文档内容
2022年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•泸州）﹣ ＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
2．（3分）（2022•泸州）2022年5月，四川省发展和改革委员会下达了保障性安居工程2022
年第一批中央预算内投资计划，泸州市获得 75500000 元中央预算内资金支持，将
75500000用科学记数法表示为（ ）
A．7.55×106 B．75.5×106 C．7.55×107 D．75.5×107
3．（3分）（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（
）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，
AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
5．（3分）（2022•泸州）下列运算正确的是（ ）
第1页（共30页）A．a2•a3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a6÷a2＝a3
6．（3分）（2022•泸州）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，
主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，
35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
7．（3分）（2022•泸州）与2+ 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）（2022•泸州）抛物线y＝﹣ x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣ x2+x B．y＝﹣ x2﹣4
C．y＝﹣ x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
9．（3分）（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x ，x ，若
1 2
（x +1）（x +1）＝3，则m的值为（ ）
1 2
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
10．（3分）（2022•泸州）如图，AB是 O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交
O于点E．若AC＝4 ，DE＝4⊙，则BC的长是（ ）
⊙
A．1 B． C．2 D．4
11．（3分）（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，
4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝ ．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的
图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
第2页（共30页）A．y＝3x B．y＝﹣ x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
12．（3分）（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝
2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接
DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）（2022•泸州）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 ．
14．（3分）（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝ ．
15．（3分）（2022•泸州）若方程 +1＝ 的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则
实数a的取值范围是 ．
16．（3分）（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 ，半径为1的 O
在Rt△ABC内平移（ O可以与该三角形的边相切），则点A到 O上的点的距离的最⊙大
值为 ． ⊙ ⊙
第3页（共30页）三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）（2022•泸州）计算：（ ）0+2﹣1+ cos45°﹣|﹣ |．
18．（6分）（2022•泸州）如图，E，F分别是 ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：
DE＝BF． ▱
19．（6分）（2022•泸州）化简：（ +1）÷ ．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树
立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了 m名学生在
某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计
图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 频数
0.5≤t＜1 12
1≤t＜1.5 a
1.5≤t＜2 28
2≤t＜2.5 16
2.5≤t≤3 4
（1）m＝ ，a＝ ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽
取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
第4页（共30页）21．（7分）（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种
农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不
超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每
件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）（2022•泸州）如图，直线y＝﹣ x+b与反比例函数y＝ 的图象相交于点A，B，
已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
23．（8分）（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北
方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后
到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 nmile．求B，D间的距离（计
算过程中的数据不取近似值）．
第5页（共30页）六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的 O上，CD平分∠ACB交 O于点D，
交AB于点E，过点D作 O的切线交CO的延长线⊙于点F． ⊙
（1）求证：FD∥AB； ⊙
（2）若AC＝2 ，BC＝ ，求FD的长．
25．（12分）（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣
2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积
相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点
F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若
不存在，请说明理由．
第6页（共30页）第7页（共30页）2022年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•泸州）﹣ ＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【分析】根据算术平方根的定义判断即可．
【解答】解： ．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．
2．（3分）（2022•泸州）2022年5月，四川省发展和改革委员会下达了保障性安居工程2022
年第一批中央预算内投资计划，泸州市获得 75500000 元中央预算内资金支持，将
75500000用科学记数法表示为（ ）
A．7.55×106 B．75.5×106 C．7.55×107 D．75.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：75500000＝7.55×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（
）
第8页（共30页）A． B．
C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形判定
则可．
【解答】解：从物体上面看，底层有一个正方形，上层有四个正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易
将三种视图混淆而错误地选其它选项．
4．（3分）（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，
AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最
后利用角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
故选：B．
第9页（共30页）【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度
数．
5．（3分）（2022•泸州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a6÷a2＝a3
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，
底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类
项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据积的乘方运算法
则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项D根据同
底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B．3a﹣2a＝a，故本选项不合题意；
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项符合题意；
D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握相关
运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）（2022•泸州）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，
主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，
35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
【分析】根据中位数和众数的定义求解可得．
【解答】解：∵35出现的次数最多，
∴这组数据的众数是35，
把这些数从小到大排列，排在中间的两个数分别为33、35，故中位数为 ，
第10页（共30页）故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数
据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数
据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位
数．
7．（3分）（2022•泸州）与2+ 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】估算无理数 的大小，再确定 更接近的整数，进而得出答案．
【解答】解：∵3＜ ＜4，而15﹣9＞16﹣15，
∴ 更接近4，
∴2+ 更接近6，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义以及数的大小关系是正确解
答的前提．
8．（3分）（2022•泸州）抛物线y＝﹣ x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣ x2+x B．y＝﹣ x2﹣4
C．y＝﹣ x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣ x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣ x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出a不变是解题的关键．
9．（3分）（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x ，x ，若
1 2
（x +1）（x +1）＝3，则m的值为（ ）
1 2
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
【分析】根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根为x ，x ，得出x +x 与x x 的值，再
1 2 1 2 1 2
第11页（共30页）根据x 2+x 2＝3，即可求出m的值．
1 2
【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2m﹣1，x x ＝m2，
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝x x +x +x +1＝3，
1 2 1 2 1 2
∴m2+2m﹣1+1＝3，
解得：m ＝1，m ＝﹣3，
1 2
∵方程有两实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
即m≤ ，
∴m ＝1（不合题意，舍去），
2
∴m＝﹣3；
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x ，x 是方程
1 2
x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q．
1 2 1 2
10．（3分）（2022•泸州）如图，AB是 O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交
O于点E．若AC＝4 ，DE＝4⊙，则BC的长是（ ）
⊙
A．1 B． C．2 D．4
【分析】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，所以OD＝ BC，
设OD＝x，则BC＝2x，则OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得
AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4 ）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠C＝90°， ⊙
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
第12页（共30页）∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝ BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4 ）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查中位线的性质与判定，垂径定理，勾股定理等知识，设出参数，根据
勾股定理得出方程是解题关键．
11．（3分）（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，
4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝ ．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的
图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣ x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
【分析】分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心
的直线即可得出结论．
【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，
则直线MN为符合条件的直线l，如图，
第13页（共30页）∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝BM．
∵B的坐标为（10，4），
∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．
∵四边形ABEF为菱形，
BE＝AB＝10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，
∵tan∠ABE＝ ，
∴ ，
设EG＝4k，则BG＝3k，
∴BE＝ ＝5k，
∴5k＝10，
∴k＝2，
∴EG＝8，BG＝6，
∴AG＝4．
∴E（4，12）．
∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，
∴A（0，4）．
∵点N为AE的中点，
∴N（2，8）．
设直线l的解析式为y＝ax+b，
第14页（共30页）∴ ，
解得： ，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形和菱形的性质，中点坐标的特征，直角三角形的边角关系定
理，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
12．（3分）（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝
2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接
DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根
据BC＝3，即可求得MN的长．
【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴正方形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴ ，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
第15页（共30页）设FH＝a，则BH＝a，
∴ ，
解得a＝1；
∵FM⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴ ，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2﹣b，
∴ ，
解得b＝ ，
即CN＝ ，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴ ，
∴ ，
解得BM＝ ，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣ ﹣ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，
第16页（共30页）利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）（2022•泸州）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 （ 2 ，﹣ 3 ） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于
原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，
∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案为（2，﹣3）．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆
时要结合平面直角坐标系．
14．（3分）（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝ ﹣ 6 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．（3分）（2022•泸州）若方程 +1＝ 的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则
实数a的取值范围是 a ＜﹣ 1 ．
【分析】先解分式方程，再将x代入不等式中即可求解．
【解答】解： +1＝ ，
+ ＝ ，
＝0，
解得：x＝1，
∵x﹣2≠0，2﹣x≠0，
∴x＝1是分式方程的解，
将x＝1代入不等式（2﹣a）x﹣3＞0，得：
2﹣a﹣3＞0，
第17页（共30页）解得：a＜﹣1，
∴实数a的取值范围是a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题考查分式方程的解，不等式的解集，解题的关键是正确求出分式方程的解，要
注意分母不能为0．
16．（3分）（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 ，半径为1的 O
在Rt△ABC内平移（ O可以与该三角形的边相切），则点A到 O上的点的距离的最⊙大
值为 2 +1 ． ⊙ ⊙
【分析】连接OE、OF，根据正切的定义求出∠ABC，根据切线长定理得到∠OBF＝30°，根
据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：当 O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交 O于点D，则AD为点A到
O上的点的距⊙离的最大值， ⊙
⊙设 O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则⊙OE⊥BC，OF⊥AB，
∵AC＝6，BC＝2 ，
∴tan∠ABC＝ ＝ ，AB＝ ＝4 ，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴BF＝ ＝ ，
∴AF＝AB﹣BF＝3 ，
∴OA＝ ＝2 ，
∴AD＝2 +1，
故答案为：2 +1．
第18页（共30页）【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，根据题意得出AD为
点A到 O上的点的距离的最大值是解题的关键．
三、本大题⊙共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）（2022•泸州）计算：（ ）0+2﹣1+ cos45°﹣|﹣ |．
【分析】根据实数的运算法则，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值直
接计算即可．
【解答】解：原式＝1+ + × ﹣
＝1+ +1﹣
＝1+1
＝2．
【点评】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解
题的关键是熟练掌握知识点，正确计算．
18．（6分）（2022•泸州）如图，E，F分别是 ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：
DE＝BF． ▱
【分析】根据平行四边形的性质，可以得到∠A＝∠C，AD＝CB，再根据AE＝CF，利用SAS
可以证明△ADE和△CBF全等，然后即可证明结论成立．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△ADE和△CBF中，
第19页（共30页），
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明
△ADE和△CBF全等．
19．（6分）（2022•泸州）化简：（ +1）÷ ．
【分析】先把括号部分通分并计算加法，再根据分式的乘除法法则化简即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的通分以及相关乘法公式是解答本题的关
键．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树
立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了 m名学生在
某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计
图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 频数
0.5≤t＜1 12
1≤t＜1.5 a
1.5≤t＜2 28
2≤t＜2.5 16
2.5≤t≤3 4
（1）m＝ 8 0 ，a＝ 2 0 ；
第20页（共30页）（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽
取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用A组人数除以它所占的百分比得到m的值，然后m分别减去A、C、D、E组
的人数得到a的值；
（2）用640乘以D、E组的人数所占的百分比的和即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据
概率公式求解．
【解答】解：（1）m＝12÷15%＝80，
a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20；
故答案为：80；20；
（2）640× ＝160（人），
所以估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也
考查了统计图．
21．（7分）（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种
第21页（共30页）农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不
超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每
件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【分析】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进
A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共
需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，利用总价＝单价×
数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，
即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部
售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于
m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得： ，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣
m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应
用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的
第22页（共30页）关系，找出w关于m的函数关系式．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）（2022•泸州）如图，直线y＝﹣ x+b与反比例函数y＝ 的图象相交于点A，B，
已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）先求出点D坐标，由面积的和差关系可求CD＝2，即可求解．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝ 上，且A的纵坐标为6，
∴点A（2，6），
∵直线y＝﹣ x+b经过点A，
∴6＝﹣ ×2+b，
∴b＝9；
（2）如图，设直线AB与x轴的交点为D，
第23页（共30页）设点C（a，0），
∵直线AB与x轴的交点为D，
∴点D（6，0），
由题意可得： ，
∴ ， ，
∴点B（4，3），
∵S△ACB ＝S△ACD ﹣S△BCD ，
∴3＝ ×CD×（6﹣3），
∴CD＝2，
∴点C（4，0）或（8，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分割法求三角形的面积．
23．（8分）（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北
方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后
到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 nmile．求B，D间的距离（计
算过程中的数据不取近似值）．
第24页（共30页）【分析】由勾股定理求出AB过D作DH⊥AB于H，分别在Rt△ADH中和Rt△BDH中，解
直角三角形即可求出BD．
【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8 nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝ ＝ BC＝ 8 ＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝ ，
∴AH＝ AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10× ＝5 ，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝ ＝ ＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决
问题的关键．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
第25页（共30页）24．（12分）（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的 O上，CD平分∠ACB交 O于点D，
交AB于点E，过点D作 O的切线交CO的延长线⊙于点F． ⊙
（1）求证：FD∥AB； ⊙
（2）若AC＝2 ，BC＝ ，求FD的长．
【分析】（1）连接OD，证明DF⊥OD，AB⊥OD，可得结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H．利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，证明
△CHO∽△ODF，推出 ＝ ，由此求出DF即可．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵DF是 O的切线，
∴OD⊥D⊙F，
∵CD平分∠ACB，
∴ ＝ ，
∴OD⊥AB，
∴AB∥DF；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝ ，AC＝2 ，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵S△ABC ＝ •AC•BC＝ •AB•CH，
∴CH＝ ＝2，
第26页（共30页）∴BH＝ ＝1，
∴OH＝OB﹣BH＝ ﹣1＝ ，
∵DF∥AB，
∴∠COH＝∠F，
∵∠CHO＝∠ODF＝90°，
∴△CHO∽△ODF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝ ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的
判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决
问题．
25．（12分）（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣
2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积
相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点
F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若
不存在，请说明理由．
第27页（共30页）【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；
（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线
DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可
解答；
（3）设P（t，﹣ t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用
等角的三角函数列等式可解答．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得： ；
（2）由（2）知：抛物线解析式为：y＝﹣ x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得： ，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝ ，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
第28页（共30页）∴ •3•（﹣3m）＝ •4• ，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m ＝﹣ ，m ＝ （舍），
1 2
∴直线DE的解析式为：y＝﹣ x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣ t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，
∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
第29页（共30页）∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：t ＝0（舍），t ＝1，
1 2
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，
同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：t ＝ ，t ＝ （舍），
1 2
∴F（ ，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（ ，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的相关性质，一次函数的相关性质，矩
形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，三角函数，解一元二次方程等知识，第三问
有难度，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
第30页（共30页）
