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专题 14 平面中的轨迹方程问题
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题型01 直接法..............................................................................................................................................................1
题型02 定义法..............................................................................................................................................................3
题型03 相关点法..........................................................................................................................................................7
题型04 交轨法............................................................................................................................................................11
题型 01 直接法
【解题规律·提分快招】
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)．
3、直接法
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含
的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山东泰安·一模）在平面内， 是两个定点， 是动点，若 ，则点 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆
【答案】D
【分析】根据题意求出动点 的轨迹方程即可判断.
【详解】设点 ，点 ，
则 ， .
由 可得： ，即 .
所以点 的轨迹为圆.
故选：D
2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知两定点 ，动点 满足
，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可.
【详解】动点 满足 ，则 ，其中 ，
化简可得 ．
故选：B．
3．（24-25高三上·全国·课后作业）已知 是坐标原点，点 满足 ，且
，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点P坐标，利用平面向量的坐标表示消元化简即可.
【详解】设 ， ，由题意可知，
，
所以 ，消去参数 ，得点 的轨迹方程为 ．
故选：D．二、填空题
4．（24-25高三上·吉林通化·期中）在 中， ， ， ，则点 的轨迹方程为
．
【答案】
【分析】设点 ，分别表示 与 ，化简即可.
【详解】设点 ，
则 ， ，
则 ，
化简可得 ，
故答案为： .
5．（24-25高三上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且
，则点P的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程.
【详解】设 ，则 ，
又因为 可得 .
则点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
题型 02 定义法
【解题规律·提分快招】
1、椭圆定义
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
①第一定义：平面内与两个定点F,F 的距离之和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫
1 2 1 2
做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (0＜e＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，
该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到 A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当0＜e2＜1时，该动点的轨迹为椭圆。
2、双曲线定义
①第一定义：平面内与两个定点F,F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双曲线．这
1 2 1 2
两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (e＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该
常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到 A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当e2＞1
时，该动点的轨迹为双曲线。
3、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛物线的
焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期末）点 的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，且
它们的斜率之积是 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得.
【详解】
设 ，因为 ，所以 ，
由已知， ，化简得 ，
故选：B．2．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知 ， ，直线 相交于点 ，且直线 与直
线 的斜率之积为1，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设点 ,根据题意建立方程，化简即得点 的轨迹方程，同时要注意条件 的满足即得.
【详解】设点 ，则 ，
化简即得： .
即点 的轨迹方程为： .
故选：B.
3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则
动点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，动点P到点 的距离等于它到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，点P在以 为焦点， 为准线的抛物线上，其轨迹方程为 ，
故选：D
4．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离
的比是常数 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.
【详解】设 是点 到直线 的距离，
根据题意，动点 的轨迹就是集合 .由此得 ，将上式两边平方并化简，得 ，
即 .
所以动点 的轨迹方程为 .
故选：B.
5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 外切，
则动圆圆心 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心 的轨迹，然后再求方程即可.
【详解】 圆 与圆 外切，如图，
，即 ，
，
由双曲线的定义，点 的轨迹是以 为焦点， 为实轴长的双曲线的左支，其中 ， ，
．
故所求轨方程为： ．
故选：C．
6．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知圆 和圆 ，若动圆P与这
两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】首先通过半径判断出两圆关系为内含，然后根据 结合椭圆的几
何定义，判断出轨迹为椭圆得解.
【详解】圆 和圆 的圆心、半径分别为 ， ， ，
，
由 可知圆 内含于圆 ，
设动圆半径为R，由题意可得 ， ，两式相加可得
，
故P点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆， ， ，
所以 ， ，
所以椭圆方程为 ，
故选：D.
题型 03 相关点法
【解题规律·提分快招】
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线
方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，即
可得到动点 的轨迹方程。
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x,y)；
1 1
{x =f(x,y)
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 1
y =g(x,y)
1
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，将圆 上所有点的横坐标伸长到原
来的2倍，纵坐标缩短为原来的 ，则得到的新曲线的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】设 为 上任意一点，通过变换后得 ，根据点在圆上代入化简即可.
【详解】设 为 上任意一点，
将点 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的 得到点 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以新的曲线方程为 ．
故选：D．
2．（24-25高三上·福建莆田·期末）在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段 ，D为垂足，
M是线段 上的点，且 ，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ）
A． + =1(y ) B． + =1(y )
C． + =1(y ) D． + =1(y )
【答案】A
【分析】设点 ， ，则 ，因点 在圆 上 ，利用相关点法即可求得点M
的轨迹方程.
【详解】
如图，设点 ， ，则 ，
因点 在圆 上 ，则 （*），
又因 轴，且M是线段 上的点， ，则 ，
则得 ，即 ，将其代入（*），即得 是点M的轨迹方程.
故选：A.
3．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知椭圆 的短轴的两个端点分别为 、 ， 为椭圆上一动
点，则 的重心 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，利用三角形重心坐标公式可得 ，代入椭圆方程中化简即可.
【详解】由题意知 、 是椭圆 的短轴的两个端点，
所以 ，
设 ，
由 为 的重心，
所以 ，
又 为椭圆上一动点，
所以 即 ，
所以有： ，
又 为 的重心，
所以 ，即 的轨迹方程为 .
故选：B.
二、填空题
4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图， 轴，垂足为 ，点 在 的延长线上，且
，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹方程为 ．【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，点 ，可得 ，根据点 在圆上即可求出．
【详解】解：设点 的坐标为 ，点 ，由题意可知 ，
则由题可得 ，即 ，
点 在圆 上运动，
，
即点 的轨迹方程为 ．
故答案为：
5．（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线
交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】 ．
【分析】由角平分线的性质定理和向量的坐标运算、圆的方程，可得所求方程．
【详解】设 ，则 ，
设 ，
由 为 的角平分线，
可得 ，
即有 ，
可得 , ，即 ， ，
可得 ， ，
则 ，
即为 ．
故答案为： ．
题型 04 交轨法
【解题规律·提分快招】
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来
得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可
以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系 中， ，动点 和 分别位
于 正半轴和负半轴上，若 ，则 和 的交点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过设出交点 的坐标，利用 、 、 、 的坐标关系以及已知条件 来建立等
式，从而求出 的轨迹方程.
【详解】设 ， ， .
因为 ，所以 .
已知 ， ，根据直线的截距式方程 （ 为 轴上的截距， 为 轴上的截距），可得
直线 的方程： .
已知 ， ，则直线 的方程为 .
因为 是 和 的交点，所以 的坐标满足 和 的方程.对于直线 的方程 ，可得 .
对于直线 的方程 ，可得 .
又因为 ，所以 ，即 .
故选：D.
2．（2024高三上·全国·专题练习）设 是椭圆 与x轴的两个交点， 是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线 与 交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先设出 和 根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点
在椭圆上，代入消元即得点 的轨迹方程.
【详解】
如图，设直线 与 的交点为 ，则
∵ 共线，故 ①，又∵ 共线，故 ②.
由①，② 两式相乘得 （*）,
因 在椭圆 上，则 ，可得： 将其代入（*）式，即得：
，
化简得： ，即P的轨迹方程为 .故选：C.
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆
长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
【答案】 （ ）．
【分析】设 ，直线 和 的交点为 ，根据 三点共线及 三点共线，
可得两个式子，两式相乘，再结合 在椭圆上即可得出答案.
【详解】设 ，
因为椭圆 的长轴端点为 ，
设直线 和 的交点为 ，
因为 三点共线，所以 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
两式相乘得 ，（ ）,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 （ ），
所以直线 和 的交点 的轨迹方程 （ ）.
故答案为： （ ）.
一、单选题
1．（24-25高三上·福建福州·期末）已知 两点的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，且
它们的斜率之和是2，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】设 点坐标，根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去掉部分点.
【详解】设 ，则 ，
，又因为 ，
.
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）若动点 满足方程 ，则动点P的轨
迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以 与 为焦点的双曲线，得到答案.
【详解】由题意得点 到点 与点 的距离之差的绝对值为3，且 ，
故动点P的轨迹方程是以 与 为焦点的双曲线，
故 ，
所以 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：A.
3．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知 ， ，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率
与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可.
【详解】设动点 ，
由于 ， ，根据直线 与 的斜率之积为 ．整理得 ，化简得： ．
故选：B
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知曲线 ，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为 ，
且 ，则点N的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量找到三点的关系，设所求点 的坐标，由三点关系得到 的坐标，然后代入曲线
，得到点N的轨迹方程.
【详解】∵ ，∴ 三点共线，且
又∵ 轴，
∴设 ，则 ， ，
∵点 在 上，
∴ ，即 .
故选：B.
5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）当点 在圆 上运动时，它与定点 相连，则线段PQ
的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出M点坐标，根据M是线段PQ中点可表示出P点坐标，再根据P在圆上可建立关于M横纵
坐标的关系式，即可得出M轨迹方程.
【详解】如图所示，
设 ，因为M是线段PQ中点，所以由中点坐标公式可得， ，所以 ，
又因为P在圆上，所以 ，
于是可得M的轨迹方程为： ，
故选：B.
6．（2024·广西·模拟预测）已知 ， 分别为 轴、 轴上的动点，若以线段 为直径的圆过点 ，
则线段 的中点 的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出 点坐标，根据中点坐标公式得到 、 两点的坐标，结合已知条件利用 垂直关系，
分直线 斜率不存在，和直线 斜率存在两种情况求解即可.
【详解】设 点的坐标为 ，则 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，
由圆的性质可知 ，
当 时，直线 斜率不存在，
此时直线 斜率为 ，所以 ， ， ，
当 时，有 ，即 ，
整理得： ，
经检验 在直线 上，
所以 的轨迹方程为： .
故选：B.
7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知等腰 底边两端点的坐标分别为 ， ，则
顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，可得顶点A的轨迹是 的垂直平分线（除去垂直平分线与线段 的交点），
利用斜率关系与点斜式方程可得．
【详解】 ，且 三点不共线，
顶点A的轨迹是线段 的垂直平分线（除去垂直平分线与线段 的交点，即除去 的中点），， ，
，所以与直线BC垂直的直线的斜率为 ，
又BC的中点 ，
则线段 的垂直平分线的方程为 ，即 .
顶点A的轨迹方程是 ，
故选：D.
8．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 是一个
动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹为椭圆
B．若 ，则点 的轨迹为圆
C．若 ，则点 的轨迹为双曲线
D．若 ，则点 的轨迹为一条线段
【答案】B
【分析】令 ，结合椭圆、双曲线定义判断A、C；利用向量加减、模长的坐标运算列方程求轨迹判
断B；应用两点距离公式列方程求轨迹判断D.
【详解】令 ，则：
A：由 ，结合椭圆定义，显然 轨迹不是椭圆，错；
B：由 ，则 ，
所以 ，即点 的轨迹为圆，对；
C：由 ，根据双曲线定义， 轨迹为双曲线的右支，错；
D：由题设 ，整理得 ，即点 的轨迹为一条直线，错.
故选：B9．（24-25高三上·河北·期中）已知圆 ，点 ，点 在圆 上运动，线段 的中垂线与
交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到 ，从而点 的轨迹是以 为焦点，
且长轴长为 ，焦距为 的椭圆，即可求解.
【详解】如图，易知 ，所以 ，
由椭圆的定义知，点 的轨迹是以 为焦点，且长轴长为 ，焦距为 的椭圆，
而焦点在 上，长轴长为 ，焦距为 的椭圆的标准方程为 ，
又点 的轨迹的中心为 ，所以 的轨迹方程为 ，
故选：C.
10．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是椭圆 的长轴上的两个顶点，点 是椭圆上异于长轴
顶点的任意一点，点 与点 关于 轴对称，则直线 与直线 的交点 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
【答案】A
【分析】由题意设出点 ， 坐标，然后求出直线 与直线 的方程，根据直线方程的特点，两方程
相乘，从而得到点 的轨迹方程，进而得解.【详解】
由于 是椭圆 的长轴上的两个顶点，所以 ，
设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ①，直线 的方程为 ②，
① ②得 ，
又因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即直线 与直线 的交点 在双曲线 上.
故选：A.
二、填空题
11．（24-25高三上·山西晋城·期中）已知平面内点 ， ，平面内满足 的动点
的轨迹方程为 ．（化简成最简形式）
【答案】
【分析】设 坐标为 ，由题意得 ，化简得到答案.
【详解】设 坐标为 ，由题意得 ，
变形为 ，两边平方得
，
化简得 ，
两边平方得 ，
化简得 .故答案为：
12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知点 是椭圆的一个焦点，且椭圆经过 ，
两点，则椭圆的另一个焦点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可求 的轨迹方程.
【详解】由椭圆的定义可知 ，
所以 ，
因此点 的轨迹是以 、 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
故它的轨迹方程为 ．
故答案为： .
13．（24-25高三上·河北承德·期中）过曲线C上一点P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，若
，则曲线C的方程为 ．
【答案】 （ 且 ）
【分析】设 及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出 ，再由斜率关
系计算即可.
【详解】设 ，则过点 的切线方程为 ，即 ，
所以 ，得 ，
则 ， 是此方程的两根， ， ，
即 ，
所以 ，得 ，又 ，所以 ，
即曲线 的方程为 （ 且 ）．
故答案为： （ 且 ）.
14．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知 分别是直线 和 上的两个动点，线段
的长为 ， 是 的中点，则动点 的轨迹方程是 .
【答案】【分析】根据中点关系以及两点距离公式，即可化简求解.
【详解】设 ， ，则 ，则 在 ，
故 ，或 ，
根据 ，
故 ，进而可得 ，
即 ，
故答案为：
15．（24-25高三上·山西·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 在椭圆 ：
上，且直线 ， 的斜率之积为 ，则 中点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】将点 ， 代入椭圆方程，两式相加，代入斜率的坐标公式可得
，再代入中点的坐标公式化简即可求解.
【详解】因为点 ， 在椭圆 ： 上，所以 ，
两式相加可得 ，即 ，
又因为直线 ， 的斜率之积为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
设 中点为 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
即 中点 的轨迹方程为 ，
故答案为：
16．（23-24高三上·四川成都·期中）关于直线 ，有下列说法:
①对任意 ，直线 不过定点；②平面内任给一点，总存在 ，使得直线 经过该点；
③当 时，点 到直线 的距离最小值为 ；
④对任意 ，且有 ，则直线 与 的交点轨迹为一直线.
其中正确的是 .
【答案】①③
【分析】① 变形为 ，可得到直线 不过定点；
②可举出反例；
③利用点到直线距离公式和基本不等式进行求解；
④联立两直线方程，求出交点坐标 ，结合 ，得到交点轨迹方程.
【详解】①对任意 ， 随着 的变化， 也随之变化，故直线 不
过定点，①正确；
平面内取点 ，则 ，即 ，无解，故②错误；
点 到直线 的距离 ，令 ，
则 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，③正确；
联立直线 与 ，得到 ，
故交点坐标为 ，
又因为 ，
所以交点坐标满足方程 ，
但当 时， ，不合题意，所以交点取不到 ，
所以交点轨迹为一直线的一部分，④错误.
故答案为：①③.
