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2022年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•呼和浩特）计算﹣3﹣2的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
2．（3分）（2022•呼和浩特）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收
购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×1012 B．1.1×1011 C．11×1010 D．0.11×1012
3．（3分）（2022•呼和浩特）不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，则任意
摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022•呼和浩特）图中几何体的三视图是（ ）
A．
B．
第1页（共36页）C．
D．
5．（3分）（2022•呼和浩特）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一
周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是（ ）
A．6，4.4 B．5，6 C．6，4.2 D．6，5
6．（3分）（2022•呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A． × ＝±2 B．（m+n）2＝m2+n2
C． ﹣ ＝﹣ D．3xy÷ ＝﹣
7．（3分）（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到
△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝ ，则∠EFC
的度数是（用含 的代数式表示）（ ） α
α
A．90°+ B．90°﹣ C．180°﹣ D．
α α α α
8．（3分）（2022•呼和浩特）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 3﹣
1 2 1
第2页（共36页）2022x +x 2的值是（ ）
1 2
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
9．（3分）（2022•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是
对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3 B． +1 C．2 +1 D．2+
10．（3分）（2022•呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包
价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了
0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD＝AE，则
∠BAD＝3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数
0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与
对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的
横线上，不需要解答过程）
11．（3分）（2022•呼和浩特）因式分解：x3﹣9x＝ ．
12．（3分）（2022•呼和浩特）点（2a﹣1，y ）、（a，y ）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，若
1 2
0＜y ＜y ，则a的取值范围是 ．
1 2
13．（3分）（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇
形的面积为 （用含 的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥
的底面圆直径为 ．π
第3页（共36页）14．（3分）（2022•呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买
的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14
元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量
y关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为 ．
15．（3分）（2022•呼和浩特）已知AB为 O的直径且AB＝2，点C是 O上一点（不与A、B
重合），点D在半径OB上，且AD＝⊙AC，AE与过点C的 O的切⊙线垂直，垂足为E．若
∠EAC＝36°，则CD＝ ，OD＝ ． ⊙
16．（3分）（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和
（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是
．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2022•呼和浩特）计算求解
（1）计算2sin45°﹣|2﹣ |+（﹣ ）﹣1；
（2）解方程组： ．
18．（7分）（2022•呼和浩特）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为
著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像
AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B
的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊
角的三角函数及根式表示即可）
第4页（共36页）19．（10分）（2022•呼和浩特）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，
根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服
装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下
频数分布表
组别 一 二 三 四 五 六 七
销售额/万 13≤x＜ 16≤x＜ 19≤x＜ 22≤x＜ 25≤x＜ 28≤x＜ 31≤x＜
元 16 19 22 25 28 31 34
频数 6 10 3 3 a b 2
数据分析表
平均数 众数 中位数
20.3 c d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理
由；
（3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出
这两名营业员在同一组内的概率．
20．（7分）（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，
交线段CA的延长线于点E，连接BE． ⊙
（1）求证：BD＝CD；
第5页（共36页）（2）若tanC＝ ，BD＝4，求AE．
21．（7分）（2022•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例
1
函数y ＝ 的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于
2
点D，点C（ ，﹣ ）是直线BE上一点，且AC＝ CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣ ＜0的解集．
22．（9分）（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，
第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，
第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第
一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加
第6页（共36页）工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8
吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不
超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 ，为获得最大
利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
23．（10分）（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的
平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设 ＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
24．（12分）（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与
x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以
BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点
第7页（共36页）M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的
横坐标．
第8页（共36页）2022年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•呼和浩特）计算﹣3﹣2的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】运用有理数的减法运算法则计算．
【解答】解：﹣3﹣2＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2022•呼和浩特）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收
购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×1012 B．1.1×1011 C．11×1010 D．0.11×1012
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1100亿＝110000000000＝1.1×1011．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）（2022•呼和浩特）不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，则任意
摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的计算公式直接计算即可．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结
果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率
为P（A）＝ ．
【解答】解：不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球，
第9页（共36页）则任意摸出一个球是红球的概率是 ．
故选：A．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，必然事件的概率
为1，不可能事件的概率为0，如果A为随机事件，那么0＜P（A）＜1．
4．（3分）（2022•呼和浩特）图中几何体的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】应用简单几何体的三视图判断方法进行判定即可得出答案．
第10页（共36页）【解答】解：根据题意可得，图中几何体的三视图如图，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图的判定方法
进行求解是解决本题的关键．
5．（3分）（2022•呼和浩特）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一
周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的平均数、方差是（ ）
A．6，4.4 B．5，6 C．6，4.2 D．6，5
【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算可得．
【解答】解：∵ ＝ ×（4+5+5+6+10）＝6，
∴S2＝ ×[（4﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（10﹣6）2]＝4.4，
故选：A．
【点评】本题主要考查平均数、方差，解题的关键是掌握平均数、方差的计算公式．
6．（3分）（2022•呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A． × ＝±2 B．（m+n）2＝m2+n2
C． ﹣ ＝﹣ D．3xy÷ ＝﹣
【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法
则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
第11页（共36页）D、3xy÷ ＝﹣ ，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对
相应的运算法则的掌握．
7．（3分）（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到
△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝ ，则∠EFC
的度数是（用含 的代数式表示）（ ） α
α
A．90°+ B．90°﹣ C．180°﹣ D．
α α α α
【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为
∠BCD＝ ，所以∠B＝∠BDC＝ ＝90°﹣ ，∠ACE＝ ，由三角形内角和可得，
α α
∠A＝90°﹣∠B＝ ．所以∠E＝ ．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣
∠ECF﹣∠E＝180°﹣ ．
α
【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝ ，
α
∴∠B＝∠BDC＝ ＝90°﹣ ，∠ACE＝ ，
α
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝ ．
第12页（共36页）∴∠E＝ ．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣ ．
α
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和
∠ECF的角度是解题关键．
8．（3分）（2022•呼和浩特）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 3﹣
1 2 1
2022x +x 2的值是（ ）
1 2
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【分析】把x＝x 代入方程表示出x 2﹣2022＝x ，代入原式利用完全平方公式化简，再根据
1 1 1
根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x 代入方程得：x 2﹣x ﹣2022＝0，即x 2﹣2022＝x ，
1 1 1 1 1
∵x ，x 是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝1，x x ＝﹣2022，
1 2 1 2
则原式＝x （x 2﹣2022）+x 2
1 1 2
＝x 2+x 2
1 2
＝（x +x ）2﹣2x x
1 2 1 2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的
关键．
9．（3分）（2022•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是
对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（ ）
第13页（共36页）A．3 B． +1 C．2 +1 D．2+
【分析】连接DB，交AC于点O，连接OE，根据菱形的性质可得∠DAC＝ ∠DAB＝30°，
AC⊥BD，OD＝ BD，AC＝2AO，AB＝AD，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得DB
＝AD，再根据直角三角形斜边上的中线可得OE＝AE＝DE＝ AD，然后设OE＝AE＝DE
＝a，则AD＝BD＝2a，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，最
后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出∠OEF＝∠EFO＝15°，从而可得OE＝
OF＝a，即可求出AF，CF的长，进行计算即可解答．
【解答】解：连接DB，交AC于点O，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC＝ ∠DAB＝30°，AC⊥BD，OD＝ BD，AC＝2AO，AB＝AD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴DB＝AD，
∵∠AOD＝90°，点E是DA中点，
∴OE＝AE＝DE＝ AD，
∴设OE＝AE＝DE＝a，
∴AD＝BD＝2a，
∴OD＝ BD＝a，
在Rt△AOD中，AO＝ ＝ ＝ a，
∴AC＝2AO＝2 a，
∵EA＝EO，
∴∠EAO＝∠EOA＝30°，
∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°，
∵∠DEF＝45°，
第14页（共36页）∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°，
∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°，
∴∠OEF＝∠EFO＝15°，
∴OE＝OF＝a，
∴AF＝AO+OF＝ a+a，
∴CF＝AC﹣AF＝ a﹣a，
∴ ＝ ＝ ＝2+ ，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（3分）（2022•呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包
价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了
0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD＝AE，则
∠BAD＝3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数
0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与
对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）列代数式求解；
（2）利用三角形内角和及外交关系定理求解；
（3）利用三角形全等进行判断；
（4）利用作差比较代数式的大小．
【解答】解：（1）根据题意得：0.9×1.1a﹣0.85a＝0.14a，故①是正确的；
（2）如图：
第15页（共36页）设∠EDC＝x；则∠AED＝x+60°，
∵AD＝AE
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠DAC＝180°﹣2∠AED＝180°﹣2x﹣120°＝60﹣2x．
∴∠BAD＝60°﹣∠DAC＝2x＝2∠EDC．
故②是错误的．
（3）如图：D为BC的中点，两边为AB，AC；
把AD中线延长加倍，得△ACD≌△EBD，
所以AC＝BE，所以△ABE与对应三角形全等，得∠BAE与对应角相等，再根据两边及夹
角相等，两个三角形全等，
故③是正确的．
（4）设该列自然数为a，则新数为 ，则a﹣ ＝ ＝ ，
∵0≤a≤55，
∴原数与对应新数的差是先变大，再变小．
故④是错误的．
故选：B．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命
第16页（共36页）题的真假关键是要熟悉课本中的定理及正确计算．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的
横线上，不需要解答过程）
11．（3分）（2022•呼和浩特）因式分解：x3﹣9x＝ x （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次
分解，分解因式要彻底．
12．（3分）（2022•呼和浩特）点（2a﹣1，y ）、（a，y ）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，若
1 2
0＜y ＜y ，则a的取值范围是 a ＞ 1 ．
1 2
【分析】先确定反比例函数y＝ （k＞0）的图象在一、三象限，由0＜y ＜y 可知点（2a﹣1，
1 2
y ）、（a，y ）都在第一象限，根据反比例函数的性质即可得到2a﹣1＞a，求解即可．
1 2
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数y＝ （k＞0）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
∵0＜y ＜y ，
1 2
∴点（2a﹣1，y ）、（a，y ）都在第一象限，
1 2
∴2a﹣1＞a，
解得：a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题
的关键．
13．（3分）（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇
形的面积为 （用含 的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，
π
圆锥的底面圆直径为 ．
第17页（共36页）【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的
弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝ ＝108°，
∴S扇形＝ ＝ ；
又∵弧BD的长为 ＝ ，即圆锥底面周长为 ，
∴圆锥底面直径为 ，
故答案为： ； ．
【点评】本题考查正多边形与圆，扇形面积，弧长及圆周长，掌握扇形面积、弧长、圆周长的
计算方法是正确解决问题的关键．
14．（3分）（2022•呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买
的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14
元，则他购买了 3 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y
关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为 y ＝ 4 x + 2 ．
【分析】根据糯米的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上糯米，超过2千克的部分
的糯米的价格打8折，即可得出解析式；再把y＝14代入即可．
【解答】解：当x＞2时，y＝5×2+5×0.8（x﹣2）＝4x+2；
∵14＞10，
∴x＞2，
∴4x+2＝14，
即：x＝3．
第18页（共36页）故答案为：3；y＝4x+2．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
15．（3分）（2022•呼和浩特）已知AB为 O的直径且AB＝2，点C是 O上一点（不与A、B
重合），点D在半径OB上，且AD＝⊙AC，AE与过点C的 O的切⊙线垂直，垂足为E．若
⊙
∠EAC＝36°，则CD＝ 1 ，OD＝ ．
【分析】连接OC，设OD＝x，则AC＝AD＝1+x，利用切线的性质可得OC⊥EC，从而可得
AE∥OC，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得∠EAC＝∠ACO＝∠OAC＝36°，从而
可得∠ADC＝∠ACD＝72°，进而可得∠OCD＝36°，∠COD＝∠ADC＝72°，即可得出OC
＝DC＝1，最后证明△DOC∽△DCA，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：如图：连接OC，
设OD＝x，
∵直径AB＝2，
∴OA＝OC＝1，
∴AD＝AC＝1+x，
∵EC与 O相切于点C，
∴OC⊥E⊙C，
∵AE⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO＝36°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝36°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝36°，
∵∠COD＝2∠CAD＝72°，
∴∠COD＝∠ADC＝72°，
∴OC＝DC＝1，
∴∠OCD＝∠CAD，∠ADC＝∠ODC，
第19页（共36页）∴△DOC∽△DCA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝ ，
经检验：x＝ 是原方程的根，
∵x＞0，
∴OD＝ ，
故答案为：1， ．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的
性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和
（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是
m ＝ 3 或﹣ 1 ＜ m ≤﹣ ．
【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直
线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求
解．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝1，
当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，
第20页（共36页）当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣ （不符合题意，舍去），
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），
当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，
2﹣m＝﹣1，
解得：m＝3，
当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣ ，
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1，
综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣ ，
故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣ ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙
运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2022•呼和浩特）计算求解
（1）计算2sin45°﹣|2﹣ |+（﹣ ）﹣1；
（2）解方程组： ．
【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值
计算即可求出值；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
第21页（共36页）【解答】解：（1）原式＝2× ﹣2+ ﹣3
＝ ﹣2+ ﹣3
＝2 ﹣5；
（2）方程组整理得 ，
②﹣①×2得：﹣5x＝5，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣4+y＝5，
解得：y＝9，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
18．（7分）（2022•呼和浩特）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为
著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像
AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B
的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊
角的三角函数及根式表示即可）
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CD＝BE＝1米，然后在Rt△CBE中，利用锐角三
角函数的定义求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，
进行计算即可解答．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
第22页（共36页）则CD＝BE＝1米，
在Rt△CBE中，∠BCE＝10°，
∴CE＝ ＝ （米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝CE•tan30°＝ • ＝ （米），
∴AB＝AE+BE＝（1+ ）米，
∴雕像AB的高为（1+ ）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（10分）（2022•呼和浩特）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，
根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服
装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下
频数分布表
组别 一 二 三 四 五 六 七
销售额/万 13≤x＜ 16≤x＜ 19≤x＜ 22≤x＜ 25≤x＜ 28≤x＜ 31≤x＜
元 16 19 22 25 28 31 34
频数 6 10 3 3 a b 2
第23页（共36页）数据分析表
平均数 众数 中位数
20.3 c d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）上表中a＝ 4 ，b＝ 2 ，c＝ 1 6 ，d＝ 1 8 ；
（2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理
由；
（3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出
这两名营业员在同一组内的概率．
【分析】（1）利用唱票的形式可得到a、b的值，然后根据众数和中位数的定义确定数据的
众数与中位数；
（2）根据中位数的意义确定月销售额定；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出这两名营业员在同一组内的结果数，然后
根据概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝4，b＝2；
c＝16，d＝18；
故答案为4，2，16，18；
（2）月销售额定为18万元合适．
理由如下：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售额定为中位数，因为低于中
位数和高于中位数的人数相同，所以月销售额定为18万元合适；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中这两名营业员在同一组内的结果数为4，
所以这两名营业员在同一组内的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也
考查了统计图、众数和中位数．
第24页（共36页）20．（7分）（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，
交线段CA的延长线于点E，连接BE． ⊙
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC＝ ，BD＝4，求AE．
【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角
形的三线合一性质即可解答；
（2）利用（1）的结论可得BD＝DC＝4，BC＝8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的
定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似
三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC＝ ，
∴AD＝CD•tanC＝4× ＝2，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB⊙＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
第25页（共36页）∴△CDA∽△CEB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CE＝ ，
∴AE＝CE﹣AC＝ ，
∴AE的长为 ．
【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的
性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．
21．（7分）（2022•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例
1
函数y ＝ 的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于
2
点D，点C（ ，﹣ ）是直线BE上一点，且AC＝ CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣ ＜0的解集．
第26页（共36页）【分析】（1）根据题意求得A点的坐标，用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，进
而求得B的坐标，代入y ＝kx+b，即可解得一次函数的解析式；
1
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BE于点D，AC＝ CD．
∴cos∠ACD＝ ＝ ，
∴∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵A点的横坐标为1，点C（ ，﹣ ），
∴CD＝ ﹣1＝ ，
∴A（1， ﹣ ），即A（1，2），
∵反比例函数y ＝ 的图象过A、B两点，
2
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y ＝ ，
2
∵BE∥x轴，
∴B点的纵坐标为﹣ ，
第27页（共36页）∴B（﹣4，﹣ ），
把A、B的坐标代入y ＝kx+b得 ，
1
解得 ，
∴一次函数的表达式为y ＝ x+ ；
1
（2）从图象可以看出，不等式kx+b﹣ ＜0的解集是x＜﹣4或0＜x＜1．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，
解直角三角形，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合
是解题的关键．
22．（9分）（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，
第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，
第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第
一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加
工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8
吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不
超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 ，为获得最大
利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购每吨土豆的平均价格为
（x+200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第
一次采购数量的两倍，据此列出分式方程求解即可；
（2）先求出今年采购的土豆数，根据采购的土豆需不超过60天加工完毕，加工成薯片的土
第28页（共36页）豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 ，据此列出不等式组并求解，然后由一次函数的
性质求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价
格为（x+200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x﹣200）元，
由题意得： ×2＝ ，
解得：x＝2200，
经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）由（1）得：今年采购的土豆数为： ×3＝375（吨），
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375﹣m）吨加工成淀粉，
由题意得： ，
解得：150≤m≤175，
设总利润为y元，
则y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，
∵300＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝175时，y的值最大＝300×175+150000＝202500，
答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题
的关键是：（1）找准数量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次
不等式组．
23．（10分）（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的
平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
第29页（共36页）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： AG ＝ CE ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设 ＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
【分析】（1）根据点E为BC的中点，可得答案；
（2）取AG＝EC，连接EG，首先说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，
可得答案；
（3）设BC＝x，则BE＝kx，则GE＝ kx，EC＝（1﹣k）x，再利用等腰直角三角形的性质表
示EP的长，利用平行四边形的判定可得只要EP＝FC，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，
第30页（共36页）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝ 时，四边形PECF是平行四边形，如图，
由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝ kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
第31页（共36页）∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝ （1﹣k）x，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴ （1﹣k）x＝ kx，
解得k＝ ．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等
腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，取 AG＝CE，证明
△GAE≌△CEF是解题的关键．
24．（12分）（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与
x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以
BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点
M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的
横坐标．
第32页（共36页）【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2，令y＝0得A（﹣1，
0）；
（2）由A（﹣1，0），C（0，2），知线段AC的中点D（﹣ ，1），设E（0，t），根据∠BED＝90°，
得[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣ ﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+ ）2+（0﹣1）2，即可解得E的坐标为
（0，﹣1）或（0，2）；
（3）分当∠PCM＝2∠OBC时，∠CMP＝2∠OBC时，当∠CPM＝2∠OBC时三种情况，利
用二次函数的性质和等腰三角形，勾股定理等性质进行计算即可．
【解答】解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线y＝﹣ x2+bx+c中，
则 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2，
在y＝﹣ x2+ x+2中，令y＝0得﹣ x2+ x+2＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴A（﹣1，0）；
第33页（共36页）（2）存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：
如图：
∵点D是线段AC的中点，A（﹣1，0），C（0，2），
∴D（﹣ ，1），
设E（0，t），
又B（4，0），
∵∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣ ﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+ ）2+（0﹣1）2，
化简得：t2﹣t﹣2＝0，
解得：t ＝﹣1，t ＝2，
1 2
∴E的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
（3）∵B（4，0）、C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+2（k≠0），
把点B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0，
解得：k＝﹣ ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，
设点P（m，﹣ m2+ m+2），则M（m，﹣ m+2），
①当∠PCM＝2∠OBC时，
第34页（共36页）过点C作CF⊥PM于点F，如图，
∵CF⊥PM，PM∥y轴，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F（m，2），
又∵∠PCM＝2∠OBC，
∴∠PCF＝FCM＝∠OBC，
∴F是线段PM的中点，
∴ ＝2，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P是第一象限内抛物线上的动点，
∴m＝2；
②∠CMP＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠BMN，
∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM，
∵PN⊥x轴，
∴∠BMN+∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，
∴OC＝ BC，
第35页（共36页）∵BC＝ ＝ ＝2 ≠4，
∴此种情况不存在；
③当∠CPM＝2∠OBC时，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，
∴PC＝PM，
∴（m﹣0）2+（﹣ + m+2﹣2）2＝[（﹣ + m+2）﹣（﹣ m+2）]2，
整理得：m2+ m4﹣ m3+ m2＝ m4﹣2m3+4m2，
解得：m＝ ；
综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或 ．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质、直角三角形性质
及应用，利用分类讨论的思想是解题的关键．
第36页（共36页）
