文档内容
2022年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•邵阳）﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．
2．（3分）（2022•邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
3．（3分）（2022•邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约
为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
4．（3分）（2022•邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•邵阳）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二
枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
第1页（共23页）6．（3分）（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
7．（3分）（2022•邵阳）如图是反比例函数y＝ 的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意
一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（3分）（2022•邵阳）在直角坐标系中，已知点A（ ，m），点B（ ，n）是直线y＝kx+b（k＜
0）上的两点，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n
9．（3分）（2022•邵阳）如图， O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则 O的半径是（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
10．（3分）（2022•邵阳）关于x的不等式组 有且只有三个整数解，则a的
最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第2页（共23页）二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2022•邵阳）因式分解：x2﹣4y2＝ ．
12．（3分）（2022•邵阳）若 有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）（2022•邵阳）某班50名同学的身高（单位：cm）如下表所示：
身 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
高
人 3 5 1 2 2 10 4 3 1 2 6 8 1 2
数
则该班同学的身高的众数为 ．
14．（3分）（2022•邵阳）分式方程 ﹣ ＝0的解是 ．
15．（3分）（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为
cm2．
16．（3分）（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ ．
17．（3分）（2022•邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在 ODEF的边DE上，
已知∠1＝40°，则∠2＝ ． ▱
18．（3分）（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条
件 ，使△ADE∽△ABC．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分．解答应写出
第3页（共23页）必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8分）（2022•邵阳）计算：（ ﹣2）0+（﹣ ）﹣2﹣2sin60°．
π
20．（8分）（2022•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1， 中选择一个合适的x值代入求值．
（ + ）÷ ．
21．（8分）（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角
线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．
22．（8分）（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生
课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个
社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活
动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据
统计图提供的信息解答以下问题．
（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．
第4页（共23页）23．（8分）（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥
会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共 180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为 80
元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和
挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，
若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩
墩”挂件不能超过多少个？
24．（8分）（2022•邵阳）如图，已知DC是 O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是 O
的切线，点A为切点，且AB＝AC． ⊙ ⊙
（1）求∠ACB的度数；
（2）若 O的半径为3，求圆弧 的长．
⊙
25．（8分）（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处
测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方
向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？
并说明理由．（提示： ≈1.414， ≈1.732）
26．（10分）（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点
A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
第5页（共23页）（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半
轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在
的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
第6页（共23页）2022年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•邵阳）﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是2022．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2．（3分）（2022•邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重
合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图
形的对称轴条数即可求解．
【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
B．圆是轴对称图形，有无数条条对称轴；
C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
D．正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选：B．
【点评】此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的意义及对称轴的描述．
3．（3分）（2022•邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约
为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
第7页（共23页）【解答】解：11000亿＝1100000000000＝1.1×1012，
∴a＝1.1，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022•邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图解答．
【解答】解：从圆柱体的上面看到是视图是圆，
则圆柱体的俯视图是圆，
故选：D．
【点评】本题考查的是几何体的三视图，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题
的关键．
5．（3分）（2022•邵阳）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二
枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
第8页（共23页）【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中出现（正，正）的结果有1种，再由概率公
式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中出现（正，正）的结果有1种，
∴出现（正，正）的概率为 ，
故选：D．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
6．（3分）（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝3，不能构成三角形；
B、3+4＞5，能构成三角形；
C、4+5＜10，不能构成三角形；
D、2+6＜9，不能构成三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
7．（3分）（2022•邵阳）如图是反比例函数y＝ 的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意
一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
第9页（共23页）A．1 B． C．2 D．
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k＝1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出
△AOB的面积是 ．
【解答】解：∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y，
∵A为反比例函数y＝ 图象上一点，
∴xy＝1，
∴S△ABO ＝ AB•OB＝ xy＝ 1＝ ，
故选：B．
【点评】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特
征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍．
8．（3分）（2022•邵阳）在直角坐标系中，已知点A（ ，m），点B（ ，n）是直线y＝kx+b（k＜
0）上的两点，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n
【分析】根据k＞0可知函数y随着x增大而减小，再根 ＞ 即可比较m和n的大小．
【解答】解：点A（ ，m），点B（ ，n）是直线y＝kx+b上的两点，且k＜0，
∴一次函数y随着x增大而减小，
∵ ＞ ，
第10页（共23页）∴m＜n，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的
关键．
9．（3分）（2022•邵阳）如图， O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则 O的半径是（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【分析】连接OB，过点O作OE⊥BC，结合三角形外心和垂径定理分析求解．
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，
∵ O是等边△ABC的外接圆，
∴⊙OB平分∠ABC，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴BE＝ BC＝ AB＝ ，
在Rt△OBE中，cos30°＝ ，
∴ ，
解得：OB＝ ，
故选：C．
第11页（共23页）【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊
角的三角函数值解题是关键．
10．（3分）（2022•邵阳）关于x的不等式组 有且只有三个整数解，则a的
最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的
解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出a的范围即可．
【解答】解： ，
由①得：x＞1，
由②得：x＜a，
解得：1＜x＜a，
∵不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，
∴4＜a≤5，
∴a的最大值是5，
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关
键．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2022•邵阳）因式分解：x2﹣4y2＝ （ x + 2 y ）（ x ﹣ 2 y ） ．
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2﹣
b2＝（a+b）（a﹣b）．
12．（3分）（2022•邵阳）若 有意义，则x的取值范围是 x ＞ 2 ．
【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出x的不等式组，求出x的取值范围即可．
第12页（共23页）【解答】解：∵ 有意义，
∴ ，解得x＞0．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解
答此题的关键．
13．（3分）（2022•邵阳）某班50名同学的身高（单位：cm）如下表所示：
身 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
高
人 3 5 1 2 2 10 4 3 1 2 6 8 1 2
数
则该班同学的身高的众数为 16 0 cm ．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案．
【解答】解：身高160的人数最多，
故该班同学的身高的众数为160cm．
故答案为：160cm．
【点评】本题考查了众数的知识，掌握众数的定义是解题的关键．
14．（3分）（2022•邵阳）分式方程 ﹣ ＝0的解是 x ＝﹣ 3 ．
【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：去分母，得：5x﹣3（x﹣2）＝0，
整理，得：2x+6＝0，
解得：x＝﹣3，
经检验：x＝﹣3是原分式方程的解，
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题主要考查解分式方程能力，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
15．（3分）（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为
48 cm2．
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得
解．
【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，
第13页（共23页）∴另一边长＝ ＝8cm，
∴它的面积为8×6＝48cm2．
故答案为：48．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列式求出另一边长是解题
的关键．
16．（3分）（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ 2 ．
【分析】原式前两项提取3变形后，把已知等式变形代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则原式＝3（x2﹣3x）+5
＝﹣3+5
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
17．（3分）（2022•邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在 ODEF的边DE上，
已知∠1＝40°，则∠2＝ 110 ° ． ▱
【分析】根据等腰三角形的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵等腰△ABC中，∠A＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠1＝40°，
∴∠ABE＝∠1+∠ABC＝70°，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，
第14页（共23页）∴∠2＝180°﹣∠ABE＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
18．（3分）（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条
件 ∠ ADE ＝∠ B 或∠ AED ＝∠ C 或 ＝ （答案不唯一） ，使△ADE∽△ABC．
【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比
例即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或 ＝ 时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或 ＝ （答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题
关键．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分．解答应写出
必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8分）（2022•邵阳）计算：（ ﹣2）0+（﹣ ）﹣2﹣2sin60°．
π
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化
简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣2×
＝1+4﹣
＝5﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
第15页（共23页）20．（8分）（2022•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1， 中选择一个合适的x值代入求值．
（ + ）÷ ．
【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根
据分式成立的条件确定x的取值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝ •
＝ ，
又∵x≠﹣1，
∴x可以取0，此时原式＝1；
x可以取1，此时原式＝ ；
x可以取 ，此时原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算，分式成立的条件及二次根式的运算，掌握运算顺序和
计算法则准确计算是解题关键．
21．（8分）（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角
线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．
【分析】证明AC与EF互相垂直平分便可根据菱形的判定定理得出结论
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，∠AOE＝∠AOF＝90°，
第16页（共23页）∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴AE＝AF，
∴菱形AECF是正方形．
【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与
判定，掌握相关定理是解题基础．
22．（8分）（2022•邵阳）2021年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆盖．为了促进学生
课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个
社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活
动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请你根据
统计图提供的信息解答以下问题．
（1）求抽取参加调查的学生人数．
（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整．
（3）若该校有1600人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．
【分析】（1）根据兴趣类的人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数；
（2）根据（1）中的计算和扇形统计图中的数据，可以计算出体育类的人数，从而可以将条
形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出喜欢兴趣类社团的学生有多少人．
【解答】解：（1）5÷12.5%＝40 （人），
答：此次共调查了40人；
（2）体育类有40×25%＝10（人），
文艺类社团的人数所占百分比：15÷40×100%＝37.5%，
阅读类社团的人数所占百分比：10÷40×100%＝25%，
第17页（共23页）将条形统计图补充完整如下：
（3）1600×12.5%＝200（人），
答：估计喜欢兴趣类社团的学生有200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
23．（8分）（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥
会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共 180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为 80
元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和
挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，
若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩
墩”挂件不能超过多少个？
【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，利用进货总价＝进货单价
×进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共100个且共花费了11400元，即可得出关
于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，利用总利润＝每
个的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的
最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，
依题意得： ，
第18页（共23页）解得： ．
答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个．
（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，
依题意得：（60﹣50）m+（100﹣80）（180﹣m）≥2900，
解得：m≤70．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式．
24．（8分）（2022•邵阳）如图，已知DC是 O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是 O
的切线，点A为切点，且AB＝AC． ⊙ ⊙
（1）求∠ACB的度数；
（2）若 O的半径为3，求圆弧 的长．
⊙
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质可得∠BAO＝90°，利用等腰三角形的性质可得∠B
＝∠ACB＝∠OAC，根据三角形内角和定理列方程求解；
（2）先求得∠AOC的度数，然后根据弧长公式代入求解．
【解答】解：（1）连接OA，
∵AB是 O的切线，点A为切点，
⊙
第19页（共23页）∴∠BAO＝90°，
又∵AB＝AC，OA＝OC，
∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，
设∠ACB＝x°，则在△ABC中，
x°+x°+x°+90°＝180°，
解得：x＝30，
∴∠ACB的度数为30°；
（2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴ ＝2 ．
π
【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的性质和弧长公式（
）是解题关键．
25．（8分）（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处
测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方
向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？
并说明理由．（提示： ≈1.414， ≈1.732）
【分析】过点C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函数值求得CD的长度，从而根据无理
数的估算作出判断．
【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，
第20页（共23页）由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝ ，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝15 +15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的
三角函数值是解题关键．
26．（10分）（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点
A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半
轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
第21页（共23页）（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在
的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；
（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；
（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．
【解答】解：在直线y＝2x+2中，
当x＝2时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
第22页（共23页）点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数
法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．
第23页（共23页）
