文档内容
2022年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一
项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）（2022•湘潭）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
3．（3分）（2022•湘潭）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为
原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和
现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
玩具数量（件） 35 47 50 48 42 60 68
则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（ ）
A．48，47 B．50，47 C．50，48 D．48，50
4．（3分）（2022•湘潭）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，
湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和
三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子
和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ）
第1页（共33页）A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•湘潭）在 ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则
∠BCD＝（ ） ▱
A．80° B．100° C．120° D．140°
7．（3分）（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE ：S△ABC ＝
（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
8．（3分）（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三
角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中
小正方形面积与每个直角三角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则tan ＝（
） α α
A．2 B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代
第2页（共33页）号涂在答题卡相应的位置上）
（多选）9．（3分）（2022•湘潭）若a＞b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．﹣3a＞﹣3b C． ＞ D．a﹣1＜b﹣1
（多选）10．（3分）（2022•湘潭）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不
超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成
作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：0＜x≤30，30＜
x≤60，60＜x≤90）．则下列说法正确的是（ ）
A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数的80%
（多选）11．（3分）（2022•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2 B．a3•a2＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．a6÷a2＝a4
（多选）12．（3分）（2022•湘潭）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：
①作线段AB＝2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连
接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H．则下列说法正确的是（ ）
第3页（共33页）A．△ABC是等边三角形 B．AB⊥CD
C．AH＝BH D．∠ACD＝45°
三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）（2022•湘潭）四个数﹣1，0， ， 中，为无理数的是 ．
14．（3分）（2022•湘潭）请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式 ．
15．（3分）（2022•湘潭）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成
功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约 400000米的天宫空间站进行对接．请将
400000米用科学记数法表示为 米．
16．（3分）（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方
向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝ ．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将
解答过程写在答题卡相应位置上）
17．（6分）（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A
（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A B C ．
1 1 1
（1）请写出A 、B 、C 三点的坐标：
1 1 1
A ，B ，C ；
1 1 1
第4页（共33页）（2）求点B旋转到点B 的弧长．
1
18．（6分）（2022•湘潭）先化简，再求值： ÷ ﹣ • ，其中x＝2．
19．（6分）（2022•湘潭）如图，在 O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB； ⊙
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求 O的半径．
⊙
20．（6分）（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好
中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A 、A 、A 三名同学在班上进行初赛，推荐
1 2 3
排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A 、A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编
1 2
号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A 随机摸取1张卡片记下
1
编号，然后放回，再由A 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄
2
的故事．求A 、A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列
1 2
第5页（共33页）表”等方法写出分析过程）．
21．（6分）（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的
一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据
黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中 ≈0.618）：伞柄
AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．
请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据： ≈1.732）
22．（6分）（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团
成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有
我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读
书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与
分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数 0＜x≤2 2＜x≤4 4＜x≤6 6＜x≤8
组别 A B C D
频数 2 m 6 3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
第6页（共33页）（1）在统计表中，m＝ ；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在
4本以上的人数．
23．（8分）（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校
准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基
地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），
请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且
需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时
最大面积为多少？
24．（8分）（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反
比例函数表达；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB
上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
第7页（共33页）25．（10分）（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别
作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝ ，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转 （0＜ ＜45°），请探究线段BD、CE
和DE的数量关系并说明理由； α α
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转 （45°＜ ＜90°），与线段BC
相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理α 由； α
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC ．
26．（10分）（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交
于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
第8页（共33页）（2）如图②，直线y＝ x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，
0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没
有交点，求b的取值范围．
第9页（共33页）2022年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一
项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）（2022•湘潭）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，实数与数轴，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题
的关键．
2．（3分）（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．
【解答】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
3．（3分）（2022•湘潭）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为
原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和
现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
玩具数量（件） 35 47 50 48 42 60 68
则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（ ）
A．48，47 B．50，47 C．50，48 D．48，50
【分析】根据中位数、平均数的意义分别求出中位数、平均数即可．
【 解 答 】 解 ： 这 个 星 期 该 玩 具 店 销 售 冰 墩 墩 玩 具 的 平 均 数 ＝ ×
第10页（共33页）（35+47+50+48+42+60+68）＝50（件）；
将这7天销售冰墩墩玩具数量从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第4个数是48，
因此中位数是48，
故选：C．
【点评】本题考查了平均数、中位线，熟练掌握平均数、中位线的意义是解题的关键．
4．（3分）（2022•湘潭）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的特点解答即可．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；
C、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
5．（3分）（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，
湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和
三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子
和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌
子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个，
第11页（共33页）∴x+y＝12；
又∵桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿，
∴4x+3y＝40．
∴列出的方程组为 ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
6．（3分）（2022•湘潭）在 ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则
∠BCD＝（ ） ▱
A．80° B．100° C．120° D．140°
【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键．
7．（3分）（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE ：S△ABC ＝
（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．
第12页（共33页）【解答】解：在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE ：S△ABC ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查的相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性
质定理是解决本题的关键．
8．（3分）（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三
角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中
小正方形面积与每个直角三角形面积均为1， 为直角三角形中的一个锐角，则tan ＝（
） α α
A．2 B． C． D．
【分析】．
【解答】解：由已知可得，
大正方形的面积为1×4+1＝5，
设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
则a2+b2＝5，a﹣b＝1，
解得a＝2，b＝1，
∴tan ＝ ＝ ＝2，
α
故选：A．
【点评】．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合
第13页（共33页）题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代
号涂在答题卡相应的位置上）
（多选）9．（3分）（2022•湘潭）若a＞b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2＞b+2 B．﹣3a＞﹣3b C． ＞ D．a﹣1＜b﹣1
【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可．
【解答】解：A．a+2＞b+2，
∵a＞b，
∴a+2＞b+2，
故A选项符合题意；
B．﹣3a＞﹣3b，
∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，
故B选项不符合题意；
C． ＞ ，
∵a＞b，
∴ ＞ ，
故C选项符合题意；
D．a﹣1＜b﹣1，
∵a＞b，
∴a﹣1＞b﹣1，
故D选项不符合题意；
故选：AC．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
（多选）10．（3分）（2022•湘潭）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不
超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成
作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：0＜x≤30，30＜
x≤60，60＜x≤90）．则下列说法正确的是（ ）
第14页（共33页）A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数的80%
【分析】把三个组的频数加起来判断A选项；根据该班学生当天完成作业时长在30＜
x≤60分钟的人数为25人判断B选项；根据该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟
的频数是10判断C选项；根据该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全
班人数 ×100%＝87.5%判断D选项．
【解答】解：A选项，10+25+5＝40（名），故该选项符合题意；
B选项，该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多，故该选项符合题意；
C选项，该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是10，故该选项不符合题意；
D选项，该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数 ×100%＝
87.5%，故该选项不符合题意；
故选：AB．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，通过频数分布直方图得到三个组的频数分别为
10，25，5是解题的关键．
（多选）11．（3分）（2022•湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2 B．a3•a2＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．a6÷a2＝a4
【分析】根据实数指数幂的运算方法分别判断各个选项即可．
【解答】解：A．4a﹣2a＝2，
∵4a﹣2a＝2a，
故A选项不符合题意；
第15页（共33页）B．a3•a2＝a5，计算正确，
故B选项符合题意；
C．（3a2）2＝6a4，
∵（3a2）2＝9a4，
故C选项不符合题意；
D．a6÷a2＝a4，计算正确，
故D选项符合题意；
故选：BD．
【点评】本题主要考查实数指数幂的运算，熟练掌握实数指数幂的运算方法是解题的关键．
（多选）12．（3分）（2022•湘潭）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：
①作线段AB＝2，分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点C、D；②连
接AC、BC，作直线CD，且CD与AB相交于点H．则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是等边三角形 B．AB⊥CD
C．AH＝BH D．∠ACD＝45°
【分析】利用基本作图得到CD垂直平分AB，AC＝BC＝AB，则可对A选项、B选项和C选
项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，AC＝BC＝AB，
∴△ABC为等边三角形，AB⊥CD，AH＝BH，所以A、B、C选项符合题意；
∴∠ACD＝ ∠ACB＝30°．所以D选项不符合题意；
故选：ABC．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．
第16页（共33页）三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）（2022•湘潭）四个数﹣1，0， ， 中，为无理数的是 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可解答．
【解答】解：四个数﹣1，0， ， 中，为无理数的是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽得到的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数． π π
14．（3分）（2022•湘潭）请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式 y ＝ x ﹣ 2（ 答案不
唯一） ．
【分析】根据y随着x的增大而增大时，比例系数k＞0即可确定一次函数的表达式．
【解答】解：在y＝kx+b中，若k＞0，则y随x增大而增大，
∴只需写出一个k＞0的一次函数表达式即可，比如：y＝x﹣2，
故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握y＝kx+b中，若k＞0，则y随x增大
而增大．
15．（3分）（2022•湘潭）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成
功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约 400000米的天宫空间站进行对接．请将
400000米用科学记数法表示为 4×1 0 5 米．
【分析】根据科学记数法的形式改写即可．
【解答】解：400000米用科学记数法表示为4×105米，
故答案为：4×105．
【点评】本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的形式是解题的关键．
16．（3分）（2022•湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方
向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝ 40 ° ．
第17页（共33页）【分析】根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，
根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，即可得到∠AEF＝∠OED的度数．
【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF
＝∠OED是解题的关键．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将
解答过程写在答题卡相应位置上）
17．（6分）（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A
（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A B C ．
1 1 1
（1）请写出A 、B 、C 三点的坐标：
1 1 1
A （ 1 ， 1 ） ，B （ 0 ， 4 ） ，C （ 2 ， 2 ） ；
1 1 1
（2）求点B旋转到点B 的弧长．
1
第18页（共33页）【分析】（1）根据图直接得出各点的坐标即可；
（2）根据弧长公式直接求值即可．
【解答】解：（1）由图知，A （1，1），B （0，4），C （2，2），
1 1 1
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B 的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
1
∴弧长为： ＝ ．
π
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
18．（6分）（2022•湘潭）先化简，再求值： ÷ ﹣ • ，其中x＝2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ •（x+3）（x﹣3）﹣ •
＝x+3﹣1
＝x+2，
当x＝2时，
原式＝2+2＝4．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
19．（6分）（2022•湘潭）如图，在 O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB； ⊙
第19页（共33页）（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；
（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到 O的半径．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB， ⊙
∴△AEC∽△DEB；
（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB是 O的直径，AD＝3，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴AB＝6，
∴ O的半径为3．
【点⊙评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
20．（6分）（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好
中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A 、A 、A 三名同学在班上进行初赛，推荐
1 2 3
排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A 、A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编
1 2
号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A 随机摸取1张卡片记下
1
编号，然后放回，再由A 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄
2
的故事．求A 、A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列
1 2
表”等方法写出分析过程）．
第20页（共33页）【分析】（1）根据题意列出所有等可能的情况数即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出A 、A 两人恰好讲述同一名科技英雄故
1 2
事的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：A 、A 、A ；A 、A 、A ；A 、A 、A ；A 、A 、A ；
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
A 、A 、A ；A 、A 、A ；共6种等可能的情况数；
3 1 2 3 2 1
（2）根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中A 、A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，
1 2
则A 、A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是 ＝ ．
1 2
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的
一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据
黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中 ≈0.618）：伞柄
AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．
请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据： ≈1.732）
第21页（共33页）【分析】作BE⊥AH于点E，根据三角函数求出AE和EB，再利用等腰直角三角形的性质得
出DE，再根据比例关系求出AH的长度即可．
【解答】解：作BE⊥AH于点E，
∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴AE＝AB•cos60°＝20× ＝10（cm），
BE＝AB•sin60°＝20× ＝10 ≈17.32（cm），
∵BD＝CD，∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝17.32cm，
∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm），
∵ ，
即 ，
解得AH≈72，
∴最少需要准备72cm长的伞柄．
【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
第22页（共33页）22．（6分）（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团
成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有
我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读
书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与
分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数 0＜x≤2 2＜x≤4 4＜x≤6 6＜x≤8
组别 A B C D
频数 2 m 6 3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中，m＝ 9 ；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 108 ° ；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在
4本以上的人数．
【分析】（1）根据各组的频数之和等于总人数可得m的值；
（2）用360°乘以样本中C组人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以样本中C、D组人数和占被调查人数的比例即可．
【解答】解：（1）由已知数据得B组的频数m＝20﹣（2+6+3）＝9，
故答案为：9；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为360°× ＝108°，
第23页（共33页）故答案为：108°；
（3）200× ＝90（人），
答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．
【点评】本题主要考查扇形统计图、频数分布表和用样本估计总体，解题的关键是综合频
数分布表和扇形统计图得出解题所需数据．
23．（8分）（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校
准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基
地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），
请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且
需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时
最大面积为多少？
【分析】（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程
求解即可得出结论；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质
求最值即可．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
第24页（共33页）即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣ ）+ ，
∵﹣3＜0，
∴当x＝ 时，总种植面积有最大值为 m2，
即BC应设计为 m总种植面积最大，此时最大面积为 m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
24．（8分）（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反
比例函数表达；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB
上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
【分析】（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，可知矩形OCPD是正方形，设PD＝PC＝x，
利用PD∥OA，得△PDB∽△AOB，从而求出点P的坐标，利用待定系数法解决问题；
（2）利用翻折的性质得，ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，再根据S△AOB ＝
S△AON +S△ABN ，求出点N的坐标，利用待定系数法解决问题．
【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
第25页（共33页）则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴ ，
∴ ，
解得x＝ ，
∴P（ ， ），
设过点P的函数表达式为y＝ ，
∴k＝xy＝ ＝ ，
∴y＝ ；
（2）∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
第26页（共33页）∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB ＝S△AON +S△ABN ，
∴ ＝ + ，
解得，ON＝ ，
∴N（0， ），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+ ，
则3m+ ＝0，
∴m＝﹣ ，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣ x+ ．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求
函数解析式，切线的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握各性质求出相应点的坐标是解题
的关键．
25．（10分）（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别
作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝ ，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转 （0＜ ＜45°），请探究线段BD、CE
和DE的数量关系并说明理由； α α
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转 （45°＜ ＜90°），与线段BC
相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理α 由； α
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC ．
第27页（共33页）【 分 析 】
（1）易证△ABD和△ACE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出
BD，DE和CE的长即可．
（2）（Ⅰ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可；
（Ⅱ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可；
（3）根据题意可证明△ABD∽△FBA，由此可得出BF的长，根据S△BFC ＝S△ABC ﹣S△ABF ，可
得出结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AB＝AC＝ ，
∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，
∴DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：
第28页（共33页）在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE
∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△FBA，
∴AB：FB＝BD：AB，
∵CE＝3，DE＝1，
∴AE＝BD＝4，
∴AB＝5．
∴BF＝ ．
第29页（共33页）∴S△BFC ＝S△ABC ﹣S△ABF ＝ ×52﹣ ×3× ＝ ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似
三角形的性质与判定，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键．
26．（10分）（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交
于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝ x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，
0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没
有交点，求b的取值范围．
【分析】（1）（Ⅰ）将A，B两点坐标代入抛物线的解析式求得b，c．从而得出结果；
（Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分
别列出PH＝3HM和PH＝ 时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；
（2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线
与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结
果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围．
第30页（共33页）【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴ ，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m ＝2，m ＝3，
1 2
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝ HM时，
﹣m2+2m+3＝ （3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m ＝3（舍去），m ＝ ，
3 2
当m＝ 时，y＝（ ）2﹣2× ﹣3＝﹣ ，
∴P（ ，﹣ ），
第31页（共33页）综上所述：P（2，﹣3）或（ ，﹣ ）；
（2）如图1，
∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝ +n得，
0＝ +n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣ ＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
第32页（共33页）∴b＞ ，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣ ，
综上所述：b＞ 或b＜﹣ ．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，
解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．
第33页（共33页）
