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2022年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是
A．0 B． C．1 D．
2．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的
是
A． B． C． D．
3．（3分）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，占地总面积
2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
4．（3分）如图， ，直线 分别交 ， 于点 ， ，将一个含有 角的直角三
角尺按如图所示的方式摆放，若 ，则 等于
A． B． C． D．
5．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两
‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每
匹 两，牛每头 两，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
6．（3分）下列命题是真命题的是
第1页（共35页）A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若 ，则
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子
里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
7．（3分）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 边的中点，点 在 的延长线上．添
加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则这个条件可以是
A． B． C． D．
8．（3分）如图，点 在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上
的点 处，若 ， ，则 的长为
A．9 B．12 C．15 D．18
9．（3分）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边 ，分别以点 ， ， 为圆
心，以 长为半径作 ， ， ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲
边三角形的周长为 ，则此曲边三角形的面积为
A． B． C． D．
第2页（共35页）10．（3分）二次函数 的部分图象如图所示，与 轴交于 ，对称轴为直线
．下列结论：① ；② ；③对于任意实数 ，都有 成立；④若
， ， ， 在该函数图象上，则 ；⑤方程 ，
为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算： ．
12．（3分）如图，在 中， ， ，分别以点 ， 为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧分别相交于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ，则
的度数为 ．
13．（3分）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，则菱形
的周长为 ．
第3页（共35页）14．（3分）关于 的不等式组 恰有3个整数解，则 的取值范围是 ．
15．（3分）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618
法”就应用了黄金比． ， ，记 ， ， ，
，则 ．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形 中，点 ， 分别为 ， 边上的动点（不与
端点重合），连接 ， ，分别交对角线 于点 ， ．点 ， 在运动过程中，始终保持
，连接 ， ， ．下列结论：① ；② ；③
；④ 为等腰直角三角形；⑤若过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
则 的最小值为 ，其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算： ．
18．（6分）化简求值： ，其中 ．
19．（7分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远
离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的
竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用 表示，共分成四组： ，
， ， ，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在 组中的数据是：92，92，94，94．
第4页（共35页）七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 96
众数 98
方差 28.6 28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说
明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
的学生人数是多少？
20．（8分）某老年活动中心欲在一房前 高的前墙 上安装一遮阳篷 ，使正午时刻
房前能有 宽的阴影处 以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角
为 ，遮阳篷 与水平面的夹角为 ．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷 的长
度（结果精确到 ．
（参考数据： ， ， ； ， ，
21．（8分）某商场进货员预测一种应季 恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种 恤衫，
面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种 恤衫，所购数量是第一批购进量
的2倍，但每件的进价贵了4元．
第5页（共35页）（1）该商场购进第一批、第二批 恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批 恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件 恤衫按七折优惠售出，要使两批
恤衫全部售完后利润率不低于 （不考虑其他因素），那么每件 恤衫的标价至少是多
少元？
22．（8分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，分别
连接 ， ．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）在平面内是否存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）如图，在 中， ，点 为 边上一点，以 为半径的 与
相切于点 ，分别交 ， 边于点 ， ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
24．（11分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形
和等腰直角三角形 ，按如图1的方式摆放， ，随后保持
不动，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，连接 ， ，延长 交 于
第6页（共35页）点 ，连接 ．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当 时，则 ；
（2）如图3，当点 ， 重合时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系： ；
【深入探究】
（3）如图4，当点 ， 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若
不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在 与 中， ，若 ， 为常
数）．保持 不动，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，连接 ， ，
延长 交 于点 ，连接 ，如图6．试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理
由．
25．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点
， ，与 轴交于点 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接 ，在该二次函数图象上是否存在点 ，使 ？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线 为该二次函数图象的对称轴，交 轴于点 ．若点 为 轴上方二次函数
图象上一动点，过点 作直线 ， 分别交直线 于点 ， ，在点 的运动过程中，
第7页（共35页）的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
第8页（共35页）2022年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是
A．0 B． C．1 D．
【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．
【解答】解： ，
最小的数是 ．
故选： ．
2．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的
是
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： ．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选： ．
3．（3分）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，占地总面积
2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【解答】解：26.62亿 ．
故选： ．
第9页（共35页）4．（3分）如图， ，直线 分别交 ， 于点 ， ，将一个含有 角的直角三
角尺按如图所示的方式摆放，若 ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质得到 ，由等腰直角三角形的性质得到
，即可得到结论．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
5．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两
‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每
匹 两，牛每头 两，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共
价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹 两，牛每头 两，根据题意可列方程组为： ．
故选： ．
6．（3分）下列命题是真命题的是
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
第10页（共35页）C．若 ，则
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子
里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
【分析】根据对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式判断即可．
【解答】解： 、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
、若 ， 时，则 ，原命题是假命题；
、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里
任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ，是真命题；
故选： ．
7．（3分）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 边的中点，点 在 的延长线上．添
加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则这个条件可以是
A． B． C． D．
【分析】利用三角形中位线定理得到 ， ，结合平行四边形的判定定理对各
个选项进行判断即可．
【解答】解： ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
， ，
、当 ，不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项不
符合题意；
、 ，
，
，
第11页（共35页），
四边形 为平行四边形，故本选项符合题意；
、根据 ，不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项
不符合题意；
、 ， ，
，
由 ， ， ，不能判定 ，不能判定 ，即不
能判定四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选： ．
8．（3分）如图，点 在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上
的点 处，若 ， ，则 的长为
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】证明 ，求得 ，设 ，用 表示 、 ，由勾股定理列出方程
即可求解．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
将矩形 沿直线 折叠，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
中， ，
第12页（共35页），
解得 （舍去0根），
，
故选： ．
9．（3分）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边 ，分别以点 ， ， 为圆
心，以 长为半径作 ， ， ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲
边三角形的周长为 ，则此曲边三角形的面积为
A． B． C． D．
【分析】此三角形是由三段弧组成，如果周长为 ，则其中的一段弧长为 ，所以根据弧长
公式可得 ，解得 ，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就 三角
形的面积 三个弓形的面积．
【解答】解：设等边三角形 的边长为 ，
，解得 ，即正三角形的边长为2，
这个曲边三角形的面积 ，
故选： ．
10．（3分）二次函数 的部分图象如图所示，与 轴交于 ，对称轴为直线
．下列结论：① ；② ；③对于任意实数 ，都有 成立；④若
第13页（共35页）， ， ， 在该函数图象上，则 ；⑤方程 ，
为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①正确，判断出 ， ， 的正负，可得结论；
②正确．利用对称轴公式可得， ，当 时， ，解不等式可得结论；
③错误．当 时， ；
④错误．应该是 ，；
⑤错误．当有四个交点或3个时，方程 ， 为常数）的所有根的和为4，当
有两个交点时，方程 ， 为常数）的所有根的和为2．
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线与 轴交于点 ，
，
，
，
，故①正确，
，
当 时， ，
，
，故②正确，
第14页（共35页）当 时， ，故③错误，
点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
，
点 ， 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
，
，故④错误，
方程 ， 为常数）的解，是抛物线与直线 的交点，
当有四个交点或3个时，方程 ， 为常数）的所有根的和为4，
当有两个交点时，方程 ， 为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算： ．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指
数不变求解．
【解答】解： ，
故答案为： ．
12．（3分）如图，在 中， ， ，分别以点 ， 为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧分别相交于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ，则
第15页（共35页）的度数为 ．
【分析】根据 ，求出 ， 即可．
【解答】解： ， ，
，
由作图可知， 垂直平分线段 ，
，
，
，
故答案为： ．
13．（3分）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，则菱形
的周长为 5 2 ．
【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且平分，根
据勾股定理求边长即可．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ， ，
， ，
， ，
在 中，
，
菱形的周长 ．
故答案为：52．
第16页（共35页）14．（3分）关于 的不等式组 恰有3个整数解，则 的取值范围是 ．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有
哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 的不等式，从而求出 的范围．
【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为： ，
恰有3个整数解，
，
，
故答案为： ．
15．（3分）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618
法”就应用了黄金比． ， ，记 ， ， ，
，则 505 0 ．
【分析】利用分式的加减法则分别可求 ， ， ， ，利用规律求解即可．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
第17页（共35页），
故答案为：5050．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形 中，点 ， 分别为 ， 边上的动点（不与
端点重合），连接 ， ，分别交对角线 于点 ， ．点 ， 在运动过程中，始终保持
，连接 ， ， ．下列结论：① ；② ；③
；④ 为等腰直角三角形；⑤若过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
则 的最小值为 ，其中所有正确结论的序号是 ①②④⑤ ．
【分析】①正确．证明 ，可得结论；
②正确．证明 ，推出 ，推出 ，由
，可得结论；
③错误．可以证明 ；
④正确．利用相似三角形的性质证明 ，可得结论；
⑤正确．求出 ， ，根据 ，可得结论．
【解答】解：如图， 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，故①正确，
， ，
，
第18页（共35页）， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，故④正确，
，
， ， ， 四点共圆，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
故②正确，
第19页（共35页）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，故③错误，
连接 ， ，
， ，
，
的最小值为 ，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算： ．
【分析】根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式
．
18．（6分）化简求值： ，其中 ．
第20页（共35页）【分析】先对分子分母因式分解，再通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可．
【解答】解：原式
，
把 代入 ．
19．（7分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远
离溺水 珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的
竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用 表示，共分成四组： ，
， ， ，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在 组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 96
众数 98
方差 28.6 28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 3 0 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说
明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
的学生人数是多少？
第21页（共35页）【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的众数高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1） ，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
；
在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
，
故答案为：30，96，93；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀 的学生人数是： （人 ，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀 的学生人数是540人．
20．（8分）某老年活动中心欲在一房前 高的前墙 上安装一遮阳篷 ，使正午时刻
房前能有 宽的阴影处 以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角
为 ，遮阳篷 与水平面的夹角为 ．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷 的长
度（结果精确到 ．
（参考数据： ， ， ； ， ，
第22页（共35页）【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得 的长，然后再根据锐角三角函数，
即可得到 的长．
【解答】解：作 交 于点 ，
， ，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
， ，
，
，
， ，
，
解得 ，
，
，
，
即此遮阳篷 的长度约为 ．
第23页（共35页）21．（8分）某商场进货员预测一种应季 恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种 恤衫，
面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种 恤衫，所购数量是第一批购进量
的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批 恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批 恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件 恤衫按七折优惠售出，要使两批
恤衫全部售完后利润率不低于 （不考虑其他因素），那么每件 恤衫的标价至少是多
少元？
【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批 恤衫每件的进价分别是 元和 元，根据所
购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件 恤衫的标价至少是 元，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批 恤衫每件的进价分别是 元和 元，根
据题意可得：
，
解得： ，
经检验 是方程的解，
，
答：该商场购进第一批、第二批 恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解： （件 ，
设 每 件 恤 衫 的 标 价 至 少 是 元 ， 根 据 题 意 可 得 ：
，
解得： ，
答：每件 恤衫的标价至少是80元．
22．（8分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，分别
连接 ， ．
第24页（共35页）（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）在平面内是否存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点 的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点 的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）有三种情形，画出图形可得结论．
【解答】解：（1） 一次函数 经过点 ，
，
，
，
反比例函数 经过点 ，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2）由题意，得 ，
解得 或 ，
，
，
；
第25页（共35页）（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
23．（8分）如图，在 中， ，点 为 边上一点，以 为半径的 与
相切于点 ，分别交 ， 边于点 ， ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【分析】（1）连接 ，证明 ，再利用等腰三角形的性质平行线的性质即可解决问题；
（2）连接 ，过点 作 于点 ， ，推出 ，设
， ，则 ，利用面积法求出 ，再利用勾股定理求出 ，再根据
，构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：连接 ．
是 的切线， 是 半径， 是切点，
，
，
第26页（共35页），
，
，
，
，
平分 ；
（2）解：连接 ，过点 作 于点 ，
是直径，
，
，
，
设 ， ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ．
第27页（共35页）24．（11分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形
和等腰直角三角形 ，按如图1的方式摆放， ，随后保持
不动，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，连接 ， ，延长 交 于
点 ，连接 ．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当 时，则 ；
（2）如图3，当点 ， 重合时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系： ；
【深入探究】
（3）如图4，当点 ， 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若
不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在 与 中， ，若 ， 为常
数）．保持 不动，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，连接 ， ，
延长 交 于点 ，连接 ，如图6．试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理
由．
第28页（共35页）【分析】（1）由平行线的性质和等腰直角三角形的定义可得 的值；
（2）先根据 证明 ，得 ，最后由线段的和及等腰直角三角形
斜边与直角边的关系可得结论；
（3）如图4，过点 作 交 于点 ，证 ，得 ，
，则 为等腰直角三角形， ，即可得出结论；
（4）先证 ，得 ，过点 作 交 于点 ，再证
，得 ， ，然后由勾股定理求出 ，即可得
出结论．
【解答】解：（1） 是等腰直角三角形，
，
，
，即 ，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
如图3，
第29页（共35页）和 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，
，
，
，
；
故答案为： ；
（3）如图4，当点 ， 不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：
由（2）知， ，
，
过点 作 交 于点 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
第30页（共35页）；
（4） ．理由如下：
由（2）知， ，
而 ， ，
即 ，
，
，
过点 作 交 于点 ，如图6所示：
由（3）知， ，
，
，
， ，
在 中， ，
．
25．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点
， ，与 轴交于点 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接 ，在该二次函数图象上是否存在点 ，使 ？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线 为该二次函数图象的对称轴，交 轴于点 ．若点 为 轴上方二次函数
图象上一动点，过点 作直线 ， 分别交直线 于点 ， ，在点 的运动过程中，
的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
第31页（共35页）【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）分两种情况：当点 在 上方时，根据平行线的判定定理可得 轴，可得 ；
当点 在 下方时，设 交 轴于点 ，则 ， ，利用勾股定理即可
求得 ，得出 ， ，再运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，通过
联立方程组求解即可得出 ， ；
（3）设 ，且 ，运用待定系数法求得：直线 的解析式为
，直线 的解析式为 ，进而求出 、 的坐标，
即可得出答案．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ， ，
，
解得： ，
该二次函数的表达式为 ；
（2）存在，理由如下：
第32页（共35页）如图1，当点 在 上方时，
，
，即 轴，
点 与点 关于抛物线对称轴对称，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
；
当点 在 下方时，设 交 轴于点 ，
则 ， ，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
， ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立，得 ，
第33页（共35页）解得： （舍去）， ，
， ，
综上所述，点 的坐标为 或 ， ；
（3）由（2）知：抛物线 的对称轴为直线 ，
，
设 ，且 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
同理可得直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
， ，
，
故 的值为定值 ．
第34页（共35页）第35页（共35页）
