文档内容
2022年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）（2022•乐山）下面四个数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．
2．（3分）（2022•乐山）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ π ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）（2022•乐山）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区
别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这
两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．﹣
6．（3分）（2022•乐山）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92
分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合
成绩为（ ）
第1页（共32页）A．88 B．90 C．91 D．92
7．（3分）（2022•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B
作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
8．（3分）（2022•乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（s 千米）与所用的时
间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
第2页（共32页）D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
9．（3分）（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，点D是AC上一点，连结
BD．若tan∠A＝ ，tan∠ABD＝ ，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
10．（3分）（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2 ，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE
＝ BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，
M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）（2022•乐山）|﹣6|＝ ．
12．（3分）（2022•乐山）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝ ．
13．（3分）（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱
形的面积为 cm2．
第3页（共32页）14．（3分）（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．
15．（3分）（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称
它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为
．
16．（3分）（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝ （k＞0）上，
且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE ＝ ，则k＝ ．
三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）（2022•乐山）sin30°+ ﹣2﹣1．
18．（9分）（2022•乐山）解不等式组 ．请结合题意完成本题的解答（每
空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
第4页（共32页）所以原不等式组解集为 ．
19．（9分）（2022•乐山）如图，B是线段 AC 的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：
△ABD≌△BCE．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
21．（10分）（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证
省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县
电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分
钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速
度的1.5倍，求摩托车的速度．
22．（10分）（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：
A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对
四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整
理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计
图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学
生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表
信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
第5页（共32页）五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于点
A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（10分）（2022•乐山）如图，线段AC为 O的直径，点D、E在 O上， ＝ ，过点D作
DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF⊙于点G． ⊙
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知 O的半径为6，sin∠ACE＝ ，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是 O的切
⊙ ⊙
线．
第6页（共32页）六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答
案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试
猜想 的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，
且EG⊥FH．则 ＝ ．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、
AD上，且CE⊥BF．求 的值．
第7页（共32页）26．（13分）（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A
（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的
一个动点，连结PB、PC，若S△PBC ＝S△BCD ，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设
点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示 的值，并求 的最大值．
第8页（共32页）2022年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）（2022•乐山）下面四个数中，比0小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．
【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数π比较大小，绝对
值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．
【解答】解： ＞ ＞1＞0＞﹣2，
∴比0小的数是π ﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要利用了负数小于0．
2．（3分）（2022•乐山）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
第9页（共32页）3．（3分）（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．
【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，
∴P点在第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握其
特点是解题关键．
4．（3分）（2022•乐山）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区
别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可知存在6+18＝24种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可
以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．
【解答】解：∵一个布袋中放着6个黑球和18个红球，
∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是 ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
5．（3分）（2022•乐山）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这
两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．﹣
【分析】直接把x＝1代入一元二次方程即可求出m的值，根据根与系数的关系即可求得．
【解答】解：∵方程的其中一个根是1，
∴3﹣2+m＝0，解得m＝﹣1，
∵两根的积为 ，
∴两根的积为﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根已经根与系数的关系：x ，x 是一元二次方程
1 2
第10页（共32页）ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2
6．（3分）（2022•乐山）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92
分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合
成绩为（ ）
A．88 B．90 C．91 D．92
【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．
【解答】解：李老师的综合成绩为：90×30%+92×60%+88×10%＝91（分）；
故选：C．
【点评】本题考查了加权成绩的计算．加权成绩等于各项成绩乘以不同的权重的和．
7．（3分）（2022•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B
作BF⊥AC，垂足为F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【分析】根据平行四边形的性质可得S△ABC ＝ S平行四边形ABCD ，结合三角形及平行四边形的
面积公式计算可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，S△ABC ＝ S平行四边形ABCD ，
∵DE⊥AB，BF⊥AC，
第11页（共32页）∴ ，
∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，
∴8BF＝6×4，
解得BF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题
的关键．
8．（3分）（2022•乐山）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（s 千米）与所用的时
间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米/分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8÷10＝0.08（千米/分），乙的速度是
1.2÷10＝0.12（千米/分），
∴甲比乙的速度慢，故A正确，不符合题意；
经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，不符合题意；
∵甲40分钟走了3.2千米，
∴甲的平均速度为3.2÷40＝0.08（千米/分钟），故C正确，不符合题意；
∵经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，
第12页（共32页）∴甲比乙走过的路程多，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，从图中获取有用
的信息．
9．（3分）（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，点D是AC上一点，连结
BD．若tan∠A＝ ，tan∠ABD＝ ，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
【分析】过D点作DE⊥AB于E，由锐角三角函数的定义可得5DE＝AB，再解直角三角形
可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝ ＝ ，tan∠ABD＝ ＝ ，
∴AE＝2DE，BE＝2DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝ ，BC＝ ，
∴ ，
解得AC＝ ，
∴AB＝ ，
∴DE＝1，
第13页（共32页）∴AE＝2，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC﹣AD＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，构造适当的直角三角形是解题的关键．
10．（3分）（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2 ，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE
＝ BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，
M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B
重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝ CF″，
利用相似三角形的性质求出CF″可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，
点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝ CF″，
第14页（共32页）∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AE∥BC，AE＝ BC，
∴AE＝CH，
∴四边形AHCE是平行四边形，
∵∠AHC＝90°，
∴四边形AHCE是矩形，
∴EC⊥BF″，AH＝EC，
∵BC＝2，S△ABC ＝2 ，
∴ ×2×AH＝2 ，
∴AH＝EC2 ，
∵∠BFF″＝∠ECB＝∠ECF″，
∴∠BEC+∠CEF″＝90°，
∠CEF″+∠F″＝90°，
∴∠BEC＝∠F″，
∴△ECB∽△F″CE，
∴EC2＝CB•CF″，
∴CF″＝ ＝6，
∴M′M″＝3
故选：B．
【点评】本题考查轨迹，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）（2022•乐山）|﹣6|＝ 6 ．
【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．
【解答】解：﹣6＜0，
则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，
故答案为6．
第15页（共32页）【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|＝ ．
12．（3分）（2022•乐山）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°．则∠2＝ 40 ° ．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠ACB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠1＝50°，
则∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ACB＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、同位角相等是
解题的关键．
13．（3分）（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱
形的面积为 2 4 cm2．
【分析】根据菱形的面积＝对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，
∴菱形的面积是 ＝24（cm2），
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积＝对角线乘积的一半．
14．（3分）（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ 4 ．
【分析】根据完全平方公式得出m和n的值即可得出结论．
【解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
第16页（共32页）故答案为：4．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据完全平方公式得出m和n的值是解题的关键．
15．（3分）（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称
它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为
10 ．
【分析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d
的边长为5x，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出
x的值，再将其代入5x中即可求出结论．
【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形
d的边长为5x，
依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，
解得：x＝2，
∴5x＝5×2＝10，
即正方形d的边长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
16．（3分）（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝ （k＞0）上，
且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE ＝ ，则k＝ 3 ．
第17页（共32页）【分析】连接DE、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到
S△ODE ＝S△EBC ，S△ADE ＝S△ABC ，进而求出S△OAD ，根据反比例函数系数k的几何意义解答即
可．
【解答】解：设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△ODE ＝S△EBC ，S△ADE ＝S△ABC ，
∴S△OAD ＝S△ABE ＝ ，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计
算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）（2022•乐山）sin30°+ ﹣2﹣1．
【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然
第18页（共32页）后合并即可求解．
【解答】解：原式＝ +3﹣
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点的运算．
18．（9分）（2022•乐山）解不等式组 ．请结合题意完成本题的解答（每
空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 x ＞﹣ 2 ．
解不等式②，得 x ≤ 3 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ﹣ 2 ＜ x ≤ 3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2．
解不等式②，得x≤3．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，
故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（9分）（2022•乐山）如图，B是线段 AC 的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：
△ABD≌△BCE．
第19页（共32页）【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．
【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关
键．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）（2022•乐山）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将x的值代入
化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1﹣ ）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝ 时，原式＝ +1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
21．（10分）（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证
省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县
电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分
钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速
度的1.5倍，求摩托车的速度．
第20页（共32页）【分析】设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路
程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用 10分钟到达，即可得出关于x
的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
依题意，得： ﹣ ＝ ，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为10千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（10分）（2022•乐山）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：
A．文学鉴赏，B．趣味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对
四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整
理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计
图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ①③②④ ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 D ．
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学
生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表
信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
第21页（共32页）【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；
（2）根据抽样调查的特点解答即可；
（3）根据样本估计总体思想解答即可．
【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，
故答案为：①③②④；
（2））根据抽样调查的特点易判断出：D，
故答案为：D；
（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：
×1000＝200（人），
200÷40＝5，
答：至少应该开设5个班．
【点评】本题考查条形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于点
A（﹣1，n），直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
第22页（共32页）【分析】（1）将A点坐标代入直线l解析式，求出n的值，确定A点坐标，再代入反比例函
数解析式即可；
（2）通过已知条件求出直线l′解析式，用△BOC的面积﹣△ACD的面积解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）易知直线l：y＝x+4与x、y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），
∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），
设l′：y＝kx+b，则 ，
解得： ，
∴l′：y＝﹣x+2，
∴l′与y轴的交点为D（0，2），
∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积＝ ×4×4﹣ ×2×1＝7．
第23页（共32页）【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反
比例函数的解析式是解题的关键．
24．（10分）（2022•乐山）如图，线段AC为 O的直径，点D、E在 O上， ＝ ，过点D作
DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF⊙于点G． ⊙
（1）求证：CG＝DG；
（2）已知 O的半径为6，sin∠ACE＝ ，延长AC至点B，使BC＝4．求证：BD是 O的切
⊙ ⊙
线．
【分析】（1）证明∠CDG＝∠DCG可得结论；
（2）证明△COH∽△BOD可得∠BDO＝90°，从而得结论．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵线段AC为 O的直径，
∴∠ADC＝90⊙°，
∴∠ADF+∠CDG＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDG＝∠DAF，
∵ ＝ ，
∴∠DAF＝∠DCG，
第24页（共32页）∴∠CDG＝∠DCG，
∴CG＝DG；
（2）连接OD，交CE于H，
∵ ＝ ，
∴OD⊥EC，
∵sin∠ACE＝ ＝ ，
∵BC＝4，OD＝OC＝6，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠COH＝∠BOD，
∴△COH∽△BOD，
∴∠BDO＝∠CHO＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是 O的半径，
∴BD是⊙O的切线．
【点评】本⊙题考查了等腰三角形的判定，平行线的判定和性质，切线的判定，垂径定理，直
角三角形的性质，三角函数的定义等知识，第二问证明△COH∽△BOD是解本题的关键，
难度中等．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答
案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
第25页（共32页）∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试
猜想 的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，
且EG⊥FH．则 ＝ ．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、
AD上，且CE⊥BF．求 的值．
第26页（共32页）【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正
方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在长方形
ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM∽△ADN．再根据其对应
边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．证明△CME∽△BAF，推出
＝ ，可得结论．
【解答】解：（1）结论： ＝1．
理由：如图1中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝BC，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，即EG＝FH，
第27页（共32页）∴ ＝1；
（2）如图2中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝EC，
在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
∴ ＝ ，
∵AB＝m，BC＝AD＝n，
∴ ＝ ．
故答案为： ；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．
∵CM⊥AB，
第28页（共32页）∴∠CME＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△CME∽△BAF，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴ ＝ ＝sin60°＝ ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和
性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三
角形或相似三角形解决问题．
26．（13分）（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A
（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的
一个动点，连结PB、PC，若S△PBC ＝S△BCD ，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设
点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示 的值，并求 的最大值．
【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C坐标，将二次函数设为交点式，将
第29页（共32页）点C坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情形．当点P在第三象限时，设点P（a，a2﹣a
﹣2），可表示出△BCD的面积，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，先求出直线
BC，从而得出E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC ＝S△BCD ，列出方程，进一
步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的长，根据
PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 ，从而得出 的函数表达式，进一步
求得结果．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴tan∠OAC＝ ＝2，
∴OC＝2OA＝2，
∴点C（0，﹣3），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）•（x﹣2），
∴a•1×（﹣2）＝﹣2，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；
（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），
如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2，
第30页（共32页）∴当y＝a2﹣a﹣2时，x＝y+2＝a2﹣a，
∴PE＝a2﹣a﹣a＝a2﹣2a，
∴S△PBC ＝ PE•OC，
∵抛物线的对称轴为直线y＝ ，CD∥x轴，C（0，﹣2），
∴点D（1，﹣2），
∴CD＝1，
∴S△BCD ＝ OC，
∴ PE•OC＝ •OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a ＝1+ （舍去），a ＝1﹣ ，
1 2
当x＝1﹣ 时，y＝a2﹣a﹣2＝a﹣1＝﹣ ，
∴P（1﹣ ，﹣ ），
如图2，当点P在第一象限时，
作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，
∴F（a，a﹣2）
∴PF＝（a2﹣a﹣2）﹣（a﹣2）＝a2﹣2a，
∴S△PBC ＝ OB＝ CD•OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a ＝1+ ，a ＝1﹣ （舍去），
1 2
当a＝1+ 时，y＝a2﹣a﹣2＝a2﹣2a+a﹣2＝1+1+ ﹣2＝ ，
∴P（1+ ， ），
第31页（共32页）综上所述：P（1+ ， ）或（1﹣ ，﹣ ）；
（3）如图3，
作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），
∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴ ＝ ＝﹣ + ，
∴当t＝1时，（ ）
最大
＝ ．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性
质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
第32页（共32页）
