文档内容
期末真题必刷选填压轴题（考题猜想，7 种必考题型）
题型一：多结论问题
1．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知两个实数 、 ，可按如下规则进行运算：若 为奇数，则计算
的结果：若 为偶数，则计算 的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做
一次操作．对于给定的两个实数 、 ，操作一次后得到的数记为 ；再从 、 、 中任选两个数，操作
一次得到的数记为 ；再从 、 、 、 中任选两个数，操作一次得到的数记为 ，依次进行下去 以
下结论正确的个数为
①若 ， ，则 ；②若 、 为方程 的两根，则 ；
③若 、 均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的 均不可能为偶数；
④若 ， ，要使得 成立，则 至少为4．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①若 ， ，则
，故①正确；
②若 、 为方程 的两根，则
， ，
则 ，故②错误；
③若 、 均为奇数，则 为偶数，则无论进行多少次操作，得到的 均不可能为偶数，故③正确；
④若 ， ，则 ，
再从 、 、 中任选两个数，选两个绝对值较大的 、 ，操作一次得到的数记为 ，
则 ，
同理 ，
，故④错误；
结论正确的个数为2个．
故选： ．
2．（2023秋•黄埔区期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与
轴的交点 在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：
①
②③
④
⑤ ．
其中含所有正确结论的选项是
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【解答】解：① 函数开口方向向上，
；
对称轴在 轴右侧
异号，
抛物线与 轴交点在 轴负半轴，
，
，
故①正确；
② 图象与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
图象与 轴的另一个交点为 ，
当 时， ，
，
故②错误；
③ 图象与 轴交于点 ，
当 时， ，
，即 ， ，对称轴为直线
，即 ，
，
故③正确
④ 图象与 轴的交点 在 和 之间，
，
；
故④正确
⑤ ，
，即 ；
故⑤正确；
故选： ．
3．（2023秋•越秀区期末）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴的负半轴于点
，顶点为 ．下列结论：① ；② ；③若 ， ， ， 为该抛物线上两
点且 ，则 ；④若 是等腰直角三角形，则 ；⑤若 ， 是关于 的一元二次方程
的两个根，则 ．其中正确的是A．①②③ B．③④⑤ C．①④⑤ D．①③④
【解答】解：由题意， 抛物线 交 轴的负半轴于点 ，
令 ， ．
又对称轴是直线 ，
．
，故①正确．
抛物线过 ，
．
又 ，即 ，
．
，故②错误．
，
．
又 ，
在 的左侧，共有两种情形．
第一种情形： ， 在对称轴直线 的左侧．
抛物线开口向上，
在对称轴直线 的左侧 随 的增大而减小．
，符合题意．
第二种情形： ， 在对称轴直线 的两侧．，
．
．
．
点 到对称轴的距离 到对称轴的距离．
．
综上，③正确．
是等腰直角三角形，
又 为顶点，
．
顶点为 ，对称轴是直线 ，
．
可设抛物线为 ．
又抛物线过点 ，
．
，故④正确．
令 ，
方程为 ．
结合函数 的顶点为 ，
方程 的解为 ．
．．
故⑤错误．
综上，正确的是①③④．
故选： ．
4．（2023秋•番禺区期末）抛物线 ， ， 是常数， 经过 ， ， 三点
且 ．在下列四个结论中：① ；② ；③当 时，若点 在该抛物线上，则
；④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ，其正确结论的序号
是
A．②③④ B．①④ C．②③ D．③④
【解答】解：① 图象经过 ，
，
故①正确；
② ，
抛物线与 轴的负半轴有交点，
如果抛物线的开口向上，则抛物线与 轴的交点 都在 的左侧，
中 ，
抛物线与 轴的一个交点一定在 或 的右侧，
抛物线的开口一定向下，即 ，
把 代入 得： ，
即 ，
， ，
，，
方程 的两个根的积大于0，
即 ，
，
，
，
即抛物线的对称轴在直线 的右侧，
抛物线的顶点在点 的上方或者右上方，
，
，
，
故②错误；
③ ，
当 时， ，
抛物线对称轴在直线 的右侧，
到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
，抛物线开口向下，
距离抛物线越近的函数值越大，
，
故③错误；
④方程 可变为 ，
方程有两个相等的实数解，
△ ．
把 代入 得 ，即 ，，
即 ，
，
，
即 ，
， 在抛物线上，
， 为方程 的两个根，
，
，
，
，
故④正确．
综上所述，正确的结论有：①④．
故选： ．
5．（2023秋•荔湾区期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的交点 在
和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．则下列结论：① 时， ；②
；③ ；④ ．其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由题知，
因为抛物线的对称轴为直线 ，且与 轴的一个交点坐标为 ， ，
所以抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ， ，
所以当 时， ，
则当 时， ．
故①正确．
因为抛物线的对称轴是直线 ，
所以 ，
则 ，
又因为 ，
所以 ．
故②正确．
将 ， 代入函数解析式得，
，
又因为 ，
则 ．而抛物线与 轴的交点 在 和 之间（不包括这两点），
所以 ，
则 ，
得 ．
故③正确．
因为 ， ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
故④正确．
故选： ．
6．（2023秋•南沙区期末）二次函数 图象上部分点的坐标满足下表：
0 1 2 3 4
8 3 0 3
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 ；② ；③不等式 的解集为 ；
④方程 有两个不相等的实数根，正确的个数有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 抛物线经过点 ， ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，所以①正确；
由表中数据得 时， 最小，
抛物线开口向上，
，所以②错误；抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
而抛物线开口向上，
当 时， ，
即不等式 的解集为 ，所以③正确；
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线经过点 ，
抛物线经过点 ，
方程 有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选： ．
7．（2023秋•南开区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： 与小球运动时间 （单
位： 之间的函数关系为 ，其中 ．有下列结论：
①当 时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为 时，运动时间为 或 ；
③小球运动中的最大高度为 ；
④小球从抛出到落地需要 ．
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ，
，
当 时，小球运动到最大高度，最大高度为 ，
故①③错误；
当 时， ，解得 ， ，
当运动时间为 或 时，小球的运动高度为 ，
故②正确；
令 ，则 ，
解得 ， ，
小球从抛出到落地需要 ，
故④正确，
正确的结论有2个，
故选： ．
8．（2023秋•滨海新区期末）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 ．
设矩形菜园的边 的长为 ，面积为 ，其中 ．有下列结论：
① 的取值范围为 ；
② 的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 ；
③矩形菜园 的面积的最大值为 ．
其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：设这个菜园垂直于墙的一边 的长为 ．则 的长为 米，
墙长为 ， ，解得 ，
的取值范围为 ，
故①错误；
根据题意得： ，
解得 ， ，
，
，
的长有1个值满足该矩形菜园的面积为 ，
故②错误；
根据题意得： ，
， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
故③正确．
故选： ．
9．（2024•海淀区）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．
给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是 ， 或 ；
④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【解答】解：如图， ，即 的长度等于半径，
以 为边的圆的内接三角形有无数个，
一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；，
为等边三角形，
，
当点 在优弧 上时， ，
当点 在劣弧 上时， ，
当点 在圆上移动时， 可能是 ，
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；
由以上可知， 可以是 或 ，
当 ， 时， ，
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是 ， 或 ，故③结论正确；
过点 作 于 ，
则 ，
，
当点 为优弧 的中点时， 的面积最大，最大面积为： ，故④结论错误；
故选： ．
10．（2023秋•龙岩期末）如图， 是△ 的外接圆， 是 延长线上一点，连接 ， ， ，
且 ，点 是 中点， 的延长线交 于点 ，则下列结论：① ；②
垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．其中正确的结论是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【解答】解： 点 是 中点，
，
，
，
垂直平分 ，
故②正确；
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
、 都是 的半径， ， ，直线 和 都是 的切线，
故③正确；
假设 正确，则 ，
，
，
，显然与已知条件不符，
不正确，
故④错误，
故选： ．
11．（2023秋•汉阳区期末）二次函数 ， 是常数， 的图象过点 ．现有以下结
论：
① ；
②若 ，则 随 的增大而增大；
③若该抛物线过点 ， ，则在 时， ；
④若该抛物线与直线 没有交点，则 ；
其中，正确的结论是 ．
【解答】解： 二次函数 ， 是常数， 的图象过点 ，
，
，
，
，故①正确；
，
若 ，则 随 的增大而增大，故②正确；二次函数 的图象过点 ， ，
，解得 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
把 代入 得， ，
开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，
在抛物线上，
在 时， ，故③正确；
若该抛物线与直线 没有交点，则方程 中△ ，
方程 整理得 ，
，
解得 ，故④正确．
故答案为：①②③④．
12．（2023秋•白云区期末）如图，抛物线 的开口向上，经过点 和 且与 轴交于
负半轴．则下列结论：① ，② ；③ ；④ ，其中正确的结论是
．（填写所有正确结论的序号）【解答】解： 抛物线经过点 ，即 时， ，
，所以①正确；
抛物线开口向上
，
抛物线的对称轴在 轴的右侧，
、 异号，即 ，
抛物线与 轴相交于负半轴，
，
，所以②错误；
，
而 ，
，
即 ，所以③错误；
二次函数经过点 和 ，
， ，
，即 ，所以④正确；
故答案为：①④．
13．（2023秋•西城区校级期末）抛物线 交 轴于点 和 （点 在点 左侧），
抛物线的顶点为 ，下列四个结论：①抛物线过点 ；
②当 时，△ 是等腰直角三角形；
③ ；
④抛物线上有两点 ， 和 ， ，若 ，且 ，则 ．
其中结论正确的序号是 ．
【解答】解：① 把 代入 得， ，
抛物线过点 ，
故①正确；
②当 时，抛物线与 轴的两个交点坐标分别为 、 ，
对称轴为 ，
△ 是等腰直角三角形，
故②正确；
③ 抛物线 交 轴于点 和 （点 在点 左侧），
、 是方程 的两个根，
，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当 ，且 ，则 ．
故④正确．
故答案为：①②④．14．（2023秋•武汉期末）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴相交于 ， ，
两点 ，与 轴交于点 ．对称轴为直线 ，且 ，下列结论，其中正确的结论是
．（填写正确结论的序号）
① ；
② ；
③若 ，则 ；
④关于 的方程 有一个根为 ．
【解答】解：由图象开口向下，可知 ，
与 轴的交点在 轴的下方，可知 ，
又对称轴为直线 ，
，
，
， ，故①②正确；
， ，
，，
直线 与 轴的交点为 ，
直线 过 ， 两点，
观察图象，若 ，则 或 ，故③错误；
把 ，代入 得：
，
两边同除以 得： ，即 ，
，
有一个根为 ，
故④正确；
故答案为：①②④．
15．（2023秋•硚口区期末）已知抛物线 ， ， 是常数）开口向下，过 ，
两点，且 ．下列四个结论：① ；②若 ，则 ；③若 ， ， ，
两点在抛物线上， ，且 ，则 ；④当 时，关于 的一元二次方程
必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
【解答】解：① ，
对称轴 ，
对称轴在 轴左侧，
，
，，故①正确；
②若 ，对称轴为直线 ，
，
，
当 时， ，
，故②错误；
③ 抛物线 ，点 ， ， ， 两点在抛物
线上，
， ，
，
， ，且 ，且 ．
，
，故③正确；
④ 抛物线 ， ， 是常数）开口向下，过 ， 两点，
当 时， ，
整理得： ，
△ ，
， ，
△ ，
关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根．故④正确．
故答案为：①③④．16．（2023秋•武汉期末）已知抛物线 ，下列说法：①抛物线与 轴必有两个交点；②若抛
物线经过 ， 两点，则 ；③若抛物线与 轴两个交点的距离大于4，则 ；④若
抛物线经过位于对称轴两侧的 ， 两点，且 ，则 ．其中一定正确的结论有
（填写序号即可）．
【解答】解：由题意， △ ，
又 ，
△ ．
抛物线与 轴必有两个交点，故①正确．
抛物线经过 ， 两点，
抛物线的对称轴是直线 ．
．
，故②正确．
， ，
抛物线与 轴两个交点的距离为 ．
由题意， ，
或 ，故③错误．
由题意，对称轴是直线 ，
又对于 ， 两点，都有 ，且抛物线开口向上，
．
．，故④正确．
故答案为：①②④．
17．（2023 秋•江夏区校级期末）已知抛物线 与 轴交于点 ， ，其中
．下列结论：
① ；
② ；
③不等式 的解集为 ；
④若关于 的方程 有实数根，则 ．
其中正确的是 ．（填写序号）
【解答】解：如图，
，抛物线与 轴交于点 ， ，
抛物线的对称轴在 的右侧 、 异号，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，
，
，所以①错误；
把 代入 得 ，
，
时， ，
，
，
即 ，所以②正确；
抛物线与 轴的交点坐标为 ，
直线 经过点 ， ，抛物线 与直线 相交于点 ， ，
时， ，
不等式 的解集为 ，所以③正确；
抛物线 与 轴交于点 ， ，
抛物线解析式可设为 ，
当直线 与抛物线 有交点时，关于 的方程 有实数根，
抛物线的顶点在直线 的下方或在直线 上，
即 ，
而 ，
，所以④正确．
故答案为：②③④．
18．（2023秋•青山区期末）已知抛物线 经过点 ，且满足 ．下列四个结论：
①抛物线的对称轴是直线 ；
② 与 同号；
③若 ，则不等式 的解集 ；
④抛物线上的两个点 ， ，当 ，且 时， ．其中一定正确的是 （填写序号）
【解答】解：由题意得： ，
，
故①是正确的；
又 ，
，
、 异号， 、 异号，
、 同号，
故②是正确的；
，
，
，
不等式化为： ，
解得： 或 ，
故③是错误的；
，
，
抛物线开口向上，
， ，
，或
解得： 或 ，
故④是错误的；
故答案为：①②．
19．（2023秋•花都区期末）如图， 是 的直径，弦 平分圆周角 ，则下列结论：
① ；
② 是等腰直角三角形；③ ；
④ ；
正确的有 ．
【解答】解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 的直径，
，
弦 平分圆周角 ，
，
， ，
，
，
是 的直径，
，
是等腰直角三角形，故①②正确；
四边形 是 的内接四边形，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，故③错误，④正确．
正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
题型二：最值问题
1．（2023秋•长沙期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，对称轴与 轴交于点 ，
点 ，点 ，点 是平面内一动点，且满足 ， 是线段 的中点，连接 ．
则线段 的最大值是A．3 B． C． D．5
【解答】解：解方程 得 ， ，则 ，
抛物线的对称轴与 轴交于点 ，
点为 的中点，
，
点 在以 为直径的圆上，圆心 点的坐标为 ，
， 的半径为2，
延长 交 于 ，此时 最大，最大值为 ，
连接 ，
是线段 的中点，
为 为中位线，
，
的最大值为 ．
故选： ．2．（2023秋•武汉期末）如图（1），在 中， ， 为 平分线上一点，连接 ，
，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ， ．设 ， ， 与 的函数关系
如图（2），当 时，函数 有最小值．当 时， 的值为 ．
【解答】解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
则 ，
而 ，
，
平分 ，
， ，线段 绕点 逆时针旋转 到 ，
，
、 、 、 四点共圆，，
则 ， ，
， ， ，
，
， ，
当 时， 最小，
即此时 ，则 ，则 ，
，则 ，
则 ，
当 时， ， ，
故答案为：8.5．
3．（2023秋•中山市期末）如图， 中， ， ，点 是 边上一个动点，以
为直径作 ，分别交 ， 于点 ， ，若 的长为 ，弦 长度的最小值为 ．
【解答】解：作 于 ，连接 、 ，如图，
， ，
，，
，
，
，
当 的值最小时， 的值最小，
此时 最小， 的最小值为 的长，
在 中， ，
，
的最小值为3，
的最小值为 ．
故答案为： ．
4．（2023秋•荔湾区期末）如图，在 中， ， ， ，点 是边 上的一
动点，连接 ，作 于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【解答】解： ，
，
点 在以 为直径的圆上，
取 的中点 ，以 为直径作 ，当 、 、 共线时， 的长最小，
， ， ，
，
中， ， ，
，
，则 的最小值为：4，
故答案为：4．
5．（2023 秋•青山区期末）如图，点 为等边 的边 上的一个动点， ，过点 作
于点 ， 交边 于点 ，当过 ， ， 三点的圆面积最小时，则
．
【解答】解：设过 ， ， 三点的圆交 于点 ，连接 ， ，如图，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，设 ，则 ， ，
，
， ，
，
，
为过 ， ， 三点的圆的直径，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，
．
，
当 时， 有最小值，
即当 时，过 ， ， 三点的圆面积有最小值．
此时 ．
故答案为： ．
6．（2023秋•洪山区期末）如图，在 △ 中， ， ，过 ， 两点的 交
线段 于 点， 交 于 点， 交 于 ，则 的最大值为 ．【解答】解：取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于点 ，如图，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
的最大值为 ．
故答案为： ．题型三：动点问题
1．（2023秋•花都区期末）如图，抛物线 与直线 交于 、 两点（点 在点 的
左侧），动点 从 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 ，再到达 轴上的某点 ，最后运动到点
．若使点 运动的总路径最短，则点 运动的总路径的长为
A． B． C． D．
【解答】解：如图
抛物线 与直线 交于 、 两点，
，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ，
抛物线对称轴方程为：
作点 关于抛物线的对称轴 的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ，
连接 ，
则直线 与对称轴（直线 的交点是 ，与 轴的交点是 ，
， ，
点 运动的最短总路径是 ，
延长 ， 相交于 ，
， ，
．
点 运动的总路径的长为 ．
故选： ．
2．（2023秋•南沙区期末）如图，在 中， ， ， ，点 是半径为4
的 上一动点，连接 ，点 是 的中点，当点 落在线段 上时，则 的长度为 ；若
点 在 上运动，当 取最大值时， 的长度是 ．【解答】解：如图1，连接 ，
在 中， ， ， ，
， ，
的半径为4，
，
，
，
是等边三角形，
点 是 的中点，
，
，
；
如图2，取 的中点 ，连接 、 、 ．
，
，
， ，
，
，
，
，
的最大值为6，
故答案为： ，6．题型四：旋转（翻折 ）变换
1．（2023秋•汉阳区期末）边长为1的正方形 的顶点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，将
正方形 绕顶点 顺时针旋转 ，如图所示，使点 恰好落在函数 的图象上，则 的
值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作 轴于点 ，连接 ，
正方形 绕顶点 顺时针旋转 ，
，
，
，，
，
，
，
，
点 坐标为 ， ，
代入 得 ，
．
故选： ．
2．（2023秋•武昌区期末）如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上两点，满
足 ，将 绕点 顺时针旋转 得 ，下列结论：① ；②点 ， 关于直
线 对称；③点 ， 关于直线 对称；④如果 ， ，则 ．正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ， ，
，
绕点 顺时针旋转 得 ，
，
，，所以①正确；
连接 、 ，
绕点 顺时针旋转 得 ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
而 ，
点 、 在 的垂直平分线上，
即 垂直平分 ，
点 ， 关于直线 对称，所以②正确；
不能确定 ， ，
不能确定 ， ，
不一定垂直平分 ，
点 ， 不一定关于直线 对称，
若 ，则 ，
在 中， ，
，所以④正确．
故选： ．
3．（2023秋•历城区期末）如图，在正方形 中， ，点 为线段 上一点，将 沿所在直线翻折得到 （点 在正方形 内部），连接 ， ， ，若 ，
则 的长为 ．
【解答】解：如图，设 与 交于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 延长线于点 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
将 沿 所在直线翻折得到 ，
， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，根据勾股定理得：
，
，
，
．
故答案为： ．
4．（2023 秋•越秀区期末）如图，在长方形 中， ， ，点 为边 上一点，且
，点 为边 上动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， 与边 交于点 ，
连接 ．
（1）当点 与点 重合时，△ 的面积是 ；
（2）当点 在 边上运动时，△ 的面积最小值是 ．【解答】解：（1） 点 与点 重合，则△ 的面积 ．
长方形 中， ， ，点 为边 上一点，且 ．
．
线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
． ．
则 ．
．
故△ 的面积 ．
故答案为： ．
（2）根据题意，设 ，
当点 与点 不重合时，
故 ．
此时 ．
则 ， ．
延长 交 延长线于点 ，过点 作 ．
线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
， ．
．
．
．则 ．
根据等面积法，
得：
．
．
则 ．
根据公式法：
．
进行分母有理化， ．
．
整理得：．
有最小值，且为 ．
故答案为： ．
5．（2023秋•沙河口区期末）如图， 是正方形 边 的上一点，将 绕点 旋转 得到
，过点 作 的垂线分别交 、 于 、 ．若 ， ，则 ．（用含 的
式子表示）
【解答】解：如图所示，连接 ，
由旋转可得， ，
， ，
又 ，
为 的中点，垂直平分 ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
中， ，即 ，
解得 ，
的长为 ，
故答案为： ．
6．（2023秋•中山区期末）如图，矩形 中， ， ， 是线段 上一动点，连接
并将 绕 顺时针旋转 得到线段 ．连接 ，直线 交 于 ．设 ， ，则
与 之间的函数关系式为
【解答】解：当点 在矩形里面时，如图，过点 作 于 ，
将 绕 顺时针旋转 得到线段 ，
， ，
， ，
，
在 和 中，，
，
， ， ，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
．
当点 在矩形外面时，如图，过点 作 于 ，
同理可证 ，
， ，
，
，即 ，
解得 ，，
．
故答案为： 或 ．
7．（2023秋•武汉期末）如图，在等腰 中， ，请将等腰 以点 为旋转中心
旋转 得到△ ，延长 与直线 交于点 ，若 ，则线段 的长为 ．
【解答】解： ， ，
，
如图1，将等腰 以点 为旋转中心顺时针旋转 得到△ ，线段 的延长线交线段 于
点 ，
， ， ，
，
在 取一点 ，连接 ，使得 ，则 ，
，
，
，
，
，；
如图2，将等腰 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到△ ，线段 的延长线交线段 的
延长线于点 ，
， ， ，
，
，
在 上取一点 ，连接 ，使得 ，则 ，
，
，
，
，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．题型五：作图题
1．（2023秋•大连期末）如图，在矩形 中， ，以 为圆心，适当长为半径画弧，交 ，
边于点 ， ，分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 交
边于点 ，再以 为圆心， 长为半径画弧，交 边于点 ，将扇形 剪下来做成圆锥，则该
圆锥底面半径为
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：由作图可知， 为 的平分线，
四边形 为矩形，
， ，
，
，
由勾股定理得， ，
．设该圆锥底面半径为 ，
则 ，
解得 ，
该圆锥底面半径为1．
故选： ．
2．（2023秋•西岗区期末）如图，在 中，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交
于点 ．再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 ．
作射线 交 于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ．若 ， ，则 的长为
A．3 B． C．2 D．
【解答】解：由作图得： 平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
故选： ．
3．（2023秋•武侯区校级期末）如图，矩形 中， ， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧交于点 作射线
，过点 作 的垂线分别交 ， 于点 ， ，则 的长为 ．
【解答】解：设 交 于点 ，
在矩形 中， ， ，
， ，
，
由作图得： 平分 ，
，
过点 作 的垂线分别交 ， 于点 ， ，
，
，
△ △ ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
4．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在 的两边上分别截取 ， ，使 ；分别以点 ，
为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ；连接 ， ， ， ．若 ，四边形的面积为 ．则 的长为 ．
【解答】解：根据作图方法，可得 ，
，
，
四边形 是菱形．
，四边形 的面积为 ，
，
解得 ．
故答案为：4．
5．（2023秋•南开区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ， ，均在格点上．
（Ⅰ） 的长为 ；
（Ⅱ）若以 为边的矩形 ，其面积为11．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出矩形
，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【解答】解：（Ⅰ）由勾股定理得， ．
故答案为： ．
（Ⅱ）如图，矩形 即为所求．以 为边画正方形 ，在点 的正下方取格点 ，在点 的正下方取格点 ，使 ，作
射线 ，交 于点 ，交 于点 ，
则点 ， 即为所求．
故答案为：以 为边画正方形 ，在点 的正下方取格点 ，在点 的正下方取格点 ，使
，作射线 ，交 于点 ，交 于点 ．
6．（2023秋•红桥区期末）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点 在格点上，点 是小正方形
边的中点．
（Ⅰ）线段 的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过 ， 两点的圆的圆心 ，并简要说明点 的
位置是如何找到的（不要求证明）．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）如图所示，连接格点 、 交网格线于点 ，连接 ，连接格点 、 、 、 交于点 ，连接
，连接 、 交于点 ，
则点 即为所求．Ⅱ7．（2023秋•滨海新区期末）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，圆经过格点 ， ，与格线交
于点 ．
（Ⅰ） （度 ．
（Ⅱ）若点 在圆上，满足 ，请利用无刻度的直尺，在圆上画出点 ，使 ，
并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【解答】解：（Ⅰ） ；
故答案为：90；
（Ⅱ）如图，取圆与格线的交点 ，连接 、 ，它们的交点为圆心 ，延长 交 于 点在，
则点 为所作．
8．（2023秋•和平区校级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ， ， 均在格点上，
半圆 的半径为3， 与半圆 相切于点 ．（Ⅰ） 的大小 （度 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 ．并简要说明点 的位置是如何找到的
（不要求证明） ．
【解答】解：（Ⅰ） 的大小 （度 ；
故答案为：90．
方法二：如图，直线 即为所求．
（Ⅱ）如图，取格点 ，连接 即为切线，切点是 ，线段 即为所求作．
理由：等腰三角形的高相等，可以证明高 高 ，推出 是 的切线．
故答案为：如图，取格点 ，连接 即为切线，切点是 ，线段 即为所求作．
题型六：一题多解问题
1．（2023秋•海珠区期末）如图，在 中， ， ， ，点 在 边上，且
，点 在直角边上，直线 把 分成两部分，若其中一部分与原 相似，则
．【解答】解：在 中， ， ， ，
，
， ．
分三种情况：
①如图1，过 作 交 于 ，则 ，
；
②如图2，过 作 交 于 ，则 ，
；
③如图3，过 作 交 于 ，则 ，
；
综上所述， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
2．（2023 秋•大连期末）如图，在 和 中， ， ，， ， ， 与 所在的直线相交于点 ，将 绕点 在平面内旋转，当点
与点 重合时，线段 的长为 ．
【解答】解： ， ， ， ， ，
，
， ，
， ，
如图1，点 与点 重合，且点 与点 在直线 的异侧，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
解得 或 （不符合题意，舍去）；
如图2，点 与点 重合，且点 与点 在直线 的同侧，， ，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
解得 或 （不符合题意，舍去），
故答案为： 或 ．
3．（2023 秋•龙岗区校级期末）如图，在矩形 中，点 在 上，若 且 ，
，则 的长为 ．【解答】解法一：如图，分别以 ， 为直角边作等腰 △ 和等腰 △ ，
依题意得 ，
，
，
△ △ ，
，
即 ，
解得 或 （舍去），
的长为 ，
故答案为： ．
解法二：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，则 ，
，
△ 是等腰直角三角形，
，
又 ，
，
△ △ ，
，
设 ，则 ， ， ，△ 中， 于 ，
，
，
解得 或 （舍去），
．
故答案为： ．
题型七:反比例函数系数k的几何意义与坐标特征
1．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数 图象经过正方形 的顶点 ， 边
与 轴交于点 ，若正方形 的面积为12， ，则 的值为A．3 B． C． D．
【解答】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， 于 ，交 值于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
同理， ，
， ，
轴，
，
，
，
，
，正方形 的面积为12，，
，
，
， ，
反比例函数 图象经过正方形 的顶点 ，
，
解法二： ，
设 ， ，
，
由题意 ，
，
．
故选： ．
2．（2023秋•福州期末）如图， ， 两点分别为 与 轴， 轴的切点． ， 为优弧 的
中点，反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为A． B．8 C．16 D．32
【解答】解：连接 ， ， ，过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，
则： ，
， 两点分别为 与 轴， 轴的切点，
轴， 轴，
轴，
，
四边形 为正方形；
，
，
， ；
轴， 轴， ，
四边形 为矩形，
， ， ， ，
为优弧 的中点，，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
3．（2023秋•海门区期末）如图，在平面直角坐标系 中，第一象限的点 ， 分别在反比例函数
， 的图象上， 轴， 轴于点 ，连接 交 于点 ，交反比例函数
的图象于点 ，若 ，则 的值为
A．9 B．8 C．4 D．3
【解答】解：如图，作 轴，垂足为 ，作 轴，垂足为 ，
轴， 轴， 轴，
，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ， ，
，，
， ，
，
， ，
，
解得 ，
故选： ．
4．（2023秋•锦江区校级期末）如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴负半轴上，
交 轴于点 ，若 ， ，则 的值为 ．
【解答】解：如图，过点 作 轴于 ，，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
根据反比例函数 的几何意义得 ，
，
，
，
故答案为： ．
5．（2023秋•海安市期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在函数 的图象上，点在点 左侧，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于点 ，连
接 ．若 ， ，则 的值为 ．
【解答】解：作 ， ，垂足分别为 、 ，
，
，
，
，
设 ，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，则：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
， ，
设直线 的解析式为 ，则：，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
，
整理得 ，
，
．
．
故答案为： ．
