文档内容
2022年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•达州）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．
2．（3分）（2022•达州）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•达州）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，
占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为（
）
A．2.662×108元 B．0.2662×109元
C．2.662×109元 D．26.62×1010元
4．（3分）（2022•达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角
的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
5．（3分）（2022•达州）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价
四十八两（‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几
何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•达州）下列命题是真命题的是（ ）
第1页（共37页）A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子
里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
7．（3分）（2022•达州）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延
长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
8．（3分）（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好
落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
9．（3分）（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点
A，B，C为圆心，以AB长为半径作 ， ， ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．
如果一个曲边三角形的周长为2 ，则此曲边三角形的面积为（ ）
π
A．2 ﹣2 B．2 ﹣ C．2 D． ﹣
10．（3分π）（2022•达州）二次函π数y＝ax2+bx+c的部分图π象如图所示，与y轴π交于（0，﹣1），对
第2页（共37页）称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞ ；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞
a+b成立；④若（﹣2，y ），（ ，y ），（2，y ）在该函数图象上，则y ＜y ＜y ；⑤方程|
1 2 3 3 2 1
ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2022•达州）计算：2a+3a＝ ．
12．（3分）（2022•达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，分别以点A，B为圆心，大
于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，
则∠CAD的度数为 ．
13．（3分）（2022•达州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，
则菱形ABCD的周长为 ．
14．（3分）（2022•达州）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围
第3页（共37页）是 ．
15．（3分）（2022•达州）人们把 ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
中的“0.618法”就应用了黄金比．a＝ ，b＝ ，记S ＝ + ，S ＝
1 2
+ ，…，S ＝ + ，则S +S +…+S ＝ ．
100 1 2 100
16．（3分）（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的
动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，
始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；
③PQ＝PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接
DH，则DH的最小值为2 ﹣2，其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（ ）0﹣2tan45°．
18．（6分）（2022•达州）化简求值： ÷（ + ），其中a＝ ﹣1．
19．（7分）（2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，
开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽
取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：
A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
第4页（共37页）平均数 92 92
中位数 96 m
众数 b 98
方差 28.6 28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请
说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
（x≥95）的学生人数是多少？
20．（8分）（2022•达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（AB）上安装一遮阳篷BC，
使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水
平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°．如图为侧面示意图，请你求出
此遮阳篷BC的长度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，
tan63.4°≈2.00）
21．（8分）（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一
批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数
量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
第5页（共37页）（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两
批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少
是多少元？
22．（8分）（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝ 的图象相交于A（m，2），
B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）（2022•达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB边上一点，以OA为半径
的 O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
（1⊙）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD＝3，tan∠CAD＝ ，求 O的半径．
⊙
24．（11分）（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等
腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝
90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），连接
第6页（共37页）
α αAE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当ED∥BC时，则 ＝ ；
（2）如图3，当点E，F重合时，α请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： ；
【深入探究】
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；
若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为
常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），连接AE，
BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CαF之间的α数量关系，并说明
理由．
25．（11分）（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经
过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函
数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，
EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
第7页（共37页）第8页（共37页）2022年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•达州）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．1 D．
【考点】实数大小比较．
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【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．
【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜ ，
∴最小的数是﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．
2．（3分）（2022•达州）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）（2022•达州）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，
占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为（
）
A．2.662×108元 B．0.2662×109元
第9页（共37页）C．2.662×109元 D．26.62×1010元
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：26.62亿＝2662000000＝2.662×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022•达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角
的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°，由等腰直角三角形的性质得到
∠PND＝45°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DNM＝∠BME＝80°，
∵∠PND＝45°，
∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解
题的关键．
5．（3分）（2022•达州）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价
四十八两（‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几
何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
第10页（共37页）A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，
共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
6．（3分）（2022•达州）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子
里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
【考点】命题与定理；概率公式；不等式的性质；对顶角、邻补角；圆周角定理．
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【分析】根据对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式判断即可．
【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
C、若a＜b，c＝0时，则ac2＝bc2，原命题是假命题；
D、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子
里任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ，是真命题；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、圆周角，不等式的性
质、概率公式等知识，难度不大．
7．（3分）（2022•达州）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延
长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
第11页（共37页）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF
【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．
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【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝ AC，结合平行四边形的判定定理对
各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝ AC，
A、当∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不
符合题意；
B、∵DE＝EF，
∴DE＝ DF，
∴AC＝DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项
不符合题意；
D、∵AD＝CF，AD＝BD，
∴BD＝CF，
由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即
不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；
熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
8．（3分）（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好
落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（ ）
第12页（共37页）A．9 B．12 C．15 D．18
【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
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【分析】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程
即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，
∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，
∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，
∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
∴△BEF∽△CFD，
∴ ，
∵CD＝3BF，
∴CF＝3BE＝12，
设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，
∴（3x）2+122＝（x+12）2，
解得x＝3（舍去0根），
∴AD＝DF＝3+12＝15，
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理的运
用，利用勾股定理列出方程和证明相似三角形是本题的关键．
9．（3分）（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点
A，B，C为圆心，以AB长为半径作 ， ， ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．
如果一个曲边三角形的周长为2 ，则此曲边三角形的面积为（ ）
π
第13页（共37页）A．2 ﹣2 B．2 ﹣ C．2 D． ﹣
【考点π】扇形面积的计算；π等边三角形的性质． π π
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【分析】此三角形是由三段弧组成，如果周长为2 ，则其中的一段弧长为 ，所以根据
π
弧长公式可得 ＝ ，解得r＝2，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面
积就＝三角形的面积+三个弓形的面积．
【解答】解：设等边三角形ABC的边长为r，
∴ ＝ ，解得r＝2，即正三角形的边长为2，
∴这个曲边三角形的面积＝2× × +（ ﹣ ）×3＝2 ﹣2 ，
π
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就＝三角形的
面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求
值．
10．（3分）（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对
称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞ ；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞
a+b成立；④若（﹣2，y ），（ ，y ），（2，y ）在该函数图象上，则y ＜y ＜y ；⑤方程|
1 2 3 3 2 1
ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．
第14页（共37页）A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式；二次函数图象与系数的关系．
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【分析】①正确，判断出a，b，c的正负，可得结论；
②正确．利用对称轴公式可得，b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＞0，解不等式可得结论；
③错误．当m＝1时，m（am+b）＝a+b；
④错误．应该是y ＜y ＜y ，；
2 3 1
⑤错误．当有四个交点或3个时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，
当有两个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵y＝ax2﹣2ax﹣1，
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a+2a﹣1＞0，
∴a＞ ，故②正确，
当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，
∵点（﹣2，y ）到对称轴的距离大于点（2，y ）到对称轴的距离，
1 3
∴y ＞y ，
1 3
第15页（共37页）∵点（ ，y ）到对称轴的距离小于点（2，y ）到对称轴的距离，
2 3
∴y ＞Y ，
3 2
∴y ＜y ＜y ，故④错误，
2 3 1
∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，
当有四个交点或3个时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，
当有两个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2022•达州）计算：2a+3a＝ 5 a ．
【考点】合并同类项．
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【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的
指数不变求解．
【解答】解：2a+3a＝5a，
故答案为：5a．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键．
12．（3分）（2022•达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，分别以点A，B为圆心，大
于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，
则∠CAD的度数为 50 ° ．
第16页（共37页）【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
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【分析】根据∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB，求出∠CAB，∠DAB即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝20°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，
由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝20°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝70°﹣20°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（3分）（2022•达州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，
则菱形ABCD的周长为 5 2 ．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
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【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且平分，
根据勾股定理求边长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝ AC＝12，BO＝ BD＝5，
在Rt△AOB中，
AB＝ ＝ ＝13，
第17页（共37页）∴菱形的周长＝13×4＝52．
故答案为：52．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的
关键．
14．（3分）（2022•达州）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围
是 2 ≤ a ＜ 3 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
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【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定
有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＞a﹣2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为：a﹣2＜x≤3，
∵恰有3个整数解，
∴0≤a﹣2＜1，
∴2≤a＜3，
故答案为：2≤a＜3．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大
取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况
分情况讨论结果，取出合理的答案．
15．（3分）（2022•达州）人们把 ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
中的“0.618法”就应用了黄金比．a＝ ，b＝ ，记S ＝ + ，S ＝
1 2
+ ，…，S ＝ + ，则S +S +…+S ＝ 505 0 ．
100 1 2 100
【考点】黄金分割；规律型：数字的变化类．
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【分析】利用分式的加减法则分别可求S ＝1，S ＝2，S ＝100，…，利用规律求解即可．
1 2 100
第18页（共37页）【解答】解：∵a＝ ，b＝ ，
∴ab＝ × ＝1，
∵S ＝ + ＝ ＝1，
1
S ＝ + ＝ ＝2，
2
…，
S ＝ + ＝ ＝100，
100
∴S +S +…+S ＝1+2+…+100＝5050，
1 2 100
故答案为：5050．
【点评】本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键．
16．（3分）（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的
动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，
始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；
③PQ＝PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接
DH，则DH的最小值为2 ﹣2，其中所有正确结论的序号是 ①②④⑤ ．
【考点】正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
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【分析】①正确．证明△BCP≌△DCP（SAS），可得结论；
②正确．证明∠CFB＝∠EFB，推出∠CBF+∠CFB＝90°，推出2∠CBF+2∠CFB＝180°，
由∠EFD+2∠CFB＝180°，可得结论；
③错误．可以证明PQ＜PA+CQ；
④正确．利用相似三角形的性质证明∠BPF＝90°，可得结论；
第19页（共37页）⑤正确．求出BD，BH，根据DH≥BD﹣BH，可得结论．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴PB＝PD，故①正确，
∵∠PBQ＝∠QCF＝45°，∠PQB＝∠FQC，
∴△PQB∽△FQC，
∴ ＝ ，∠BPQ＝∠CFQ，
∴ ＝ ，
∵∠PQF＝∠BQC，
∴△PQF∽△BQC，
∴∠QPF＝∠QBC，
∵∠QBC+∠CFQ＝90°，
∴∠BPF＝∠BPQ+∠QPF＝90°，
∴∠PBF＝∠PFB＝45°，
∴PB＝PF，
∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确，
∵∠EPF＝∠EDF＝90°，
∴E，D，F，Q四点共圆，
∴∠PEF＝∠PDF，
∵PB＝PD＝PF，
∴∠PDF＝∠PFD，
∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，
∴∠AEB＝∠DFP，
∴∠AEB＝∠BEH，
∵BH⊥EF，
第20页（共37页）∴∠BAE＝∠BHE＝90°，
∵BE＝BE，
∴△BEA≌△BEH（AAS），
∴AB＝BH＝CF＝BC，
∵∠BHF＝∠BCF＝90°，BF＝BF，
∴Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），
∴∠BFC＝∠BFH，
∵∠CBF+∠BFC＝90°，
∴2∠CBF+2∠CFB＝180°，
∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°，
∴∠EFD＝2∠CBFM故②正确，
将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT，连接QT，
∴∠ABP＝∠CBT，
∴∠PBT＝∠ABC＝90°，
∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°，
∵BQ＝BQ，BP＝BT，
∴△BQP≌△BQT（SAS），
∴PQ＝QT，
∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP，
∴PQ＜AP+CQ，故③错误，
连接BD，DH，
∵BD＝2 ，BH＝AB＝2，
∴DH≥BD﹣BH＝2 ﹣2，
∴DH的最小值为2 ﹣2，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
第21页（共37页）【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等
知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中
的压轴题．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（ ）0﹣2tan45°．
【考点】特殊角的三角函数值；有理数的乘方；实数的运算；零指数幂．
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【分析】根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1
＝1+2﹣1﹣2
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，有理数的乘方，特殊角的三角函数值，掌握a0＝1（a≠0）
是解题的关键．
18．（6分）（2022•达州）化简求值： ÷（ + ），其中a＝ ﹣1．
【考点】分式的化简求值．
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【分析】先对分子分母因式分解，再通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
第22页（共37页）＝ ，
把a＝ ﹣1代入 ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分解因式．
19．（7分）（2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，
开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽
取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：
A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 96 m
众数 b 98
方差 28.6 28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 3 0 ，b＝ 9 6 ，m＝ 9 3 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请
说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
（x≥95）的学生人数是多少？
【考点】扇形统计图；中位数；众数；用样本估计总体．
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【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识
第23页（共37页）较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣ ）×100＝30，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴m＝ ＝93；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b＝96，
故答案为：30，96，93；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200× ＝540（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人．
【点评】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（8分）（2022•达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（AB）上安装一遮阳篷BC，
使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水
平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°．如图为侧面示意图，请你求出
此遮阳篷BC的长度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，
tan63.4°≈2.00）
【考点】解直角三角形的应用．
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【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BE的长，然后再根据锐角三角函数，
第24页（共37页）即可得到BC的长．
【解答】解：作DF⊥CE交CE于点F，
∵EC∥AD，∠CDG＝63.4°，
∴∠FCD＝∠CDG＝63.4°，
∵tan∠FCD＝ ，tan63.4°≈2.00，
∴ ＝2，
∴DF＝2CF，
设CF＝xm，则DF＝2xm，BE＝（3﹣2x）m，
∵AD＝2m，AD＝EF，
∴EF＝2m，
∴EC＝（2+x）m，
∵tan∠BCE＝ ，tan10°≈0.18，
∴0.18＝ ，
解得x≈1.2，
∴BE＝3﹣2x＝3﹣2×1.2＝0.6（m），
∵sin∠BCE＝ ，
∴BC＝ ＝ ≈3.5（m），
即此遮阳篷BC的长度约为3.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数
和数形结合的思想解答．
21．（8分）（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一
批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数
第25页（共37页）量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两
批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少
是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
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【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据
所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，
根据题意可得：
，
解得：x＝40，
经检验x＝40是方程的解，
x+4＝40+4＝44，
答：该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解： （件），
设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意可得：（300﹣40）y+40×0.7y≥（4000+8800）×
（1+80%），
解得：y≥80，
答：每件T恤衫的标价至少是80元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（8分）（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝ 的图象相交于A（m，2），
B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第26页（共37页）【考点】反比例函数综合题．
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【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）有三种情形，画出图形可得结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y＝ 经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）由题意，得 ，
解得 或 ，
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ×1×2+ ×1×1＝1.5；
（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．
第27页（共37页）【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面
积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考
题型．
23．（8分）（2022•达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB边上一点，以OA为半径
的 O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
（1⊙）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD＝3，tan∠CAD＝ ，求 O的半径．
⊙
【考点】圆的综合题．
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【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，再利用等腰三角形的性质平行线的性质即可解决问
题；
（2）连接DE，过点D作DT⊥AB于点T，tan∠CAD＝tan∠DAE＝ ，推出 ＝ ，设DE
＝k，AD＝2k，则AE＝ k，利用面积法求出DT，再利用勾股定理求出OT，再根据
tan∠DOT＝ ＝ ，构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵BC是 O的切线，OD是 半径，D是切点，
⊙ ⊙ 第28页（共37页）∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接DE，过点D作DT⊥AB于点T，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠CAD＝tan∠DAE＝ ，
∴ ＝ ，
设DE＝k，AD＝2k，则AE＝ k，
∵ •DE•AD＝ •AE•DT，
∴DT＝ k，
∴OT＝ ＝ ＝ k，
∵tan∠DOT＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴k＝ ，
∴OD＝ k＝ ，
∴ O的半径为 ．
⊙ 第29页（共37页）【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会
利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（11分）（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等
腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝
90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），连接
AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如α下探究，α请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当ED∥BC时，则 ＝ 45 ° ；
（2）如图3，当点E，F重合时，请α直接写出AF，BF，CF之间的数量关系： BF ＝ AF +
CF ；
【深入探究】
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；
若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为
常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），连接AE，
BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CαF之间的α数量关系，并说明
理由．
第30页（共37页）【考点】三角形综合题．
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【分析】（1）由平行线的性质和等腰直角三角形的定义可得 的值；
（2）先根据SAS证明△ACE≌△BCD（SAS），得AF＝BD，最后由α线段的和及等腰直角三角
形斜边与直角边的关系可得结论；
（3）如图4，过点C作CG⊥CF交BF于点G，证△BCG≌△ACF（ASA），得GC＝FC，BG
＝AF，则△GCF为等腰直角三角形，GF＝ CF，即可得出结论；
（4）先证△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE，过点C作CG⊥CF交BF于点G，再证
△BGC∽△AFC，得BG＝mAF，GC＝mFC，然后由勾股定理求出GF＝ •FC，即可
得出结论．
【解答】解：（1）∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∵ED∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即 ＝45°，
故答案为：45°； α
（2）BF＝AF+ CF，理由如下：
如图3，
第31页（共37页）∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝ CF，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AF＝BD，
∵BF＝DF+BD，
∴BF＝AF+ CF；
故答案为：BF＝AF+ CF；
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：
由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠CBD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
∴△GCF为等腰直角三角形，
∴GF＝ CF，
∴BF＝BG+GF＝AF+ CF；
（4）BF＝mAF+ •FC．理由如下：
第32页（共37页）由（2）知，∠ACE＝∠BCD，
而BC＝mAC，CD＝mEC，
即 ＝ ＝m，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，如图6所示：
由（3）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴ ＝ ＝ ＝m，
∴BG＝mAF，GC＝mFC，
在Rt△CGF中，GF＝ ＝ ＝ •CF，
∴BF＝BG+GF＝mAF+ •FC．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会
运用类比的方法解决问题，属于中考压轴题．
25．（11分）（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经
过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函
数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，
EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
第33页（共37页）【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得CP∥x轴，可得P（2，
2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD＝m，DB＝3﹣m，利用勾股定
理即可求得m＝ ，得出D（ ，0），再运用待定系数法求得直线CD的解析式为y＝
x+2，通过联立方程组求解即可得出P（ ，﹣ ）；
（3）设Q（t， t2+ t+2），且﹣1＜t＜3，运用待定系数法求得：直线AQ的解析式为y＝（
t+2）x﹣ t+2，直线BQ的解析式为y＝（﹣ t﹣ ）x+2t+2，进而求出M、N的坐标，即
可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴该二次函数的表达式为y＝ x2+ x+2；
（2）存在，理由如下：
第34页（共37页）如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵y＝ x2+ x+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），
则OD＝m，DB＝3﹣m，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，
∴22+m2＝（3﹣m）2，
解得：m＝ ，
∴D（ ，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线CD的解析式为y＝ x+2，
联立，得 ，
第35页（共37页）解得： （舍去）， ，
∴P（ ，﹣ ），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（ ，﹣ ）；
（3）由（2）知：抛物线y＝ x2+ x+2的对称轴为直线x＝1，
∴E（1，0），
设Q（t， t2+ t+2），且﹣1＜t＜3，
设直线AQ的解析式为y＝ex+f，则 ，
解得： ，
∴直线AQ的解析式为y＝（ t+2）x﹣ t+2，
当x＝1时，y＝﹣ t+4，
∴M（1，﹣ t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y＝（﹣ t﹣ ）x+2t+2，
当x＝1时，y＝ t+ ，
∴N（1， t+ ），
∴EM＝﹣ t+4，EN＝ t+ ，
∴EM+EN＝﹣ t+4+ t+ ＝ ，
第36页（共37页）故EM+EN的值为定值 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，平行线性质及应用，等腰三角形性质
等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题，学会用转化的思想思考问题，
属于中考压轴题．
第37页（共37页）
