
第22页（共26页）【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝ ，
∴tan60°＝ ，
解得PQ＝5 ，
∴PH＝PQ+QH＝5 +1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O O ＝m，O E＝O F＝DH＝1.5米，
1 2 1 2
由图可得，tan ＝ ，tan ＝ ，
β α
∴O D＝ ，O D＝ ，
2 1
∵O O ＝O D﹣O D，
1 2 2 1
∴m＝ ﹣ ，
∴PD＝ ，
∴PH＝PD+DH＝（ +1.5）米．
第23页（共26页）26．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出
抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取
值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经
过P（ ﹣c，y ），Q（1+3c，y ）两点，试比较y 、y 的大小．
1 2 1 2
【解答】解：（1）由题意可得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，
第24页（共26页）当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x ＝0，x ＝﹣2，
1 2
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+ ，
∴﹣ ＝1+ ，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（ ﹣c，y ），Q（1+3c，y ），
1 2
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝ ﹣c时，则y ＝（ ﹣c）2﹣（1+c）（ ﹣c）+c＝2c2+ c﹣ ，
1
当x＝1+3c时，则y ＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
2
∴y ﹣y ＝（6c2+3c）﹣（2c2+ c﹣ ）＝4（c+ ）2﹣ ，
2 1
第25页（共26页）∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣ ，
∴4（c+ ）2﹣ ＞0，
∴y ＞y ．
2 1
第26页（共26页）
